三年级奥数还原问题.docx

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三年级奥数还原问题

还原问题

知识结构

一、还原问题

已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．

还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．

二、解还原问题的方法

在解题过程中注意两个相反：

一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．

方法：

倒推法。

口诀：

加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．

关键：

从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

重难点

（1）还原法的知识点

（2）画图在解题过程中的应用

例题精讲

【例1】一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗

考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答关键词】可逆思想方法

解析】3672416244.

答案】244

巩固】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算

一算，共采集了多少个树种子?

考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答关键词】可逆思想方法

解析】（2525）5250（个），即共采集了250个树种子.

答案】250

例2】学学做了这样一道题：

某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小

朋友，你知道答案吗？

10，应用逆推法，由结果

考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答关键词】可逆思想方法解析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果

10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．

1010100，10010110，1101011，11101综合算式为：

（101010）1010（10010）1010110101011101所以这个数为1.

解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．

答案】1

巩固】学学做了这样一道题：

一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知

道答案吗？

16，应用逆推法，由结果

考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答关键词】可逆思想方法解析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果

10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．

答案】26

例3】一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。

这捆电线原来有多少米？

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答关键词】可逆思想方法解析】为了帮助同学们分析数量关系，可依照题意画出右图。

从线段图上可以看出：

1）7151012（米），就是第一次用去后余下的一半。

2）12224（米），就是余下的电线长度。

3）24327（米），就是全长的一半。

4）27254（米），就是原来电线的长度。

综合列式计算：

71510232（1223）227254（米）

答：

这捆电线原来有

54米。

答案】54米

巩固】甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工，问：

这批零件有多少个？

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答关键词】可逆思想方法解析】如右图所示，按照图与题目的条件，

答案】例4】小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去

第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：

小丽原有多少钱？

415（元），第二次剩下5210（元），第一次剩下

解析】用倒推法，第二次剩下的一半是

10220（元），原来有20424（元）。

列综合算式：

4122424答：

小丽原有24元。

答案】24元

巩固】有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。

这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答关键词】可逆思想方法解析】

从上面的线段图可以看出：

最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是224（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是

5210（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是11222（个）。

22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？

先求有多少个苹果：

（1+1）2+121222（个）再求每个苹果平均值多少钱：

66223（角），每个苹果平均值3角钱。

答案】3角

例5】思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩

下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

关键词】可逆思想方法解析】根据题意，画出线段图，倒推分析．

8216（米）

16232（米）

所以这段五彩布原来长32米．

答案】32米

巩固】一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克?

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

关键词】可逆思想方法

解析】采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以

第一天运出后，剩下的一半重量是431231（克）；这样，第一天运出后剩下的重31262（克）.那么同理，一半的重量是621250（克），原有食物502100（克）.即

（[4312）212]2100（克）.

答案】100克

20个，到第十次卖出一半后恰好余下20个，则玩具店原有

例6】玩具店的玩具每卖出一半，就补充玩具___个。

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】填空

关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试，第4题，可逆思想方法解析】20×2=40，40÷2+20=40，所以前9次每次都剩40个，原有也是40个。

答案】40个巩固】牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后清

查还剩6只。

这群羊在过河前共有只。

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】填空

关键词】2006年，希望杯，第四届，四年级，二试，第6题解析】用还原法，过第10条河之前，有（6-3）×2＝6只，因此他过每一条河之前都有6只羊，最初也

共有6只。

答案】6只

个组的书一样多。

这说明甲组原来有书本。

考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试解析】甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280÷4=70，所以甲

原来有70-4=66本书

答案】66本书

140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，

巩固】一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有

考点】多个变量的还原问题

乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只难度】2星【题型】解答

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关键词】可逆思想方法

140只，所以这

解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为

时两组各有沙袋70只．解答时可以从70开始倒推．列表倒推如下：

解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推．

答案】甲67，乙73

例8】三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？

考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

关键词】可逆思想方法

解析】甲：

2404020260（元）；乙：

240403070160（元）；丙：

240302070300．答案】甲260元，乙160元，丙300元

巩固】小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小红给小巧8个，他们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？

考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答关键词】可逆思想方法

解析】由已知条件可知，小巧比原来多了2个，小亚比原来多了1个，小红少了3个，三人一样多时，都是90330（个），所以小巧原来有30228（个），小亚原来有30129（个），小红原来有30333（个）．

答案】所以小巧原来有28个，小亚原来有29个，小红原来有33个．

例9】三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟?

