长方形的面积解决应用题.docx
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长方形的面积解决应用题
第一章：
用长方形的思想解应用题
第1堂课
知识点：
几何问题
算数问题
形象，一目了然。
分析问题看图说话
看一个公式：
积=一个因数×另一个因数
在这个算式中“一个因数”，“另一个因数”并没有被赋予特殊的意义，而一旦赋予了他们实际的意义，“积”也就有了实际的意义了。
比如一个“因数”表示“长方形的长”，；另一个“因数”表示“长方形的宽”，那么“积”
表示什么呢？
长方形的宽表示“另外一个因数”
长方形的长表示“一个因数”那么积表示_____________？
那么“积=一个因数×另一个因数”还可以赋予哪些意义呢？
。
。
。
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。
长方形的面积的相关概念的关系：
长、宽、面积
面积的形成：
由一条线段平移扫过的部分
C
长方形的面积可以看成是长为a个单位长度的线段向上平移b个单位长度扫过的面积为a×b=ab同样的如果知道线段a扫过的面积为ab，那么宽AD（BC）为多少呢？
如果“长方形的长”表示“工作时间”，；“长方形的宽”表示“工作效率”，那么“长方形面积”表示什么呢______________________________________？
想一想：
如果把“长”赋予“工作效率”，“宽”赋予“工作时间”，对解题有影响吗？
长方形的长和宽还可以赋予什么别的意义呢？
从积=一个因数×另一个因数考虑
例1：
如图示：
长方形ABCE与BEFG的面积和为1，AB=2，BE=4，AD=
，求EF，CG的长？
DC
?
GF
?
A
BE
28
例2（转换例题）：
一件工程，甲、乙合作６天可以完成。
现在甲、乙合作２天后，余下的工程由乙独做又用８天正好做完。
这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？
要求：
1、明确工程问题的基本公式；2、按上图解题，并对长宽赋予意义。
举一反三：
1.修一条公路，甲、乙两队合作10天可以完成。
两队合修4天后，余下的由甲队单独修还需12天。
那么乙队单独修这条公路需要多少天？
2.有一个水箱，用甲水管注水10分钟可以注满，用乙水管注水8分钟可以注满。
甲、乙两管同时开放2分钟后，注入水箱中的水占水箱容量的几分之几？
例3：
如图示：
长方形ABCE与DEFG的面积和为1,AD=
DG=
AB=14，则DE=?
（用两种方法解）
GF
DEEE
EEC
C
?
B
A
14
例4（转换例题）：
修一项工程，甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成，现两队合修，中途甲队休息了3天，乙队休息了若干天，这样一共17天才修完。
乙队休息了几天？
举一反三：
1、一条公路（长180米）甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。
甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修6天完成。
乙队修了多少天？
2、修一项工程，甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成，现两队合修，中途甲队休息了2.5天，乙队休息了若干天，这样一共14天才修完。
乙队休息了几天？
家庭作业
1、项工程甲单独做10天完成一半，余下的甲、乙又合作了6天，正好全部完成。
如果由乙队单独做这项工程，多少天可以完成？
2、某筑路队要修一段高速公路，甲队独修100天完成，乙队独修150天完成。
现在两队合修，其间甲队休息了8天，乙队休息了13天（两个队不能同时休息）。
从开工到完工共用了多少天？
3、六一节，老王到食品店买糖果。
老王带的钱正好只能买20千克的巧克力糖，或者只能买30千克的奶油糖。
老王决定先买8千克的巧克力糖，余下的钱买奶油糖，他还能买多少千克的奶油糖？
4、一段布可以做20件上衣，也可以做28条裤子。
先做15件上衣还可以做多少条裤子？
5、修一条公路，甲队每天修全长的
