公因数和公倍数知识点.docx
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公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数
【知识点回忆】
1、公因数
〔1〕互素数：
公因数只有1的两个自然数叫做互素数。
〔2〕简分数：
分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
〔3〕求最大公因数的方法：
分解素因数法和短除法。
2、公倍数
求最小公倍数的方法：
分解素因数和短除法，即用最大公因数x各自独有的因数
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数，有3种根本情况，区别如下：
两个数的关系
最大公因素
最小公倍数
特
互素〔7和8〕
1
两个数的积〔7X8=56〕
殊
较大数是较小数的倍数
较小数〔12〕
较大数〔48〕
关
系
（12和48）
一般关系〔12和18〕
用短除法
将除数连乘
将除数和商连乘
（2X3=6）
（2X3X2x3=36）
4、求最大公因数和最小公倍数的方法：
一、特殊情况：
〔1〕倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
〔如；6和
12的最大公因数是6，最小公倍数是12。
）
（2）互质关系的两个数，最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
（如,
最大公因数时1，最小公倍数是5X7=35）
二、一般情况：
（1）求最大公因数：
列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
1列举法：
如，求18和27的最大公因数
先找出两个数的所有因数18的因数有：
1、2、3、6、9、18
27的因数有：
1、3、9、27
再找出两个数的公因数：
18的因数有：
|1、2、3、6、9、18
27的因数有：
1、3、9、27
1、3、9
最后找出最大公因数：
9
2单列举法：
如，求18和27的最大公因数
先找出其中一个数的因数：
18的因数有：
1、2、3、6、9、18
再找这些因数中那些又是另一个数的因数：
1、3、9又是27的因数
最后找出最大公因数：
9
3短除法:
除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘3X3=9
4除法算式法：
18
27
用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止
9就是18和27的最大公因数
〔2〕求最小公倍数：
列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
1列举法：
如，求18和12的最小公倍数
先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数：
18的倍数：
18、36、54、72
12的倍数：
12、24、36、48
再找出两个数的最小公倍数：
18的倍数：
18、36、54、72
12的倍数：
12、24、36、48
2单列举法：
如，求18和12的最小公倍数
先找出一个数的倍数：
18的倍数有：
18、36、54、72
再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数：
36
3大数翻倍法：
如，求18和12的最小公倍数
把较大的数翻倍〔2倍开始〕，每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最
小公倍数为止。
如，求18和12的最小公倍数。
可以把18翻倍：
18X2=36,36又是12的倍数，所以36是18和12的最小公倍数。
4短除法：
用这两个数同时除以一个质数〔要能整除〕
1812
如，求18和12的最小公倍数，先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数3,除到两个商是互质数〔公因数只有1〕为止。
除到商是互质数为止，最后把所有的除数和商相乘
18和12的最小公倍数是：
2X3X3X2=36
除数
【例题精讲】
问题1、〔1〕既是30的因数，又是45的因数的数共有几个？
其中最大的数是多少？
〔2〕既是30的倍数，又是45的倍数的数，最小是多少？
想：
〔1〕既是30的因数，又是45的因数的数，就是30和45的公因数，其中最大的就
是30和45的最大公因数；〔2〕既是30的倍数，又是45的倍数的数就是30和45的公倍数，其中最小的数就是30和45的最小公倍数。
解：
〔1〕30和45的公因数有：
1，3，5，15共四个，其中最大的是15；
〔2〕30和45的公倍数有：
90，180，270等等，其中最小是90。
随堂练习
1、既是30的倍数，又是45的倍数，还是75的倍数的数，最小是多少？
问题2、三个连续自然数的最小公倍数是168，那这三个连续自然数的和是多少？
解析：
要求三个连续自然数的和，就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最
小公倍数是168，可先把168分解质因数168=2X2X2X3X7,根据168的质因数的情况可以肯定其中一个是7,〔为什么不可能是14〕因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、
8、9两种可能，而7、8、9这三个数任两个数公因数都是1，故这三个连续自然数只能是
6、7和8。
〔经检验正确〕它们的和是6+7+8=21。
答：
这三个连续自然数是6、7、8。
它们的和是21。
随堂练习
1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几?
