高中数学选修本理科12离散型随机变量的期望与方差一.docx

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高中数学选修本理科12离散型随机变量的期望与方差一

2019-2020年高中数学选修本（理科）1.2离散型随机变量的期望与方差

（一）

教学目的：

1.了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望.

2.理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ~B（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望.

教学重点：

离散型随机变量的期望的概念.

教学难点：

根据离散型随机变量的分布列求出期望.

授课类型：

新授课.

课时安排：

2课时.

教具：

多媒体、实物投影仪.

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用希腊字母ξ、η等表示.

2.离散型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

3.连续型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:

离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.

若是随机变量，是常数，则也是随机变量.并且不改变其属性（离散型、连续型）.

5.分布列:

设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表

…

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

6.分布列的两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1.

7.离散型随机变量的二项分布:

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

，（k＝0,1,2,…，n，）.

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

…

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p），其中n，p为参数，并记＝b（k；n，p）.

8.离散型随机变量的几何分布：

在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量.“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P（）=p，P（）=q（q=1-p），那么

（k＝0,1,2,…，）.于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

…

称这样的随机变量ξ服从几何分布.

记作g（k，p）=，其中k＝0,1,2,…，.

二、讲解新课：

根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：

已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望.

根据射手射击所得环数ξ的分布列，

我们可以估计，在n次射击中，预计大约有

　　次得4环；

　　次得5环；

…………

　　次得10环.

故在n次射击的总环数大约为

，

从而，预计n次射击的平均环数约为

这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平.

对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:

….

1.数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

…

则称……为ξ的数学期望，简称期望.

2.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

3.平均数、均值:

一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值.

4.期望的一个性质:

若（a、b是常数），ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

…

于是……

＝……）……）

＝，

由此，我们得到了期望的一个性质:

5.若ξB（n,p），则Eξ=np

证明如下：

∵　

，

∴　0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×.

又∵

，

∴＋＋…＋＋…＋.

故　　若ξ～B（n，p），则np.

三、讲解范例：

例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望.

解：

因为

，

所以

例2.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望.

解：

∵

，

=3.5.

例3.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次.求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）.

解：

抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：

（=1，2，…，10）

需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：

.由此可得的概率分布如下：

0.15

0.1275

0.1084

0.092

0.0783

0.0666

0.0566

0.0481

0.0409

0.2316

根据以上的概率分布，可得的期望

例4.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望.

解：

设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~B（20,0.9）,,

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5.所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

例5.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望.

解：

抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

所以

1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×

＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）×＝3.5.

抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值.

例6.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费（超出不足lkm的部分按lkm计）.从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程（这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η.

（Ⅰ）求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

（Ⅱ）若随机变量ξ的分布列为

0.1

0.5

0.3

0.1

求所收租车费η的数学期望.

（Ⅲ）已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

解：

（Ⅰ）依题意得　η=2（ξ-4）十10，即　η=2ξ+2；

（Ⅱ）

∵η=2ξ+2

∴2Eξ+2=34.8（元）

故所收租车费η的数学期望为34.8元.

　　（Ⅲ）由38=2ξ+2，得ξ=18，5（18-15）=15

　　所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.

四、课堂练习：

1.口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（）

A.4；　　B.5；　　C.4.5；　　D.4.75.

答案：

2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；

⑵他罚球2次的得分η的数学期望；

⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望.

解：

⑴因为，，所以

1×＋0×

⑵η的概率分布为

所以0×＋1×＋2×＝1.4.

⑶ξ的概率分布为

０

１

　　　所以0×＋1×＋2×＝2.1.

3.设有m升水，其中含有大肠杆菌n个.今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望.

分析：

任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P（ξ=k）,进而可求Eξ.

　　解：

记事件A：

“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P（A）=.

　　　　∴　P（ξ=k）=Pn（k）=C）k（1－）n－k（k=0,1,2,….,n）.

　　∴　ξ～B（n,），故　Eξ=n×=.

五、小结：

（1）离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

（2）求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ.公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np.

2019-2020年高中数学选修本（理科）1.2离散型随机变量的期望与方差

（二）

教学目的：

1.了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.

2.了解方差公式“D（aξ+b）=a2Dξ”，以及“若ξ～Β（n，p），则Dξ=np（1—p）”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.

教学重点：

离散型随机变量的方差、标准差.

教学难点：

比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题.

授课类型：

新授课.

课时安排：

2课时.

