数学教案多边形的内角和八年级数学教案模板.docx

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数学教案多边形的内角和八年级数学教案模板

数学教案－多边形的内角和_八年级数学教案_模板

教学建议

　　1．教材分析

（1）知识结构：

（2）重点和难点分析：

　　重点：

四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用。

　　难点：

四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面讲解三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思学生不好理解，所以是难点。

　　2．教法建议

（1）本节的引入最好使用我们提供的多媒体课件，通过这个课件，使学生认识到这些四边形都是常见图形，研究它们具有实际应用意义，从而激发学生学习数学的兴趣。

（2）本节的教学，要以三角形为基础，可以仿照三角形，通过类比的方法建立四边形的有关概念，如四边形的边、顶点、内角、外角、内角和、外角和、周长等都可同三角形类比，要结合三角形、四边形的图形，对比着指给学生看，让学生明确这些概念。

　　（3）因为在三角形中没有对角线，所以四边形的对角线是一个新概念，它是解决四边形问题时常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形问题来解决.结合图形，让学生自己动手作四边形的一条对角线，并观察四边形的一条对角线把它分成几个三角形？

两条对角线呢？

使学生加深对对角线的作用的认识。

　　（4）本节用到的数学思想方法是化归转化的思想和类比的思想，教师在讲解本节知识时要渗透这两种思想方法，并且在本节小结中对这两种数学思想方法进行总结，使学生明白碰到复杂的、未知的问题要转化为简单的、已知的问题。

　教学目标：

　　1．使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和定理；

　　2．通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力；

　　3．通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归转化的数学思想；

　　4．讲解四边形的有关概念时，联系三角形的有关概念向学生渗透类比思想.

　　教学重点：

　　四边形的内角和定理.

　　教学难点：

　　四边形的概念

　　教学过程（）：

（一）复习

　　在小学里，我们学过长方形、正方形、平行四边形和梯形的有关知识.请同学们回忆一下这些图形的概念.找学生说出四种几何图形的概念，教师作评价.

（二）提出问题，引入新课

　　利用这些图形的定义，你能在下图中找出长方形、正方形、平行四边形和梯形吗？

教师说完就打开多媒体课件.（先看画面一）

　　问题：

你能类比三角形的概念，说出四边形的概念吗？

　　（三）理解概念

　　1．四边形：

在平面内，由不在同一条直线的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.

　　在定义中要强调“在同一平面内”这个条件，或为学生稍微说明一下.其次，要给学生讲清楚“首尾”和“顺次”的含义.

　　2．类比三角形的边、顶点、内角、外角的概念，找学生答出四边形的边、顶点、内角、外交的概念.

　　3．四边形的记法：

对照图形向学生讲明四边形的记法与三角形不同，表示四边形必须按顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.

　　练习：

课本124页1、2题.

　　4．四边形的分类：

凸四边形、凹四边形（不必向学生讲它的概念），只要学生会辨认一个四边形是不是凸四边形就可以了.

　　5．四边形的对角线：

　　（四）四边形的内角和定理

　　定理：

四边形的内角和等于.

　　注意：

在研究四边形时，常常通过作它的对角线，把关于四边形的问题化成关于三角形的问题来解决.

　（五）应用、反思

　　例1已知：

如图，直线，垂足为B,直线,垂足为C.

　　求证：

（1）；

（2）

　　证明：

（1）（四边形的内角和等于），

（2） 

　　 .

　　练习：

　　1.课本124页3题.

　　2.如果四边形有一个角是直角，另外三个角之比是1：

3：

6，那么这三个角的度数分别是多少？

　　小结：

　　知识：

四边形的有关概念及其内角和定理.

　　能力：

向学生渗透类比和转化的思想方法.

　　作业：

课本130页2、3、4题.

教学建议

　　根据本节内容的特点和与平行四边形的关系，建议教师在教学过程（）中注意以下问题：

　　1.正方形的知识，学生在小学时接触过一些，可由小学学过的知识作为引入。

　　2.正方形在现实中的实例较多，在讲解正方形的性质和判定时，教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定，既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识．

　　3.如果条件允许，教师在讲授这节内容前，可指导学生按照教材145页图4-30所示，制作一个平行四边形作为教学过程（）中的道具，既增强了学生的动手能力和参与感，有在教学中有切实的体例，使学生对知识的掌握更轻松些．

　　4.在对性质的讲解中，教师可将学生分成若干组，每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量，然后在组内进行整理、归纳．

　　5.由于正方形的性质定理证明比较简单，教师可引导学生分析思路，由学生来进行具体的证明．

　　6.在正方形性质应用讲解中，为便于理解掌握，教师要注意题目的层次安排。

　教学引入

　　师：

前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。

　　师：

现在我们来学习一种新的特殊的平行四边形----正方形。

　　讲授新课

　　师：

正方形我们在小学就已经接触过，首先我们来看正方形的定义。

　　动画演示：

　　场景一：

正方形定义

　　师：

正方形的定义我们可以分成俩部分来理解：

（1）      有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（2）      有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