问题3、有一种长60厘米，宽45厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形？
想：
用长60厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60的倍数,
也是45的倍数，也就是60和45的公倍数，因此正方形的边长是180厘米，由此容易求得一共用的地砖块数。
解：
[60、45]=180（180-60）X（180-45）=12（块）
答：
至少要用12块这样的砖，才能铺成一块正方形。
随堂练习
1、一种长45厘米，宽30厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板
多少块？
问题4、某班学生排队做操，如果每排3人，少了1人；如果每排5人，就多出2人；如果每排6人，就多出2人。
这个班至少有多少人？
想：
如果把每排3人，就少了1人，转化成每排3人，也就是多了2人，这样就把这个
班分别排成每排3人、5人、6人都统一成多出了2人。
如果把这个班的人数减去2人，那么这个班的学生人数正好是3、5和6的倍数，也就是3、5和6的最小公倍数，然后加上
多出的2人就是这个班的学生人数。
解：
[3、5、6]=30,30+2=32〔人〕答：
这个班至少有32人。
随堂练习
1、有一个自然数，除以10余7,除以6余3，除以4余1。
这个自然数最小是多少？
问题5、五〔2〕班同学共38人。
一天上体育课，排成一列横队，都面向老师站，然后按1,2,3,4……36,37,38报数，老师要求学生按如下的步骤进行操作：
〔1〕先让
报数是3的倍数的同学向后转；〔2〕再让报数是5的倍数的同学向后转。
经过这两步操作后，还有多少名同学仍面向老师？
解析：
报数是3的倍数的同学有：
38+3-12〔人〕，报数是5的倍数的同学有：
38+5-7〔人〕，但要注意的是，报数是3和5的公倍数的同学有38+〔3X5〕-2〔人〕，而这2人转了2次，又面向了老师，所以经过两步操作后，背对老师的同学共有12+7-2X2=
15〔人〕，这时仍有38—15=23〔名〕同学面对老师。
答：
经过这两步操作后，还有23名同学仍面向老师。
随堂练习
1、五〔1〕班同学有47人，一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按1、2、3、
4••…46、47报数，老师要求学生按如下的步骤操作：
〔1〕先让报数是3的倍数的同学
向后转；〔2〕再让报数是5的倍数的同学向后转。
经过这两步操作后，还有多少名同学面向老师？
最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总
一、解题技巧：
最大公因数解题技巧：
通常从问题入手，所求的数量处于小数〔即处于除数、商、因数〕的地位时,因为小数〔即处于除数、商、因数〕是大数〔即处于被除数、被除数、积〕的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。
如果出现相同的〔公有的〕/最长的
所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。
最小公倍数解题技巧：
通常从问题入手，所求的数量处于大数〔即处于被除数、被除数、积〕的地
位时，因为大数〔即处于被除数、被除数、积〕是小数〔即处于除数、商、因数〕的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。
如果出现相同的〔公有的〕/最
小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。
补充局部公式
小长方形个数=〔大正方形边长*小长方形长〕X〔大正方形边长-小长方形的宽〕
小正方形个数=〔大长方形的长*小正方形边长〕X〔大长方形的宽*小正方形边长〕
小长方体个数=〔大正方体边长*小长方体长〕X〔大正方体边长*小长方体的宽〕X〔大正方体边长-小长方体高〕
小正方体个数=〔大长方体边长*小正方体边长〕X〔大长方体的宽*小正方体边长〕X〔大长方体的高-小正方体边长〕
剩余定理
余数相同时，总数〔被除数〕=最小公倍数+余数缺数相同时，总数〔被除数〕=最小公倍数-缺数
植树问题公式
不封闭型：
1、两端都栽
间隔个数=株数一1
株数=间隔个数+1
2、只有一端都栽
间隔个数=株数
株数=间隔个数
距离=一个间隔的长度X间隔个数
距离=一个间隔的长度X间隔个数
3、两端都不栽
间隔个数=株数+1
株数=间隔个数一1
距离=一个间隔的长度X间隔个数
封闭型：
间隔个数=株数
株数=间隔个数
距离=一个间隔的长度X间隔个数
封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：
株数=〔每边株数—1〕X4
备注：
上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题,类题通常先求一层/一段需要多少时间，再乘以段数即可
二、经典题目
1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成假设干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？
最多能裁成多少个小正方形？
2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？
此时，大的正方形的边长是多少厘米？
3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成假设干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？
最多能裁成多少个小正方体？
4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。
至少要多少个这样的小长方体才能拼成一个大的正方体？
此时，大的正方体的棱长是多少厘米？
5、一路车5分钟发一次车，二路车6分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要多少时间
再次同时发车?
6、崔青青5天去一次图书馆，李幻霞3天去一次图书馆，修畅6天去一次图书馆，她们今天同时在图书馆，至少要多少天她们3人再次相遇？
7、五〔3〕班做早操，每6人一排或每7人一排，都能排成整排而没有剩余，五〔3〕班至
少有多少人？
8、五〔3〕班做早操，每6人一排或每7人一排，都都剩余3人，五〔3〕班至少有多少人？
〔备注：
最小公倍数与剩余定理题综合出题〕
9、五〔3〕班做早操，每6人一排少3人，每7人一排剩余4人，五〔3〕班至少有多少人？
〔备注：
最小公倍数与剩余定理题综合出题〕
10、五〔3〕班分水果，桃子84个，苹果42个，平均分给每个同学正好分完而没有剩余。
五〔3〕班最多有多少人？
11、两根铁丝分别长72米、48米，把他们裁成相等的段数，正好裁完，而没有剩余，每段最长是多少米？
12、有一段路每8米栽一棵树，头尾都栽共栽了51棵。
如果改成5米一棵，至少几米有
棵不动？
共有多少棵不动？
〔备注：
最小公倍数与植树问题综合出题〕
附加:
1、起步价问题某城市根据不同的用水量采用不同的自来水收费标准，收费标准如下表:
月用水量〔立方米/户〕
收费
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