，乙队独修7.5天修好。
如果两队合修2天后，其余的由乙队独修，还要几天完成？
6、一项工程，甲队独做5天完成了
，乙队接着做了6天，完成了余下的
，余下的由两队合作，还需要几天完成？
第2堂课
知识回顾：
上堂课我们把“长方形的长”赋予了“工作时间”的意义；“长方形的宽”赋予“工作效率”，而“长方形的面积”自然表示了“工作总量”的意义，轻而易举的我们把抽象的工程问题转化到了形像的长方形面积的计算。
例1：
修一条公路，甲队单独做需要30天完成，乙队单独做需要40天完成。
甲队先做若干天后，由乙接着做，共用35天完成任务。
甲、乙两队各做了多少天？
（提示：
可用方程或假设原理：
已作辅助线提示）
t甲=？
t乙=？
甲
乙
35天
举一反三：
一项工程，甲独做要6O小时完成，乙独做要15小时时完成，如果此项工程由甲先做若干小时再由乙单独接着做，这样共用了45小时完成，求完成任务时每人各做了几小时？
t乙=？
乙
t甲=？
甲
甲
45h
例2：
一项工程由甲、乙两队合作要12天完成。
他们合作4天后剩下的由甲独做9天，乙又接着做5天才完成。
这项工成由甲乙两队独做要几天完成？
（转换思想：
甲独做9天，乙又接着做5天转换成甲乙合作5天，甲又独做了9-5=4天）
举一反三：
一项工程，甲、乙合修8天完成。
若让甲先单独修6天，然后乙再单独修9天完成，若乙独做这项工程要多少天完成？
例3：
水池上装有AB两个水管，齐开两管12小时住满水池，现在A管开了5小时，B管开了6小时，只装了水池的
。
如果单开AB两管各要多少小时？
（提示：
1.问题的实质是求AB的效率，
2.转换思想：
A管开5小时，B管开6小时转换成AB合作5小时，B独做1小时）
5h
甲
A的效率=？
乙
B的效率=？
6h
举一反三：
一项工程，甲乙合作12天完成。
如果让甲先单独做3天，甲停工后乙接着独做2天，共完成任务的
，甲乙单独做这项工程各要多少天完成？
例4：
有一个蓄水池，有甲乙两个注水管，单独开甲需要12小时注满，单独开乙需16小时注满，现甲乙同时开6小时关闭乙管，问还需多久可以注满水池？
如果还有一个排水管，单独开15小时可放完满池的水，假如当关闭乙管时开了排水管，问此时还需多久可以注满水池？
（提示：
阴影部分为实际注入的水）
乙
甲
丙
6h？
家庭作业
1、一项工程，甲独完成需12天，乙独完成需9天，若甲做若干天后乙接着做共用10天完成，问甲做了几天？
2、一项工程，预计甲乙两个工程队合作10天可完成。
现在由甲对先独做6天，乙接着有独做12天完成了。
如全工程由乙对单独做要几天完成？
3、一项工程，甲乙两队合修12天可以完成。
如果甲乙两队先合修4天，剩下的由乙队单独修10天也可以完成，这项工程由乙队独做多少天可以完成？
4、一项工程，甲独做40天完成，乙独做60天完成。
开始两人合做，中途甲有事离开几天，共用27天完成，甲离开了几天？
5、一项工程，甲独做20天完成，乙独做15天完成。
这项工程，先由甲做了若干天后，剩下的再由乙单独做，从开工到完成共用了18天。
甲乙两人各做了多少天？
6、一项工程，甲、乙合修8天完成。
若让甲先单独修6天，然后乙再单独修9天完成，若乙独做这项工程要多少天完成？
分析：
关键是求乙的工作效率
第3堂课
例1：
一条路，甲单独修完要15天，乙每天修20米。
他们一起修完花了10天。
这条路有多少米？
乙
（？
）20米/天
甲
10
举一反三：
一条路，甲单独修完要15天，乙单独修完需要30天。
已知甲每天比乙多修20米，这条路有多少米？
例2一项工程，张三、李四两熊合作6天可以完成。
如果张三先做3天，李四再接着做7天，刚好完成。
若张三每天完成50千米，这项工程共多少千米？
例3修一条水道，甲、乙两队合修12天可以完成，两队先合修4天后，余下的由甲队单独修还要12天才完成。
若甲比乙每天多修12千米，则这条水道共有多少千米？
例4修一条公路，单独修甲要8天完成，乙要10天完成，甲乙合做4天后，还余下72米没有修，这条公路全长多少米
第4堂课
例1：
老猴子给小猴子分梨。
每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。
问：
有几只小猴子和多少个梨？