　　师：

根据这两部分我们会想起什么？

　　[学生活动：

积极思考，回想学过定义，大部分学生会想起矩形和菱形，小声议论甚至抢答。

]

　　生：

有一个角是直角的平行四边形是矩形，

（1）说的是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，

（2）说的是菱形。

　　生：

正方形既是矩形又是菱形。

　　生：

正方形还是平行四边形。

　　师：

大家想得都不错。

正方形既是矩形又是菱形，根据定义，他还是平行四边形。

　　师：

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。

　　动画演示：

　　场景二：

正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系

　　师：

正方形、平行四边形、矩形、菱形他们之间的关系还可以用图1来表示：

图1

　　师：

请同学们回想一下，我们在学习矩形、菱形时，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。

　　师：

那么，根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系，正方形应具有什么样的性质？

　　[学生活动：

回忆矩形、菱形的性质，并逐个验证在正方形上。

]

　　师在学生活动时要注意观察学生的情况，有疑惑时要注意及时反馈。

　　师：

我们来归纳总结正方形的性质。

　　动画演示：

　　场景三：

矩形的性质

　　场景四：

菱形的性质

　　¿场景五：

正方形的性质

　　例题讲解

　　例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：

BG=CE

　　分析：

据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC.

　　证明：

∵四边形ABDE和ACFG都是正方形

　　∴AB=AE,AG=AC

　　∠BAE=∠CAG=90°

　　∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

　　即∠BAG=∠EAC

　　∴△ABG≌△AEC∴BG=CE

图2

　　说明：

应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。

　　巩固练习

　　巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。

　　讲解新课

　　师：

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系，怎么判定一个矩形是正方形？

　　生：

证一组邻边相等。

　　师：

怎么判定一个菱形是正方形？

　　生：

证有一个角是直角。

　　师：

怎么判定一个平行四边形是正方形？

　　生：

根据定义，证有一组邻边相等且有一个角是直角。

　　师：

那么，刚才的结论如果用图来表示，是不是如图3所示？

　　师：

图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。

这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的，但似乎有缺憾，能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全？

　　[学生活动：

积极思考，部分学生疑惑不解。

]

　　师点取上等学生回答问题，根据回答得图4。

　　生恍然大悟。

　　学生思路得到启发，中上等及上等学生意犹未尽，鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其举出简单示例。

　　就势跟进，要求学生思考，给定四边形，有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形？

要求给出简单图例，并说出相应证明思路。

　　为进一步理解正方形的判定方法，可研究以下几个问题：

　　（3）对角线相等的菱形是正方形吗？

　　（4）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

　　（5）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？

若不是，还需增加什么条件？

　　（6）能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?

”

　　（7）四个角都相等的四边形是正方形吗？

　　小结：

证明正方形的思路，总体讲三种思路，如图4所示；遇到具体条件要学会具体分析，规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线，或者把他们搅和在一起。

这是一定要都要冷静，学会去分析。

　　动画演示：

　　场景六：

正方形的判定

　　F例题讲解

　　例2 如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

　　求证：

AD=AM。

　　分析：

欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：

△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形？

只需延长CF、DA交于N，即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。

这是是否发现△BCF≌△ANF？

由AN=BC=AD，从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。

问题得证。

　　证明：

略。

　　说明：

将此题中的中点E、F进行变化：

E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且BE=AF，则有DE⊥CF。

这个变化后的图形在正方形中常常出现，要注意隐含的这个垂直条件。

　　课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。

　　二次根式的加减法的教案

　　教学建议

　　本节的重点有两个：

　　⒈同类二次根式的概念

　　⒉二次根式加减运算的方法

　　本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并。

运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点。

　　本节的难点运算

　　首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了。

整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项。

但是学生初次接触，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握运算是本节的难点。

　　本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并。

（1）在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法：

一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出和同类二次根式；二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和。

两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁。

（2）在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题：

①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感。

　　（3）在组织学生进行教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如：

①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等。

　　（4）在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力。

　　（5）在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如：

①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况。

教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.

