整理辅助函数法与非线性方程的精确解.docx
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整理辅助函数法与非线性方程的精确解
环境影响评价,是指对规划和建设项目实施后可能造成的环境影响进行分析、预测和评估,提出预防或者减轻不良环境影响的对策和措施,进行跟踪监测的方法和制度。
(1)规划实施后实际产生的环境影响与环境影响评价文件预测可能产生的环境影响之间的比较分析和评估;
环境,是指影响人类生存和发展的各种天然的和经过人工改造的自然因素的总体。
②既包括天然的自然环境,也包括人工改造后的自然环境。
环境的两个特点:
1.环境影响评价工作等级的划分
一、环境影响评价的基础
(四)环境价值评价方法
(2)评价范围。
根据评价机构专业特长和工作能力,确定其相应的评价范围。
1.筛选环境影响:
环境影响被筛选为三大类,一类是被剔除、不再作任何评价分析的影响,如内部的、小的以及能被控抑的影响;另一类是需要作定性说明的影响,如那些大的但可能很不确定的影响;最后一类才是那些需要并且能够量化和货币化的影响。
目录
辅助函数法与非线性方程的精确解
摘要:
提出寻找非线性发展方程精确解的辅助方程法,并利用辅助方程法的构造性和机械化性特点,引入一种新的辅助方程,作为实例利用这种方法得到一个非线性发展方程的新的精确解.
关键词:
辅助方程法;辅助函数;非线性发展方程;精确解
Theexactsolutionofauxiliaryfunctionmethodandnonlinearequations
Abstract:
theauxiliaryequationmethodisproposedtofindexactsolutionsofnonlinearevolutionequations,andtheuseofauxiliaryequationmethod,structuralandmechanicalcharacteristics,theintroductionofanewauxiliaryequation,anonlinearevolutionequationofnewexactsolutionsasexamplesoftheuseofthismethod
Keywords:
Auxiliaryequationmethod;Auxiliaryfunction;Nonlinearevolutionequation;Exactsolution
引言
非线性学科是现代科学的核心,它研究自然科学中许多现象,如孤波、混沌、吸引子等都是非线性问题,研究面非常广.而非线性的许多问题都可以归结为求非线性偏微分方程的精确解问题.因此,求非线性偏微分方程精确解不管在理论上还是应用上都具有重要的价值.但由于非线性的复杂性,许多重要方程仍无法求出精确解,有的即使能够求得,也需要很多的技巧,目前尚无统一有效的方法.
经过不断努力,学者专家们发现了一系列的方法,如反散射方法[1],Darboux变换[2],Backlund变换[3],双函数法[4],F-函数展开法[5],tanh函数法[6]-[10]椭圆函数展开法等.这些方法都是通过一个辅助的方程的解来代替双曲正切函数法中的双曲正切函数来实现的,如用Riccati方程,Jacobi椭圆函数方程,Weierstrass椭圆函数方程,耦合的Ricatti方程,,Bernoulli方程等.
由以上我们可以得出,非线性发展方程不同的精确孤立波解可以由不同的辅助函数法得到,本文重点研究了辅助函数法及其中的一种推广形式,辅助函数法作为求解非线性偏微分方程的一种有效方法,较其他方法来说,简便易行,算法直接.且这种方法做适当推广后,还能得到更多不同形式的精确解.文中是用辅助函数法及其推广分别求解一个非线性方程,得到了不同算法下不同类型的精确解,丰富了它解的类型,相信这对于非线性偏微分方程界的研究具有重要的价值.
1.预备知识
1.1辅助方程法
假设以下是给定的非线性发展方程
(1)
具有形式的解,然后将其代入方程
(1)得常微分方程
,
(2)
我们取,假如方程
(2)有如下形式的解
(3)
其中为待定的实数,为自然数,假设满足下面的常微分方程
,(4)
其中为待定常量.经计算可得方程(4)的精确解为
(5)
将(3),(4)代入
(2)后令的各次幂的系数等于零,则得到一个以为未知量的非线性代数方程组.求得这个非线性代数方程组的解的每组解同(5)一起代回到(3)就得出非线性发展方程
(1)精确孤立波解.
2.方法的应用
下面用具体例子来说明如何利用辅助函数法和新辅助函数法寻找非线性发展方程的精确孤立波解.
2.1考虑Joseph-Egri方程
(6)
其中为常数.将代入(6)得常微分方程
(7)
关于积分一次得
(8)
由领头项分析法平衡上式中的则得,即,
从而可设方程(7)有形如
(9)
(10)
(11)
(12)
的解,其中为待定常数.
对(4)求导得
(13)
因为故消去除以2得
(14)
再将(9),(11)和(14)代入(8)中后得
(15)
令的系数等于零
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
解方程(16)得
或
由方程(20)得
当
消去得
还有可能,解方程组(17)得
或
由方程(19)得
所以
则
由方程(20)得
当时
当时
综上所述可知
或
且
或
将和(5)一起代入(7)可得
2.2辅助方程法解另一个非线性方程
非线性方程如下
(21)
我们假设方程(21)具有,形式的解,然后将其代入方程后积分一次得
(22)
由领头项分析法平衡上式中的与则得
,得
从而可设方程(21)有形如
(23)的解,其中为待定的常数
再将(4)与(23)代入(21)得
令的各项系数等于零,就可以得到一个非线性方程组
(24)
(25)
(26)
(27)
其中
解方程(24)得或者
解方程(27)得
(Ⅰ)当时解方程(26)得
(Ⅱ)当时解得
(Ⅲ)当时解得
当时解方程(25)得
当时解方程(25)得
综上所述可得
或
又或者
将连同(5)一起代入(23)得到方程的解
结束语
本文主要根据辅助函数法,逐步求解出了Joseph-Egri方程的显式精确解,然后又找出了一种推广形式的辅助函数法展开法.推广形式的辅助函数法对解的形式做了新的改进,相对于新辅助函数法,虽然解的一般形式比原来的辅助函数展开法麻烦,求解的整个过程很复杂,但是由于对精确解有了改进,根据此可以得出了更多不同类型的显式精确解.本文就是又利用了改进的方法求解了Joseph-Egri方程,得出了其不同类型的精确解.
本文寻找的精确行波解都是常系数非线性偏微分方程,而对于非线性变系数偏微分方程是否能用上面的方法进行研究值得进一步思考.
参考文献
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[8]李德生,张鸿庆.改进的Tanh函数方法与广义变系数Kdv与Mkdv方程新的精确解[J].物理学报.2003(07)
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[10]张柱戊,李志斌,段一士.非线性波方程的精确孤立波解[J].中国科学(A辑).2000(12)
致谢
大学四年的生活就要接近尾声了,回想起在这里度过的时光,总是觉得快乐与充实的.这四年里,我不仅学到了许多专业知识,而且学会了如何更好地为人处事,同时也提高了处理事情的能力.我衷心感谢那些向我提供过帮助的老师与同学,是你们让我真正成熟起来,我想这大学四年的求学生涯将会是我人生道路上的一大财富,感谢我的母校!
在这里还要衷心感谢我的论文指导老师阮传同,在写作过程中,他积极地为我们提供论文材料,不断给予我帮助与鼓励,悉心指导,为我排忧解难,让我能够顺利地完成毕业论文的写作与修改,衷心地谢谢他!
最后,我还要衷心感谢我的父母,感谢他们对我多年的培养和教育,因为他们,我才有机会如愿完成自己的大学学业,没有他们就没有我的今天!