教具：

多媒体、实物投影仪.

内容分析：

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.

回顾一组数据的方差的概念：

设在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别是，，…，，那么＋＋…＋叫做这组数据的方差.

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用希腊字母ξ、η等表示.

2.离散型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

3.连续型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:

5.分布列:

…

6.分布列的两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1.

7.二项分布:

ξ～B（n，p），并记＝b（k；n，p）.

…

8.几何分布：

g（k，p）=，其中k＝0,1,2,…，.

…

9.数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

…

则称……为ξ的数学期望，简称期望.

10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

11平均数、均值:

在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值.

12.期望的一个性质:

13.若ξ~B（n,p），则Eξ=np.

二、讲解新课：

1.方差:

对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,

＝＋＋…＋＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望.

2.标准差:

的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作.

3.方差的性质：

（1）；

（2）；

（3）若ξ～B（n，p），则np（1-p）.

4.其它：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.

三、讲解范例：

例1.设随机变量ξ的分布列为

…

求Dξ.

解：

（略）

例2.已知离散型随机变量的概率分布为

离散型随机变量的概率分布为

3.7

3.8

3.9

4.1

4.2

4.3

求这两个随机变量期望、均方差与标准差.

解：

；

；.

；

=0.04,.

点评：

本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中.，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中.

＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差.

例3.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：

射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平.

解：

+（10-9）；

同理有.

由上可知，，.所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些.

点评：

本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同.=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况.

例4.A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

A机床B机床

次品数ξ1

概率P

0.7

0.2

0.06

0.04

概率P

0.8

0.06

0.04

0.10

问哪一台机床加工质量较好.

解：

Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它们的期望相同，再比较它们的方差.

Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2

×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,

Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2

×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.

∴Dξ1

四、课堂练习：

1.已知

，则的值分别是（）

A.100和0.08；　　B.20和0.4；　　C.10和0.2；　　D.10和0.8.

答案：

1.D.

2.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.

分析：

涉及次品率；抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.

解：

设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3

当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

P（ξ=0）=

当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

P（ξ=1）=

当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

P（ξ=2）=

当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=

所以，Eξ=

3.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ.

分析：

涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题，关键是理解清楚：

抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：

Eξ=np，Dξ=npq（这里q=1-p）直接进行计算.

解：

因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~B（200，1%）.因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98

4.设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4.

分析：

这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差Dξ=P（1-P）后，我们知道Dξ是关于P（P≥0）的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论.

证明：

因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P（ξ=1）=p,

所以，Eξ=0×（1-p）+1×p=p.

则Dξ=（0-p）2×（1-p）+（1-p）2×p=p（1-p）

5.有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

ξA

110

120

125

130

135

ξB

100

115

125

130

145

0.1

0.2

0.4

0.1

0.2

0.1

0.2

0.4

0.1

0.2

其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好.

分析：

两个随机变量ξA和ξB&都以相同的概率0.1，0.2，0.4，0.1，0.2取5个不同的数值.ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145.直观上看，猜想A种钢筋质量较好.但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性.

解：

先比较ξA与ξB的期望值，因为

EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,

EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.

所以，它们的期望相同.再比较它们的方差.因为

DξA=（110-125）2×0.1+（120-125）2×0.2+（130-125）2×0.1+（135-125）2×0.2=50，

DξB=（100-125）2×0.1+（110-125）2×0.2+（130-125）2×0.1+（145-125）2×0.2=165.

所以，DξA

6.在有奖摸彩中，一期（发行10000张彩票为一期）有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？

分析：

这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的“不考虑获利”的意思是指：

所收资金全部用于奖品方面的费用.

解：

设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100.依题意，可得ξ的分布列为

100

答：

一张彩票的合理价格是0.2元.

五、小结：

⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B（n，p），则不必写出分布列，直接用公式计算即可.

⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要.

六、课后作业：

1.设～B（n、p）且E=12D=4，求n、p

解：

由二次分布的期望与方差性质可知E=npD=np（1－p）

∴∴

2.已知随机变量服从二项分布即~B（6、）求b（2；6，）

解：

p（=2）=c62（）2（）4

3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和的分布列如下：

（注得分越大，水平越高）

0.1

0.6

0.3

试分析甲、乙技术状况

解：

由0.1+0.6+a+1a=0.30.3+0.3+b=1a=0.4

∴E=2.3,E=2.0D=0.81,D=0.6.

七、板书设计（略）

八、课后记：

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