初二数学经典难题及答案.docx
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初二数学经典难题及答案
初二数学经典难题及答案
初二数学经典题型
1．已知：
如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：
△PBC是正三角形．
证明如下。
首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，
显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。
A
N
F
E
C
D
M
B
2.已知：
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延
所以PQ＝（ME＋NF）/2
又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO
所以角OCB=角NBF
而角C0B＝角Rt＝角BNF
CB=BF
所以△OCB全等于△NBF
△MEA全等于△OAC（同理）
所以EM＝AO，0B＝NF
所以PQ=AB/2.
4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：
∠PAB＝∠PCB．
过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE
因为DP//AE，AD//PE
P
A
D
C
B
所以，四边形AEPD为平行四边形
所以，∠PDA=∠AEP
已知，∠PDA=∠PBA
所以，∠PBA=∠AEP
所以，A、E、B、P四点共圆
所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD为平行四边形，所以：
PE//AD，且PE=AD
而，四边形ABCD为平行四边形，所以：
AD//BC，且AD=BC
所以，PE//BC，且PE=BC
即，四边形EBCP也是平行四边形
所以，∠PEB=∠PCB
所以，∠PAB=∠PCB
5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．
解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
A
C
B
P
D
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45
因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a
所以根据勾股定理得：
AB^2＝AM^2＋BM^2
＝（√2a＋a）^2＋（√2a）^2
＝[5＋2√2]a^2
所以AB＝[√（5＋2√2）]a
6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。
向容器中注满水的全过程共用时间t分。
求两根水管各自注水的速度。
解：
设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。
由题意得：
解之得：
经检验得：
是原方程解。
∴小口径水管速度为
，大口径水管速度为
。
7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，
），且P（
，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？
如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
解：
（1）设正比例函数解析式为
，将点M（
，
）坐标代入得
，所以正比例函数解析式为
同样可得，反比例函数解析式为
（2）当点Q在直线DO上运动时，
设点Q的坐标为
，
于是
，
而
，
所以有，
，解得
所以点Q的坐标为
和
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P（
，
）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为
，
由勾股定理可得
，
所以当
即
时，
有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与
同时取得最小值，
所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝
，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：
①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
解：
（1）证法一：
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC（SAS）.
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC.
又∵PB=PE，
∴PE=PD.
②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD.）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.
A
B
C
P
D
E
F
（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
∵AP=x，AC=
，
∴PC=
-x，PF=FC=
.
BF=FE=1-FC=1-（
）=
.
∴S△PBE=BF·PF=
（
）
.
即
（0＜x＜
）.
②
.
∵
＜0，
∴当
时，y最大值
.
（1）证法二：
①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F.如图所示.
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）.
∴PE=PD.
②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴∠DPE=90°.
∴PE⊥PD.
（2）①∵AP=x，
∴BF=PG=
，PF=1-
.
∴S△PBE=BF·PF=
（
）
.
即
（0＜x＜
）.
②
.
∵
＜0，
∴当
时，y最大值
.
9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（1）求k1、k2的值．
（2）直接写出k1x+b-k2x＞0时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
10、如图12，已知直线
与双曲线
交于
两点，且点
的横坐标为
．
（1）求
的值；
（2）若双曲线
上一点
的纵坐标为8，求
的面积；
（3）过原点
的另一条直线
交双曲线
于
两点（
点在第一象限），若由点
为顶点组成的四边形面积为
，求点
的坐标．
图12
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