考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答关键词】可逆思想方法

解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是36312（只），第一棵树上

的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了

8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：

现在一样多的：

36312（只），第一棵树上的小鸟只数：

121046（只）或12（104）6（只），第二棵树上的小鸟只数：

128416（只）或12（84）16（只），第三棵树上的小鸟只数：

1210814（只）或12（108）14（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．

答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟

巩固】三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？

考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

关键词】可逆思想方法

解析】三棵树上的鸟同样多的只数：

2739（只），第一棵数上鸟的只数：

9427（只），第二棵数上鸟的只数：

92310（只），第三棵数上鸟的只数：

93410（只），第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟．

答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟

例10】甲、乙、丙3人共有192张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙

那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？

考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答关键词】可逆思想方法

解析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：

192364（张）．第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票64232（张），丙有邮票：

643296（张），依此类推，就可以推出答案了．最后相等时各有192364（张），列表倒推如下：

答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为88，56，48张

巩固】有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放入甲堆中，这时三堆苹果数相等．原来甲堆有个苹果，乙堆有个苹果，

丙对有个苹果．

考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空

关键词】2010年，学而思杯，2年级，第12题，可逆思想方法解析】如下表：

答案】甲44，乙28，丙24

课堂检测

【随练1】一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗

考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答关键词】可逆思想方法

解析】3672416244.

答案】244

随练2】食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后

剩下122千克．这批大米共有多少千克？

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答关键词】可逆思想方法

解析】列式为：

（[1228）228]22002400（千克）答案】400千克

随练3】3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?

考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

关键词】可逆思想方法

解析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是78326（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了26834（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第2个笼子里有：

266824（只），第3个笼子里原有26620（只）．

答案】第1个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第3个笼子里原有20只。

家庭作业

【作业1】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：

“我得了多少分？

”老师说：

“你的得分减去6后，缩小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？

【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大2倍是100分，没有扩大2倍之前应是100250

（分），加上10后是50分，没有加上10前应是501040（分），缩小2倍是40分，那么没有缩小2倍前应是40280（分），减去6后是80分，没有减去6前应是80686（分）．综合列式为：

（100210）26402686（分），所以，小刚这次竞赛得了86分．

【答案】86

【作业2】山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下

的一半多2个，这时还剩1个，问：

树上原来有多少个桃子？

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答关键词】可逆思想方法

解析】2（[12）22]16（个）.答案】16个

作业3】一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

关键词】可逆思想方法

解析】由逆推法知，第二次用完还剩下15+722（米），第一次用完还剩下（2210）224（米），原来电线长（243）254（米），（15710）23254（米）.

答案】54米

28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？

作业4】甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有

考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答关键词】可逆思想方法

解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28214（棵），乙班有281442（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42221（棵），甲班原有树142135（棵）．列表倒推如下:

答案】甲班原有树35棵，乙班原有树21棵

1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼

3个笼子里的兔子一样多．求3个笼子里原来各养了多

作业5】3个笼子里共养了36只兔子，如果从第子里取出6只放到第3个笼子里，那么少只兔子？

考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

关键词】可逆思想方法

解析】3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出现在每个笼里的兔子是36312（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了12820（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：

1266（只），第2个笼子里原有：

3620610（只）．

答案】第1个笼子里原来养了20只，第2个笼子里原有10只，第3个笼子里原有6只。

作业6】牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有三分之一的羊掉人河中，每次他都捞上3只，最

后清查还剩9只。

这群羊在过河前共有只。

考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】填空关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试，第4题解析】采用逆推的方法，最后剩的9只羊中有3只是上一次捞上来的，有6只是上次没有掉入河中的，

也就是上次全部羊的32，那么可知前一次过河前羊的数量也是9只，同理可得最初羊的总数也是

9.答案】9只