（“长”赋予猴子个数，“宽”赋予每个猴子分的梨数，那面积呢？
）
分析：
梨的总数=S2+S1=S2+S3S3=12个
S3+S4=23个（猴子数量）AB=23÷1=23（个猴子）
（梨的总数）S2+S1=23×6+12=150（或S2+S3=23×7-11=150）
S4
S3
AB
“1”11个
S2S1
12个
“6”
猴子数量=？
举一反三：
1.云大附中初一
（2）班同学去翠湖划船，如果每条船上乘坐5人，有14人没有船可乘；如果每条船上乘坐7人，则有一条船上只乘坐5人。
该班有多少人？
2.用一条绳子绕树，绕树3周还少1米，绕树2周则多1米，问绳子有多长？
树一周有多长？
例2：
小东东参加一次数学竞赛，答对一题得4分，答错一题扣1分。
他答了20题，得了60分。
他一共答错了几道题？
分析：
最终分数=答对得分-答错扣分转化60=S1-S3=（S1+S2）-（S3+S2）
S3+S2=20×4-60=20（分）AB=20÷5=4（题）
答对题数答错题数？
S2
S1S2S
4分
5分
S3
1分
AB
共20题
举一反三：
1、小明参加数学竞赛，他一共数学竞赛，一共有10个题，答对一题得10分，答错一题倒扣2分，小明最后得了76分。
问：
小明答错了几道题？
10题
10分12分
？
提示：
假设全部正确时可以得到10×10=100分
但是有一部分的题目是错的，那么可以知道小明
不仅得不到10分，反而要倒扣2分，里外里就要
扣12分。
（100-76）÷12=2（题）
2、王老师参加一次口算比赛题共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣5分，王老师在比赛中每道题都做了，最后考了60分。
问：
王老师做对了几道题？
做错了几道题？
例3：
足球比赛的记分规则为:
胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,一支足球队在某个赛季中比赛了8场,负了一场,得17分,请问:
这8场比赛中这支球队共胜了多少场?
分析：
最终得分=胜利得分+平局得分=SABCD+S2S1=17-7×1=10
AB=S1÷DE=10÷2=5（场）
胜场数
DC
S1
S2
平局数
E
3分
1分
AB
7场输1场
举一反三：
（真题）某市组织足球比赛，共15支球队参加比赛，比赛采用单循环赛（即每支球队要和其他球队进行一场比赛）。
规则为打赢一场得3分，打平一场得1分，打输一场得0分。
西山队输掉3场，共得21分。
求胜了几场？
平了几场？
家庭作业
1、妈妈买回一筐苹果，按计划天数如果每天吃4个，则多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个。
妈妈买回多少个苹果？
计划要吃多少天？
2、某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一道得8分，每做错一道倒扣4分，小苗把15道题都做了共得72分，他做对了多少道题？
3、小明参加数学竞赛，他一共得了68分，评分的标准是：
每做对一道题得20分，每做错一道题倒扣6分（没做按做错算）。
已知他做对的题的数量是做错的题的2倍，并且所有的题他都做了。
请问：
这套试卷一共有多少道题？
4、私塾教育3名同学去参加数学竞赛，共l0道题，答对一道题得10分，答错一题扣3分。
这3名同学都回答了所有的题。
小明得87分，小红得了74分，小华得了9分。
他们三人一共答对了多少道题？
5、贝贝参加数学竞赛，共25道题，答对一题得4分，答错一题扣1分，不答不得分。
贝贝有一题没答得81分，他答错了几道题？
6、（真题）某旅行团包住一层楼，若每间住2人，则有14人没有床位；若每间住3人，则有一间多出2个空床位。
这层楼共有几个房间？
这个旅行团共有多少人？
7、云大附中组织初一学生春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则有一辆客车空车。
这个学校一共有多少学生？
第5堂课
前文把“长方形的长”表示“工作时间”，；“长方形的宽”表示“工作效率”，
如果把“长方形的长”表示“行走速度”，；“长方形的宽”表示“行走时间”，那么长方形的面积表示什么呢?
