届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题七1第1讲坐标系与参数方程学.docx

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届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题七1第1讲坐标系与参数方程学

第1讲　坐标系与参数方程

年份

卷别

考查内容及考题位置

命题分析

2018

卷Ⅰ

极坐标及其应用·T22

1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：

一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．

2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.

卷Ⅱ

参数方程及其应用·T22

卷Ⅲ

参数方程及其应用·T22

2017

卷Ⅰ

参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离·T22

卷Ⅱ

直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题·T22

卷Ⅲ

直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法·T22

2016

卷Ⅰ

参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23

卷Ⅱ

极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系·T23

卷Ⅲ

参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23

　　　极坐标方程及其应用（综合型）

圆的极坐标方程

若圆心为M（ρ0，θ0），半径为r，则圆的方程为：

ρ2－2ρ0ρcos（θ－θ0）＋ρ－r2＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程：

（1）当圆心位于极点，半径为r：

ρ＝r；

（2）当圆心位于M（a，0），半径为a：

ρ＝2acosθ；

（3）当圆心位于M，半径为a：

ρ＝2asinθ.

直线的极坐标方程

若直线过点M（ρ0，θ0），且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：

ρsin（θ－α）＝ρ0sin（θ0－α）．

几个特殊位置的直线的极坐标方程：

（1）直线过极点：

θ＝θ0和θ＝π＋θ0；

（2）直线过点M（a，0）且垂直于极轴：

ρcosθ＝a；

（3）直线过点M且平行于极轴：

ρsinθ＝b.

[典型例题]

（2018·南昌模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C的极坐标方程；

（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝（ρ∈R），θ＝（ρ∈R），设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．

【解】　

（1）由参数方程（θ为参数），得普通方程为x2＋（y－2）2＝4，所以C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.

（2）不妨设直线l1：

θ＝（ρ∈R）与曲线C的交点为O，M，则ρM＝|OM|＝4sin＝2.

又直线l2：

θ＝（ρ∈R）与曲线C的交点为O，N，则ρN＝|ON|＝4sin＝2.又∠MON＝，所以S△OMN＝|OM||ON|＝×2×2＝2.

（1）极坐标方程与普通方程互化的技巧

①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形成，然后利用公式代入化简得到普通方程．

②巧借两角和差公式，转化ρsin（θ±α）或ρcos（θ±α）的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．

③将直角坐标方程中的x换成ρcosθ，将y换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．

（2）求解与极坐标有关问题的主要方法

①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．

②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．

[对点训练]

1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．

（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐极；

（2）设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

解：

（1）因为ρcos＝1，

所以ρcosθ·cos＋ρsinθ·sin＝1.

又所以x＋y＝1，

即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0，令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.

所以M（2，0），N.

所以M的极坐标为（2，0），N的极坐标为.

（2）因为M，N连线的中点P的直角坐标为，所以P的极角为θ＝，

所以直线OP的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．

2．（2018·高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解：

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为（x＋1）2＋y2＝4.

（2）由

（1）知C2是圆心为A（－1，0），半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B（0，2）且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

　　　参数方程及其应用（综合型）

直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程

点的

轨迹

普通方程

参数方程

直线

y－y0＝tanα（x－x0）

（t为参数）

圆

（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2

（θ为参数）

椭圆

＋＝1（a>b>0）

（φ为参数）

双

曲

线

－＝1（a>0，b>0）

（φ为参数）

抛

物

线

y2＝2px

（t为参数）

[典型例题]

（2018·武汉调研）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于A，B两点．

（1）求|AB|的值；

（2）若F为曲线C的左焦点，求·的值．

【解】　

（1）由（θ为参数），消去参数θ得＋＝1.

由消去参数t得y＝2x－4.

将y＝2x－4代入x2＋4y2＝16中，得17x2－64x＋176＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝，所以|AB|的值为.

（2）由

（1）得，F（－2，0），则

·＝（x1＋2，y1）·（x2＋2，y2）

＝（x1＋2）（x2＋2）＋（2x1－4）（2x2－4）

＝x1x2＋2（x1＋x2）＋12＋4[x1x2－2（x1＋x2）＋12]

＝5x1x2－6（x1＋x2）＋60

＝5×－6×＋60

＝44，

所以·的值为44.

（1）有关参数方程问题的2个关键点

①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化．

②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．

（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题

经过点P（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

①t0＝.

②|PM|＝|t0|＝.

③|AB|＝|t2－t1|.

④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.　

[对点训练]

1．（2018·高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

解：

（1）曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，

当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1＋3cos2α）t2＋4（2cosα＋sinα）t－8＝0.　①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1，2）在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，

故2cosα＋sinα＝0，

于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

2．已知曲线C：

＋＝1，直线l：

（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

解：

（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

（2）曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.

则|PA|＝＝|5sin（θ＋α）－6|，其中α为锐角，且tanα＝.

当sin（θ＋α）＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin（θ＋α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

　　　极坐标方程与参数方程的综合问题（综合型）

[典型例题]

（2018·郑州第二次质量检测）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且l过点A，曲线C1的参数方程为（α为参数）．

（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；

（2）过点B（－1，1）且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值．

【解】　

（1）由直线l过点A可得cos＝a，故a＝，则易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点到直线l的距离d＝＝，其中sinφ＝，cosφ＝，

所以dmax＝＝.

即曲线C1上的点到直线l的距离的最大值为.

