公因数和公倍数知识点.docx

1、公因数和公倍数知识点公因数和公倍数【知识点回忆】1、 公因数1互素数：公因数只有1的两个自然数叫做互素数。2 简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。3求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。2、 公倍数求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数x各自独有的因数3、 求两个数的最大公因数和最小公倍数，有 3种根本情况，区别如下：两个数的关系最大公因素最小公倍数特互素7和81两个数的积7 X8=56 殊较大数是较小数的倍数较小数12 较大数48关系(12 和 48 )一般关系12和18 用短除法将除数连乘将除数和商连乘(2 X3=6 )(2 X3 X2 x3=36 )4、求最大

2、公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：1 倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。)(2 )互质关系的两个数，最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。 (如,最大公因数时1，最小公倍数是5 X7=35 )二、一般情况：(1 )求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。1列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有：|1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、271、3、9

3、最后找出最大公因数： 92单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数： 1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数： 93短除法:除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘 3 X3=94除法算式法：1827用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止9就是18和27的最大公因数2 求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。1列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212 的倍数：12、24、36、48再找出两个

4、数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212 的倍数：12、24、36、482单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 363大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍2倍开始，每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。如，求18和12的最小公倍数。可以把 18翻倍：18 X2=36 , 36又是12的倍数，所 以36是18和12的最小公倍数。4短除法：用这两个数同时除以一个质数要能整除18 12如，求18和12的最小公倍数，

5、先用18和12同时除以质数2，再同时除以质数 3, 除到两个商是互质数公因数只有 1为止。除到商是互质数为止，最后把所有的 除数和商相乘18和12的最小公倍数是：2 X 3X 3X 2=36除数【例题精讲】问题1、1 既是30的因数，又是45的因数的数共有几个？其中最大的数是多少？2既是30的倍数，又是45的倍数的数，最小是多少？想：1既是30的因数，又是45的因数的数，就是 30和45的公因数，其中最大的就是30和45的最大公因数；2既是30的倍数，又是45的倍数的数就是 30和45的公 倍数，其中最小的数就是 30和45的最小公倍数。解：130和45的公因数有：1，3，5，15共四个，其中

6、最大的是 15 ；230和45的公倍数有：90，180，270等等，其中最小是 90。随堂练习1、既是30的倍数，又是45的倍数，还是75的倍数的数，最小是多少？问题2、三个连续自然数的最小公倍数是 168，那这三个连续自然数的和是多少？解析：要求三个连续自然数的和， 就要把这三个自然数求出来， 而这三个连续自然数的最小公倍数是168，可先把168分解质因数168 = 2 X2 X2 X3 X7 ,根据168的质因数的情况 可以肯定其中一个是 7,为什么不可能是14 因此这三个连续自然数只有 6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任两个数公因数都是 1，故这三个连续自然数只能是6

7、、7和8。经检验正确它们的和是 6 + 7 + 8 = 21。答：这三个连续自然数是 6、7、8。它们的和是21。随堂练习1、三个连续自然数的最小公倍数是 660，那么这三个连续自然数各是几?问题3、有一种长60厘米，宽45厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少 块这样的砖，才能铺成一块正方形？想：用长60厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是 60的倍数,也是45的倍数，也就是60和45的公倍数，因此正方形的边长是 180厘米，由此容易求 得一共用的地砖块数。解：60、45 = 180 (180 -60 )X( 180 -45 )= 12 (块)答：至少要用12块

8、这样的砖，才能铺成一块正方形。随堂练习1、一种长45厘米，宽30厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种塑料板多少块？问题4、某班学生排队做操，如果每排 3人，少了 1人；如果每排5人，就多出2人；如 果每排6人，就多出2人。这个班至少有多少人？想：如果把每排3人，就少了 1人，转化成每排3人，也就是多了 2人，这样就把这个班分别排成每排3人、5人、6人都统一成多出了 2人。如果把这个班的人数减去 2人，那 么这个班的学生人数正好是 3、5和6的倍数，也就是3、5和6的最小公倍数，然后加上多出的2人就是这个班的学生人数。解：3、5、6 = 30 , 30 + 2 = 32 人 答：这个