　　教学设计示例1

　　一、素质教育目标

（一）知识教学点

　　1。

使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念。

　　2。

能判断二次根式中的同类二次根式。

　　3。

会用同类二次根式进行二次根式的加减。

（二）能力训练点

　　通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力。

　　（三）德育渗透点

　　从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想。

　　（四）美育渗透点

　　通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美。

　　二、学法引导

　　1。

教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法。

　　2。

学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则。

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　1。

教学重点运算。

　　2。

教学难点二次根式的化简。

　　3。

疑点及解决办法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果。

　　四、课时安排

　　2课时

　　五、教具学具准备

　　投影片

　　六、师生互动活动设计

　　1。

复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题。

　　2。

教师通过例题的示范让学生了解什么是，并引入同类的二次根式的定义。

　　3。

再通过较复杂的计算，引导学生小结归纳出的法则。

　　4。

通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法。

　　七、教学步骤

　　（－）明确目标

　　学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究。

（二）整体感知

　　同类二次根式的概念应分二层含义去理解

（1）化简后

（2）被开方数还相同。

通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力。

一元一次不等式（组）

（一）　　一、全章教学内容及要求

　　１、理解不等式的概念和基本性质

　　２、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集

　　３、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集。

　　二、技能要求

　　1、会在数轴上表示不等式的解集。

　　2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。

　　3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。

　　三、重要的数学思想：

　　1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。

　　2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。

　　四、主要数学能力

　　1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。

　　2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。

　　3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。

　　五、类比思想：

　　把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。

　　在本章中，类比思想的突出运用有：

　　1、不等式与等式的性质类比。

　　对于等式（例如a=b）的性质，我们比较熟悉。

不等式（例如a>b或a20,两边都乘以-5，得，

　　x7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一个解。

若x=2不等式x+4>7不成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。

　　注意：

1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。

一般地说，一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。

　　例如：

x+6=5只有一个解x=-1，在数轴上表示出来只是一个点，如图，

　　而不等式x+6>5则有无数多个解-----大于-1的任何一个数都是它的解。

它的解集是x>-1，在数轴上表示出来是一个区间，如图　　　　　　

　　2、符号“≥”读作“大于或等于”或也可以理解为“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”或可以理解为“不大于”。

　　例如；在数轴上表示出下列各式：

（1）x≥2　　　　　　　

（2）x1　　（4）x≤-1解：

　　　　　x≥2　　　　　　　x1　　　　x≤-1

　　3、不等式解法与方程的解法类比。

　　从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的。

在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出若用不等式的三条基本性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。

　　例如：

解下列方程和不等式：

　　=+1　　　　　　　　　　　　≥+1

　　解：

3（2+x）=2（2x-1）+6　　1、去分母：

　解：

3（2+x）≥2（2x-1）+6

　　6+3x=4x-2+6　　　　　　　2、去括号：

　　　　6+3x≥4x-2+6

　　3x-4x=-2+6-6　　　　　　3、移项：

　　　　3x-4x≥-2+6-6

　　-x=-2　　　　　　　　　　4、合并同类项：

　　　-x≥-2

　　x=2　　　　　　　　　　　5、系数化为1：

　　　　x≤2

　∴x=2是原方程的解　　　　　　　　　　　∴x≤2是原不等式的解集。

　　注意：

解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。

　　六、带有附加条件的不等式：

　　例1，求不等式（3x+4）-3≤7的最大整数解。

　　分析：

此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解。

　　解：

（3x+4）-3≤7　　　

　　去分母：

3x+4-6≤14　　　

　　移项：

　　　3x≤14-4+6　　　　

　　合并同类项：

3x≤16

　　系数化为1：

　x≤5

　　∴x≤5的最大整数解为x=5

　　例2，x取哪些正整数时，代数式3-的值不小于代数式的值？

　　解：

依题意需求不等式3-≥的解集。

　　解这个不等式：

　　去分母：

24-2（x-1）≥3（x+2）

　　去括号：

24-2x+2≥3x+6

　　移项：

　　-2x-3x≥6-24-2

　　合并同类项：

　-5x≥-20

　　系数化为1：

　　x≤4

　　∴x=4的正整数为x=1,2,3,4.

　　答：

当x取1,2,3,4时，代数式3-的值不小于代数式的值。

　　例3，当k取何值时，方程x-2k=3（x-k）+1的解为负数。

　　分析：

应先解关于x的字母系数方程，即找到x的表达式，再解带有附加条件的不等式。

　　解：

解关于x的方程：

x-2k=3（x-k）+1

　　去分母：

　　　x-4k=6（x-k）+2

　　去括号：

　　　x-4k=6x-6k+2

　　移项：

　　　　x-6x=-6k+2+4k

　　合并同类项：

　　　　-5x=2-2k

　　系数化为1：

　　　　　x==.

　　要使x为负数，即x=0，∴2k-20,∴m0，即a>-3时，x≥,

（2）当a+3=0，即a=-3时，0x≥12，不等式无解。

　　（3）当a+30,a+3=0,a+3a，则a的取值范围是____________；

（2）若a>,则a的取值范围是____________。

　　解：

（1）∵a2>a,

　　∴a2－a>0,即a（a－1）>0,

　　∴或

　　解得a>1或a1。

（2）∵a>,∴a－>0,即>0.

　　∴或

　　或

　　解得a>1或－1

　　答：

a的取值范围是－11.

　　例2．

（1）比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想：

　　______;_______;______;

　　______;_______;_____.

　　从上面的各式发现：

一个正分数的分子和分母_____________，所得分数的值比原分数的值要_________。

　　猜想：

设a>b>0,m>0,则_______。

（2）试证明你的猜想：

　　分析：

1.易知：

前面的各个空都填　“大。

　　2.欲证b>0,b－a0,∴m（b－a）<0,

　　∵－=

　　==<0,

　　∴<。

　　上面这个不等式有很多有意义的应用。

　　例如，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。

若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了。

　　设窗户面积为a，地板面积为b，若同时增加相等的窗户面积和地板面积m，由<可知，住宅的采光条件变好了。