（2）由

（1）知直线l的倾斜角为，

则直线l1的参数方程为（t为参数）．

易知曲线C1的普通方程为＋＝1.

把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得t2＋7t－5＝0，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，所以t1t2＝－，根据参数t的几何意义可知|BM|·|BN|＝|t1t2|＝.

解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法

（1）对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．

（2）对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．

（3）利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．　

[对点训练]

（2018·贵阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：

（α为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）过点M（－1，0）且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和．

解：

（1）曲线C的普通方程为＋y2＝1，

由ρcos＝－1，得ρcosθ－ρsinθ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

（2）直线l1的参数方程为（t为参数），将其代入＋y2＝1中，化简得：

2t2－t－2＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝，t1t2＝－1，

所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝＝.

1．（2018·益阳、湘潭调研）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.直线l与曲线C交于A，B两点．

（1）求直线l的直角坐标方程；

（2）设点P（1，0），求|PA|·|PB|的值．

解：

（1）由ρcos＝得ρcosθcos－ρsinθsin＝，

又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，

所以直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.

（2）由（α为参数）得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，

因为P（1，0）在直线l上，故可设直线l的参数方程为（t为参数），

将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0，

所以t1·t2＝－，

故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝.

2．（2018·合肥第一次质量检测）在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（θ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ－2cosθ＝0.

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．

解：

（1）由ρ－2cosθ＝0得ρ2－2ρcosθ＝0.

因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以x2＋y2－2x＝0，

即曲线C2的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1.

（2）由

（1）可知，圆C2的圆心为C2（1，0），半径为1.

设曲线C1的动点M（3cosθ，2sinθ），

由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.

因为|MC2|＝＝，

所以当cosθ＝时，|MC2|min＝，

所以|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.

3．（2018·高考全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点（0，－）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

解：

（1）⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，

解得k＜－1或k＞1，

即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

（2）l的参数方程为（t为参数，＜α＜）．

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.

又点P的坐标（x，y）满足

所以点P的轨迹的参数方程是

（α为参数，＜α＜）．

4．（2018·昆明调研）在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A（2，1）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.

解：

（1）直线l的参数方程为（t为参数）．

曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋（4cosα）t＋3＝0，

由Δ＝（4cosα）2－4×3>0，得cos2α>，

由根与系数的关系，

得t1＋t2＝－4cosα，t1·t2＝3，

由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，

由题意知，（t1－t2）2＝t1·t2，

则（t1＋t2）2＝5t1·t2，

得（－4cosα）2＝5×3，

解得cos2α＝，满足cos2α>，

所以sin2α＝，tan2α＝，

所以直线l的斜率k＝tanα＝±.

5．（一题多解）（2018·郑州第一次质量预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．

解：

（1）由题知直线l的参数方程为（t为参数）．

因为ρ＝，

所以ρsin2θ＝8cosθ，

所以ρ2sin2θ＝8ρcosθ，即y2＝8x.

（2）法一：

当α＝时，直线l的参数方程为（t为参数），

代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，

t1·t2＝－16，

所以|AB|＝|t1－t2|＝＝8.

又点O到直线AB的距离d＝1×sin＝，

所以S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝2.

法二：

当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，

设M（1，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由得y2＝8（y＋1），即y2－8y－8＝0，

由根与系数的关系得

S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2.

6．（2018·陕西教学质量检测

（一））在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t>0，α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝3.

（1）当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；

（2）若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．

解：

（1）由ρsin＝3得ρsinθ＋ρcosθ＝3，

把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，

当t＝1时，曲线C的参数方程为（α为参数），

消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，

所以曲线C为圆，且圆心为O，则点O到直线l的距离d＝＝，

所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.

（2）因为曲线C上的所有点均在直线l的下方，

所以对任意的α∈R，tcosα＋sinα－3<0恒成立，

即cos（α－φ）<3恒成立，

所以<3，

又t>0，所以0

所以实数t的取值范围为（0，2）．

7．（2018·福州模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C：

（α为参数，t>0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：

ρcos＝.

（1）若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；

（2）若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．

解：

（1）因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝2，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.

因为曲线C的参数方程为（α为参数，t>0），

所以曲线C的普通方程为＋y2＝1（t>0），

由消去x得，（1＋t2）y2－4y＋4－t2＝0，

所以Δ＝16－4（1＋t2）（4－t2）<0，

又t>0，所以0

故t的取值范围为（0，）．

（2）由

（1）知直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，

故曲线C上的点（tcosα，sinα）到l的距离d＝，

故d的最大值为，

由题设得＝＋.

解得t＝±.

又t>0，所以t＝.

8．（2018·潍坊模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ（ρ≥0，0≤θ<π）．

（1）写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；

（2）射线θ＝β与曲线C1，C2分别交于点A，B（A，B异于原点），求的取值范围．

解：

（1）由题意可得曲线C1的普通方程为x2＋（y－2）2＝4，

把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，

联立

得4sinθcos2θ＝sinθ，此时0≤θ<π，

①当sinθ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为（0，0）；

②当sinθ≠0时，cos2θ＝，当cosθ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，

当cosθ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，

所以C1与C2交点的极坐标为（0，0），，.

（2）将θ＝β代入C1的极坐标方程中，得ρ1＝4sinβ，

代入C2的极坐标方程中，得ρ2＝，

所以＝＝4cos2β，因为≤β≤，

所以1≤4cos2β≤3，所以的取值范围为[1，3]．