221二次函数一元二次方程一元二次不等式的关系.docx

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221二次函数一元二次方程一元二次不等式的关系

课题

2.2.1二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

教学

目标

知识目标

理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系，能利用二次函数图像求对应一元二次不等式的解集.

能力目标

培养学生的识图、绘图、用图能力，体会数形结合思想.

情感目标

培养学生的勇于探索的精神，体验事物普遍联系的辩证观.

教学

重点

正确理解三个二次之间的关系.

教学

难点

探索三个二次之间关系的过程.

教法

学法

讲授法、讨论法.

课后

反馈

教学环节及内容

设计思路

一、知识回顾

一般地，我们把含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的整式不等式叫做一元二次不等式．

其一般形式为

或

其中为实数，且.

能使一元二次不等式成立的未知数值的集合叫作一元二次不等式的解集．

二、探索新知

1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

观察二次函数的图像（如图）.

复习一元二次不等式的定义，教师提问，学生回忆口答.

教学环节及内容

设计思路

当或时，函数图像在轴上方，；

当或时，函数图像在轴上，；

当时，函数的图像都在轴下方，.

（1）方程的解是二次函数的图像与轴交点的横坐标，即，.

（2）不等式的解集是二次函数的图像位于轴上方部分的点的横坐标值的范围，即.

（3）不等式的解集是二次函数的图像位于轴下方部分的点的横坐标值的范围，即.

一般地，当时，函数，方程，不等式，之间的关系如表所示.

二次函数的图像

（）

一元二次方程

的根（）

有两个实根或

（）

有两个相等实根

无实根

一元二次不等式

的解的集合（

教学环节及内容

设计思路

）

一元二次不等式

的解的集合（）

一元二次不等式

的解的集合（）

一元二次不等式

的解的集合（）

若，将一元二次不等式两边同时乘以，从而转化成的情况解决，但注意不等号要改变方向.

2.例题分析

例1判断下列式子哪些是一元二次不等式：

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）.

解

（1）不是.

（2）不是.（3）是.（4）是.（5）是.（6）不是.

例2写出下列一元二次不等式对应的一元二次方程和二次函数，作出对应二次函数的图像，观察二次函数图像，写出一元二次不等式的解集．

（1）；

（2）.

解

（1）对应的一元二次方程为.

对应的二次函数为.

函数的图像如图

（1）所示.

教学环节及内容

设计思路

可以看出，二次函数图像在轴下方的点的横坐标的范围为，所以一元二次不等式解集为.

（1）

（2）

（2）对应的一元二次方程为.

对应的二次函数为.

函数的图像如图

（2）所示．

可以看出，二次函数的图像在轴上方的点的横坐标的范围为或，所以一元二次不等式的解集为.

例3写出不等式对应的一元二次方程，作出对应的二次函数的图像，并写出不等式的解集．

解对应的一元二次方程为.

对应的二次函数.

函数图像如图所示.

观察图像知不等式的解集为.

教学环节及内容

设计思路

三、巩固练习

1.判断题

（1）二次函数就是一元二次不等式.（）

（2）如果二次函数的图像与轴没有交点，那么方程无解.（）

（3）如果方程无解，那么不等式无解.（）

（4）不等式可以转化为.

（）

2.写出下列不等式对应的二次函数，作出对应函数的图像，观察函数图像，并写出不等式的解集．

（1）；

（2）.

四、归纳小结

二次函数的图像分为作图、识图、用图三个层面的要求，而作二次函数的图像又是联系与解决一元二次方程及一元二次不等式问题的“纽带”，是“数形结合”数学思想方法的重要“载体”.通过本节课能掌握用二次函数的图像解决一元二次方程及一元二次不等式问题.

五、课后作业

1.阅读教材章节2.2.1

2.练习册2.2.1

从一个具体的二次函数入手，用“五点法”画出二次函数的草图，通过观察图像，建立相应的一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，从而解决相应的一元二次方程的根和一元二次不等式的解集.师生合作，以问题串的方式层层解决.

学生通过小组合作分析、交流，以表格的形式梳理归纳三个两次之间的关系，有助于学生的理解.

例1是根据一元二次不等式的定义判断一元二次不等式.教师采取抢答的形式来调动学生学习的积极性.

例2和例3是在探究三个二次之间关系的基础上，对具体问题的应用.教师引导对二次函数图像的观察，重点是根据图像解决不等式的解集，学生讨论操作，师生一起总结解题的思路和书写格式.

练习由学生自行完成，判断由学生口答，解答题请学生板演解题过程，请其他学生补充点评.

通过归纳本节所学知识，帮助学生梳理三个二次之间的关系.学生总结，教师补充.

（资料素材和资料部分来自网络，供参考。

可复制、编制，期待你的好评与关注）