_____________________________________
问题的本质：
例1：
小明和小红同时从家里出发，相向而行走向学校，小明每分钟走60米，小红每分钟走70米，经过50分钟，两人在学校门口相遇。
她们两家相距多少米？
提示：
S1表示的是小明的路程，S2表示的是小红的路程
S2
S1
50分
60米/分70米/分
举一反三：
1、A、B两车从甲、乙两地同时出发相向而行，A车速度是每小时30千米，B车的速度每小时50千米，经过5小时两车相遇，问A、B两地相距多少千米？
2、甲、乙两地相距560千米，A车以每小时30千米的速度从甲地开出，B车以每小时50千米的速度从乙地开出，几小时后两车相遇？
例2：
甲乙两地相距372千米,货车和客车同时从甲乙两地出发,相向而行。
货车每小时行40千米,客车每小时行38千米,途中客车休息1.5小时，货车行驶几小时后两车才能相遇?
提示：
客车休息1.5h，意味着货车多走了1.5h，而不需要理会客车在何时休息。
所以只需要把S1去掉，余下的路程即为客货和走的路程，从而转化成例1.
1.5h?
S1
S2
38km/h
S3
40km/h
例3、蛋蛋和翠花同时从两地相对出发，蛋蛋的速度是6km/h，翠花的速度是4km/h，相遇是蛋蛋比翠花多行了6km，求两地的距离？
提示：
SABCD为蛋蛋比翠花多走的路程，AB为蛋蛋毕翠花多的速度，求AD？
（AD表示的是什么呢？
）ADFE的面积即为所求的两地距离。
?
AD
BC
6km/h
4km/h
EF
例4：
小明和小红两人同时从A、B两地相向而行，小明5小时行20千米，此时正好与小红相遇，相遇后小红又行了4小时到达A地。
问A、B两地相距多少千米？
提示：
因为知道小明走完全程的时间为5+4=9（h），所以只要求出甲的速度就可以了。
甲的速度可以根据阴影部分的面积相同来计算。
5h4h
S=20
甲速？
5h
例5：
客、货车两车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，如果两车都按原定速度行驶，那么4小时相遇；现在两车都比原计划每小时少走15千米，结果5小时相遇．甲乙两地相距多少千米？
提示：
只需求出客货原来或降速的速度和即可。
甲乙两地距离=S1+S2=S3+S2
S1=4×30=S3，从而求出降速后的速度和。
4h
S1
S2
S3
客货速度和下降的部分为30km/h
原来客货降速
速度和？
速度和？
1h
家庭作业
1、甲、乙两车从相距750千米的两地相对开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米，乙车出发5小时后甲车才出发，甲车出发几小时后两车相遇？
2、私塾教育和湖畔之梦小学之间有30km，蛋蛋和翠花同时从两地相对出发，3小时后相遇，已知蛋蛋的速度是6km/h，求翠花的速度？
3、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米。
（1）几小时后两车第一次相距69千米？
（2）几小时后两车又相距69千米？
4、从甲开往乙地，客车行完全程要10小时，货车每小时行15千米。
现客车与货车同时从甲乙两地出发相向而行，3小时后，两车行驶的路程和与剩下的路程相等。
问甲乙两地相距多少千米？
第6堂课
知识点：
关于相遇中点的问题
新课之前先看个小例子：
如果甲给了乙1元钱后二人的钱相等了，那么甲原来比乙多几元钱？
例1：
