解三角形中相关的取值范围问题.docx
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解三角形中相关的取值范围问题
解决与三角形相关的取值范围问题
例1:
在锐角ABC中，A=2B，则*的取值范围是
例2:
若LABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为A,B,C，
则sinBcosB的取值范围是
例3:
在LABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosC,bcosEB（cosA
成等差数列。
（1）求B的大小。
（2）若b=5，求LABC周长的取值范围。
例4:
在LABC中，a2b2=c2|ab，若LABC的外接圆半径为竽，则
Labc的面积的最大值为
例5：
（2008,江苏）满足AB=2,AC「2BC的LABC的面积的最大值是
例6:
已知角a,B,C是LABC三个内角，a,b,c是各角的对边，向量
A-B5A-B9
m=（〔_cosAB）,cos，n=（,cos），且mn=_2828
（1）求tanAtanB的值。
⑵求：
》引严2的最大值
a+b-c
通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。
这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。
理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。
希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1.在LABC中，a=2,c=1，贝，C的取值范围为
2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边
长的比值为m，则m的取值范围是
3.在Rt|_ABC中，C二?
，且A,B,C所对的边a,b,c满足a・b=：
xc，则实
数x的取值范围为
4.在锐角ABC中，A=2B,AC=1，则BC的取值范围是
5.在锐角LABC中，三个内角A,B,C成等差数列，记M=cosAcosC，
则M的取值范围是
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是
7.已知LABC外接圆的半径为6,若面积Sabc=a2-（b-c）2且
sinBsinC，贝卩sinA=,Sabc的最大值为
3
亠I出耐呻口■^片
8.在LABC中，m=（sinA,cosC）,n=（cosB,sinA）,且mn=sinBsinC
（1）求证：
LABC为直角三角形
（2）若LABC外接圆的半径为1,求LABC的周长的取值范围
9.在LABC中代B,C所对的边分别为a,b,c，已知&sinA=V3cosA
（1）若a2-c2=b2-mbc，求实数m的值
（2）若a「3，求LABC面积的最大值。
Ji
:
:
:
B:
:
:
一
4
解决与三角形相关的取值范围问题
例1在锐角LABC中，A0，则b的取值范围是——
解析：
[JETC
由0：
：
A=2B且0：
：
C=二-A—B：
：
—
22
csinCsin3Bsin2BcosBcos2BsinB,2>
4cosB-1，
bsinBsinBsinB
点评：
①本题易错在求B的范围上，容易忽视“LABC是锐角三角形”
这个条件。
②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多
元为一元，体现了解题的通性通法。
例2:
若LABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为代B,C，
则sinB-cosB的取值范围是
解析：
由题设知b2二ac，又余弦定理知
22,222
ra+c—ba+c—ac,2ac—ac1
cosB=
2ac2ac2ac2
所以0：
：
：
B，又siBvcBos茁$且円（:
-B）—所以
344412
血sBn乡e&即1n,B+ZobB的取值范围是（1,血］。
点评：
本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起
来，有利于提高学生解题的综合能力。
例3:
在LABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosC,bcos^ccosA成等差数列。
（1）求B的大小。
（2）若b=5，求LABC周长的取值范围。
解析：
（1）由题意知acosC-ccosA=2bcosB，
由正弦定理得sinAcosCsinCcosA=2sinBcosB
所以sin（AC）=2sinBcosB，于是cosB二1,B=—
23
（2）由正弦定理」bc10，所以
sinAsinBsinC“3
1010102兀10兀
abcsinA5sinC=5〜sin（A）〜sinA=510sin（A）
73V3<33V36
又由o，：
：
A辽得6"：
a6"：
亍，所以
ji
abc=510sin（A）（10,15］。
6
诱导公
点评：
对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、
式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。
例4:
在LABC中，a2b^c22ab，若LABC的外接圆半径为
3
Labc的面积的最大值为
2&
sinC
3
2
又由于c=2RsinC=4，所以c2=a2b2-2abcosC即16ab=a2b2一2ab
3
所以ab_12，又由于=1absinC2ab_4；2，故当且仅当a=b=2丿3
23
时，LABC的面积取最大值4-.2
点评：
先利用余弦定理求cosA的大小，再利用面积公式结合基本不等
式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。
例5：
（2008,江苏）满足ab=2,ac~2bc的LABC的面积的最大值是
解析：
设BC=x，则AC=臣x，
根据面积公式得SabcABBCsinB=X、1-COS2B①2
16
代入①式得Sabc=X,1一（4"2）2=128-（宀12）2
V4x
由三角形三边关系有.2xx.2且x2；2x，所以2、2一2：
：
：
x：
：
222，
故当x=2、.3时，Sabc取得最大值2彳。
点评：
本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。
例6:
已知角A,B,C是LABC三个内角，a,b,c是各角的对边，向量
A-B5A-B9
m=（1-cosAB）,cos，n=（,cos），且mn=
2828
（1）求tanAtanB的值。
（2）求严引严?
