高中数学选修本理科12离散型随机变量的期望与方差一.docx

1、高中数学选修本理科12离散型随机变量的期望与方差一2019-2020年高中数学选修本(理科)1.2离散型随机变量的期望与方差（一）教学目的：1.了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望.2.理解公式“E（a+b）=aE+b”，以及“若B（n,p），则E=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望.教学重点：离散型随机变量的期望的概念.教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望.授课类型：新授课.课时安排：2课时.教 具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常

2、用希腊字母、等表示.2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若是随机变量，是常数，则也是随机变量.并且不改变其属性（离散型、连续型）.5.分布列:设离散型随机变量可能取得值为x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为，则称表

3、x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的概率分布，简称的分布列.6.分布列的两个性质： Pi0，i1，2，； P1+P2+=1.7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）.于是得到随机变量的概率分布如下：01knP称这样的随机变量服从二项分布，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p).8.离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数也是一个正整数

4、的离散型随机变量.“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么（k0,1,2,， ）.于是得到随机变量的概率分布如下：123kP称这样的随机变量服从几何分布.记作g(k，p)= ，其中k0,1,2,， .二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数的分布列如下45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.这就是我们今天要学习

5、的离散型随机变量的期望.根据射手射击所得环数的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预计大约有次得4环；次得5环；次得10环.故在n次射击的总环数大约为，从而，预计n次射击的平均环数约为.这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平.对于任一射手，若已知其射击所得环数的分布列，即已知各个（i=0，1，2，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:.1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的数学期望，简称期望.2.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量

6、取值的平均水平.3.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值.4. 期望的一个性质:若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，它们的分布列为x1x2xnPp1p2pn于是 ) ，由此，我们得到了期望的一个性质:5.若B（n,p），则E=np 证明如下：，012kn.又 ， .故若B(n，p)，则np.三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望.解：因为，所以.例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望.解：，=3.5.例3. 有一批数量很大的产

7、品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次.求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）.解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，10）取出次品的概率：（=1，2，10）需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：.由此可得的概率分布如下：123456789100.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316根

8、据以上的概率分布，可得的期望.例4. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望.解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则 B（20,0.9）,.由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5.所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：.例5.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的数学期望.解：抛掷骰子所得点数的概率分布为1

9、23456P所以 123456(123456)3.5.抛掷骰子所得点数的数学期望，就是的所有可能取值的平均值.例6.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量.设他所收租车费为.()求租车费关于行车路程的关系式；()若随机变量的分布列为15161718P0

10、.10.50.30.1求所收租车费的数学期望.()已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：()依题意得=2(-4)十10，即=2+2；() =2+2 2E+2=34.8 （元）故所收租车费的数学期望为34.8元.()由38=2+2，得=18，5(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）A.4；B.5；C.4.5；D.4.75.答案：C.2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分.已知某运动员罚球

11、命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的数学期望；他罚球2次的得分的数学期望；他罚球3次的得分的数学期望.解：因为，所以10的概率分布为012P所以 0121.4. 的概率分布为23P所以 0122.1.3.设有m升水，其中含有大肠杆菌n个.今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为，求的数学期望.分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(=k),进而可求E.解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=.P(=k)=Pn(

12、k)=C)k(1)nk（k=0,1,2,.,n）.B(n,)，故E =n=.五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量的期望的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E.公式E（a+b）= aE+b，以及服从二项分布的随机变量的期望E=np.2019-2020年高中数学选修本(理科)1.2离散型随机变量的期望与方差（二）教学目的：1.了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.2.了解方差公式“D(a+b)=a2D”，以及“若(n，p)，则D=

13、np(1p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.教学重点：离散型随机变量的方差、标准差.教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题.授课类型：新授课.课时安排：2课时.教 具：多媒体、实物投影仪.内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别

14、是，那么叫做这组数据的方差.教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用希腊字母、等表示.2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.5.分布列: x1x2xiPP1P

15、2Pi6. 分布列的两个性质： Pi0，i1，2，； P1+P2+=1.7.二项分布:B(n，p)，并记b(k；n，p).01knP8.几何分布： g(k，p)= ，其中k0,1,2,， .123kP9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的数学期望，简称期望.10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值.12. 期望的一个性质: 13.若B（n,p），则E=np.二、讲解新课：1.方差:对于离散型随机变量，如果

16、它所有可能取的值是，且取这些值的概率分别是，那么,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望.2.标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作.3.方差的性质：（1）；（2）；（3）若B(n，p)，则np(1-p).4.其它：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.三、讲解范例：例1.设随机变量的分布列为12nP求D.解：（略）.例2.已知离散型随机变量的概率分布为1234567P离散型随机变量的概率分布

17、为3.73.83.944.14.24.3P求这两个随机变量期望、均方差与标准差.解：；.；=0.04, .点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中.，方差比较清楚地指出了比取值更集中.2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差.例3.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平.解： +（10-9）；同理有.由上可知，.所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环

18、数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些.点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同.=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况.例4.A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A机床 B机床次品数10123次品数10123概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好.解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44

19、.它们的期望相同，再比较它们的方差.D1=（0-0.44）20.7+（1-0.44）20.2+（2-0.44）20.06+（3-0.44）20.04=0.6064,D2=（0-0.44）20.8+（1-0.44）20.06+（2-0.44）20.04+（3-0.44）20.10=0.9264.D1 D2 故A机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习： 1 .已知，则的值分别是（ ）A.100和0.08；B.20 和0.4；C.10和0.2；D.10和0.8.答案：1.D.2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品

20、为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（=0）=当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（=1）=当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（=2）=当=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（=3）=所以，E=.3. 有一批数

21、量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D.分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即B（200，1%），从而可用公式：E=np，D=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以B（200，1%）.因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D

22、=2001%99%=1.98 4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数的方差不超过1/4. 分析：这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差D=P(1-P)后，我们知道D是关于P(P0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论.证明：因为所有可能取的值为0，1且P（=0）=1-p,P(=1)=p,所以，E=0(1-p)+1p=p.则 D=（0-p）2(1-p)+(1-p) 2p=p(1-p) 5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：A110120125130135B10011

23、5125130145P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2其中A、B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好. 分析： 两个随机变量A和B&都以相同的概率0.1，0.2，0.4，0.1，0.2取5个不同的数值.A取较为集中的数值110，120，125，130，135；B取较为分散的数值100，115，125，130，145.直观上看，猜想A种钢筋质量较好.但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性.解：先比较A与B的期望值，因为 EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+

24、1350.2=125, EB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.所以，它们的期望相同.再比较它们的方差.因为 DA=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50， DB=(100-125)20.1+(110-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165.所以，DA DB.因此，A种钢筋质量较好.6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的

25、前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用.解：设一张彩票中奖额为随机变量，显然所有可能取的值为0，5，25，100.依题意，可得的分布列为0525100P 答：一张彩票的合理价格是0.2元.五、小结 ：求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E；根据方差、标准差的定义求出、.若

26、B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要. 六、课后作业： 1.设B(n、p)且E=12 D=4，求n、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E=np D= np（1p） 2.已知随机变量服从二项分布即B(6、)求b (2；6，)解：p(=2)=c62()2()43.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和的分布列如下：（注得分越大，水平越高）123pa0.10.6123p0.3b0.3试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1a=0.3 0.3+0.3+b=1a=0.4E=2.3 , E=2.0 D=0.81 , D=0.6 .七、板书设计（略）八、课后记：