数列裂项累加累乘.docx

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数列裂项累加累乘

数列

一、根本概念：

1．数列的通项公式：

表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

数列的递推公式：

表示任一项与它的前一项〔或前几项〕间的关系的公式．

2、等差数列：

从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

这个常数称为等差数列的公差．

定义或,其中d为公差.

等差中项：

假如成等差数列，如此A叫做与的等差中项，且

等差数列的通项公式

；

通项公式的变形：

①．

等差数列的前项和：

①；②．

3、等差数列的性质：

1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数常数项0

2）当时,如此有，特别地，当时，如此有

4、等比数列：

从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，如此这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

定义，其中或，其中q为公比.

等比中项：

在与中间插入一个数，使，，成等比数列，如此称为与的等比中项．假如，如此称为与的等比中项．

等比数列的通项公式；

通项公式的变形：

①；；④．

等比数列的前项和：

．

6、等比中项的性质：

假如是等比数列，且〔、、、〕，如此；假如是等比数列，且〔、、〕，如此．

二、根本运算：

1、数列的通项的求法：

1）公式法：

①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

2）数列的通项公式与前n项的和的关系

（数列的前n项的和为）

3）假如求用累加法：

。

4）求，用累乘法：

。

5）递推关系求，用构造法〔构造等差、等比数列〕。

2、数列求和的常用方法：

1）公式法：

①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：

运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

，

2）分组求和法：

在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式〞中“同类项〞先合并在一起，再运用公式法求和.

3）倒序相加法：

假如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，如此常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和〔这也是等差数列前和公式的推导方法〕.

4）错位相减法：

如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法〔这也是等比数列前和公式的推导方法〕.

5）裂项相消法：

如果数列的通项可“分裂成两项差〞的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①；

②；

⑤.

题型一：

等差、等比数列的根本运算

例.设是等差数列的前n项和，，，如此等于【】

A．13B．35C．49D．63

〖例〗数列是等比数列，且，如此

A．1B．2C．4D．8

〖例〔2010某某〕设为等比数列的前n项和，

A．－11B．－8C．5D．1

1为等差数列，，如此等于

2如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=

3　设数列的前n项和，如此的值为

4　在等差数列中，，如此的值为

5设为等差数列的前项和，假如，如此。

数列求和与求通项的方法

：

①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求．求数列的通项公式.

练一练：

数列试写出其一个通项公式：

__________；

．〔2013年高考某某卷〔文〕〕（本小题总分为13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）

设数列满足:

,.

（Ⅰ）求的通项公式与前项和;

（Ⅱ）是等差数列,为前项和,且,,求.

：

〔即〕求，用作差法：

。

1．数列{}的前项和为，且满足。

求数列{}的通项公式；

练一练：

①的前项和满足，求；

3错位相减法

{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

〔2013年高考某某〔文〕设为数列{}的前项和,,2,N

（Ⅰ）求,,并求数列{}的通项公式;（Ⅱ）求数列{}的前项和.

4裂项法

常见裂项公式

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解〔裂项〕

〔2013年高考大纲卷〔文〕〕等差数列中,

（I）求的通项公式;

（II）设

．〔2013年高考课标Ⅰ卷〔文〕〕等差数列的前项和满足,.

（Ⅰ）求的通项公式;

（Ⅱ）求数列的前项和.

：

假如求：

。

例3.数列满足，，求。

如数列满足，，如此=________；

6.累乘法：

求，用累乘法：

。

例4.数列满足，，求。

数列中，，前项和，假如，求

，用构造法〔构造等差、等比数列〕。

〔1〕形如、〔为常数〕的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。

①解法：

把原递推公式转化为：

，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5.数列中，，，求.

练一练①，求；

倒数法：

形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

例：

5数列中，a≠０，a＝，a＝　　〔n∈N〕　求a