的最大值。
a+b-c
解析：
由m=（1-cos（AB）,cos_），n=（-,cosA_），且mn」得
828
5[1「cos（AB）]cos2—旦=9，所以4cos（A「B）二5cos（AB），
828
1
即cosAcosB=9sinAsinB，所以tanAtanB-
9
（2）由余弦定理得严sinC2二absinCJtanC，而
a2+b2-c22abcosC2
tanA+tanB99,3
tan（AB）（tanAtanB）2、、tanAtanB-
1-tanAtanB884
3
即tan（A-B）有最小值—，又tanC二-tan（A-B），
4
所以tanC有最大值（当且仅当tanA=tanBJ时取等号）
43
所以严si严2的最大值为-—
a2+b2—c28
通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合
正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、
次函数、向量等知识综合考查。
这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。
理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。
希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1在LABC中，a=2,c"，贝,C的取值范围为
2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边
长的比值为m，则m的取值范围是
3.在Rt|_ABC中，C=-，且A,B,C所对的边a,b,c满足axc，则实
数x的取值范围为
4.在锐角ABC中，A=2B,AC=1，则BC的取值范围是
5.在锐角LABC中，三个内角A,B,C成等差数列，记M=cosAcosC,
则M的取值范围是
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是
7.已知LABC外接圆的半径为6,若面积Sabc二a2-（b-C）2且sinBsinC=4，贝SsinA二,Sabc的最大值为
3
H4耐片
8.在LABC中，m=（sinA,cosC）,n=（cosB,sinA）,且mn=sinBsinC
（1）求证：
LABC为直角三角形
（2）若LABC外接圆的半径为1,求LABC的周长的取值范围
9.在LABC中代B,C所对的边分别为a,b,c，已知.2sinA—,3cosA
（1）若a2-c2二b2-mbc，求实数m的值
（2）若a=*3，求LABC面积的最大值。
参考答案
1.
sinCJsinAJ,C（0,—]
226
・2A
锐角，且"sinAtMEA，即矗療A0
贝Sbc=2R（sinBsinC）=12^16
Sabc*csinA岂晋（吁）2专64=256（当且仅当b=c=8时取等
号）
即Sabc的最大值为
256
17
8.
（1）由m=（sinAcosC）,n=（cosB,sinA）,
mn=sinBsinC
得sinAcosBsinAcosC二sinBsinC,由正弦定理得acosB-acosC=bc,
222222
由余弦定理得aac-aabcbc2ac2ab
整理得（bc）（a2-b2-c2）=0
又由于bc0，故a2=b2c2，即LABC是直角三角形
（或者：
由sinAcosBsinAcosC二sinBsinC得，
sinAcosBsinAcosC二sin（AC）sin（AB）
化简得cosA（sinBsinC）=0，由于sinBsinC0,故cosA=0,即LABC是直角三角形）
（2）设LABC内角代B,C所对的边分别为a,b,c
由于LABC外接圆的半径为1，A=—，所以a=2RsinA=2，
2
所以bc二2R（sinBcosB）二2（sinBcosB）二22sin（B—）
又0：
：
B，故一：
：
B—，因而2、2sin（B—）（2,22]
24444
故4:
:
:
abc_22』2
即LABC的周长的取值范围为（4,2-2,2]
9.
（1）由2sinA=J3cosA两边平方得2sin2A=3cosA
1
即（2cosA-1）（cosA2）=0，解得cosA-
2
2.22
22,2bC-am
由a-cb-mbc得
2bc2
即cosA=m=」，所以m=1
22
（2）由
（1）知"2，则,
222
又七严匕，所以b-b2c—f/bc,2，即be,2,
故SABC
JbcsinAJa2.三
222
3”3
4
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