9、班至少有 32人。随堂练习1、有一个自然数，除以 10余7,除以6余3，除以4余1。这个自然数最小是多少 ？问题5、五2班同学共38人。一天上体育课，排成一列横队，都面向老师站，然 后按1 , 2 , 3, 436 , 37 , 38报数，老师要求学生按如下的步骤进行操作： 1 先让报数是3的倍数的同学向后转；2再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步操作 后，还有多少名同学仍面向老师？解析：报数是3的倍数的同学有：38 +3 -12 人，报数是5的倍数的同学有：38 +5 - 7 人，但要注意的是，报数是 3和5的公倍数的同学有 38 +3 X5-2 人，而这2 人转了 2次，又面向了老师

10、，所以经过两步操作后，背对老师的同学共有 12 + 7-2 X2 =15 人，这时仍有38 15 = 23 名同学面对老师。答：经过这两步操作后，还有 23名同学仍面向老师。随堂练习1、五1 班同学有47人，一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按 1、2、3、446、47报数，老师要求学生按如下的步骤操作： 1 先让报数是3的倍数的同学向后转；2再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学 面向老师？最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数即处于除数、商、因数的地位时, 因为小数即处于除数、商、因数是

11、大数即处于被除数、被除数、积的因 数，此时，所求的数量就处于因数的地位。如果出现相同的公有的 /最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数即处于被除数、被除数、积的地位时，因为大数即处于被除数、被除数、积是小数即处于除数、商、因数 的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。如果出现相同的公有的 /最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。补充局部公式小长方形个数=大正方形边长*小长方形长X大正方形边长-小长方形的宽小正方形个数=大长方形的长*小正方形边长X大长方形的宽*小正方形边长小长方体个数=大正方体边长*小长方体

12、长X大正方体边长*小长方体的宽X大正方体边长-小长 方体高小正方体个数=大长方体边长*小正方体边长X大长方体的宽*小正方体边长X大长方体的高-小 正方体边长剩余定理余数相同时，总数被除数=最小公倍数+余数 缺数相同时，总数被除数=最小公倍数-缺数植树问题公式不封闭型：1、两端都栽间隔个数=株数一1株数=间隔个数+ 12、只有一端都栽间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度X间隔个数距离=一个间隔的长度X间隔个数3、两端都不栽间隔个数=株数+ 1株数=间隔个数一1距离=一个间隔的长度X间隔个数封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度X间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且 4

13、个顶点都栽：株数=每边株数1 X4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题, 类题通常先求一层/一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成假设干个小正方形而没有剩余，如小正方 形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长 6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正 方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长 24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成假设干个小正方体而没有剩 余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正

14、方体？4、一个长方体的长 6厘米，宽4厘米，高2厘米。至少要多少个这样的小长方体才能拼成 一个大的正方体？此时，大的正方体的棱长是多少厘米？5、一路车5分钟发一次车，二路车 6分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要多少时间再次同时发车?6、崔青青5天去一次图书馆，李幻霞 3天去一次图书馆，修畅 6天去一次图书馆，她们今 天同时在图书馆，至少要多少天她们 3人再次相遇？7、 五3 班做早操，每6人一排或每7人一排，都能排成整排而没有剩余，五 3班至少有多少人？8、 五3班做早操，每6人一排或每7人一排，都都剩余3人，五3班至少有多少人？ 备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题9、 五3 班做早操，每 6人一排少3人，每7人一排剩余4人，五3班至少有多少 人？备注：最小公倍数与剩余定理题综合出题10、 五3班分水果，桃子 84个，苹果42个，平均分给每个同学正好分完而没有剩余。 五3班最多有多少人？11、 两根铁丝分别长 72米、48米，把他们裁成相等的段数，正好裁完，而没有剩余，每 段最长是多少米？12、有一段路每8米栽一棵树，头尾都栽共栽了 51棵。如果改成5米一棵，至少几米有棵不动？共有多少棵不动？备注：最小公倍数与植树问题综合出题附加: 1、起步价问题 某城市根据不同的用水量采用不同的自来水收费标准，收费标准如下表:月用水量立方米/户收费