甲乙两人在距离中点50m处相遇，甲比乙多走多少米（甲比乙快）？
提示：
S甲=S+50+50，比乙多走的是两个50
S
50
50
S
0
中点相遇点
举一反三：
甲乙两辆汽车分别从A、B两地相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在距离中点32千米处相遇。
AB两地相距多少千米？
例2：
小猪有辆宝马，小强有辆奔驰，他们同时从甲乙两地相向开出在距中点80千米处相遇，已知宝马与奔驰的速度比是4:
5，求甲乙两地相距多少千米？
提示：
时间相同时，速度比等于路程比；奔驰比宝马多走的路程
举一反三：
1、两辆火车同时从甲乙两地相对开出，4小时后在距离中点48千米处相遇，已知慢车的速度是快车速度的
，甲乙两地相距多少千米？
折返问题：
关键是把抽象的文字信息转换成形象的图形问题，即找出共同完成了几个
全程，然后转换成简单的行程问题即可。
例3：
甲乙两地相距900米，A、B两人同时从甲地出发向乙地行走，A每分钟走80米，B每分钟走100米。
当B走到乙地后，立即返回与甲相遇，两人从出发到相遇一共经过多少时间？
提示：
把信息转换成行后易知A,B共同完成了两个全程。
900m
甲乙
A
B
举一反三：
爸爸骑自行车每小时行15千米，小明步行每小时行5千米，如果两人同时从家出发去翠湖公园玩，爸爸骑了1小时后到达公园马上原路返回，在途中和小明相遇。
问从出发到相遇共用多少时间？
提示：
先想一下从家到翠湖的路程是多少？
例4：
甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地同时相向而行，第一次两人在距离B地7千米处相遇，相遇后，两人继续行驶，到达目的地后又立 即返回，在距离A地4千米处又相遇了，求A、B两地相距多少千米？
提示：
从抽象文字转换成图形后，会发现实际甲乙完成了3个全程，而完成一次全程的时候乙走了7km，故乙实际完成了3×7=21km，所以一个全程应该是多少呢？
从图中观察
相遇相遇
4km7km
AB
甲·
乙
家庭作业
1、甲乙两车同时从两地相向而行，甲每小时行83千米，乙每小时行95千米，两车在距中点24千米处相遇，求两地距离。
2、小明和小华从甲、乙两地同时出发，相向而行。
小明步行每分钟走60米，小华骑自行车每分钟行190米，几分钟后两人在距中点650米处相遇？
3、一辆快车和一辆慢车分别从昆明和石林两地同时相向而行，经过
小时在离中点3千米处相遇。
已知快车平均每小时行75千米，慢车平均每小时行多少千米？
4、两列火车相对行驶，在两地间的中点相遇，甲车每小时行76千米，乙车每小时行95千米，相遇时甲行了5小时。
乙车比甲车晚出发了几小时？
5、甲乙两列火车分别从A、B两地同时出发，相对而行，经过6小时相遇，相遇后两车按原来的速度继续行驶，又经过4小时，甲车到达B地。
已知甲车每小时比乙车多行12千米，求甲每小时行多少千米？
第7堂课
知识点：
本堂课主要内容为行程问题中的追及问题，所谓追及就是快的“追”慢的。
那么为什么需要“追”呢？
当然是因为他们存在着路程差，所以这类问题的关键是要找到路程差是如何产生的。
例1：
甲，乙两人练习短距离赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米，如果甲让乙先跑两秒钟，甲经过几秒钟可以追上乙？
提示：
S1为乙先走的路程，即为路程差。
S2为2s后甲比乙多走的路程。
S1=S2，表示甲
“追”上了乙。
甲
S2
乙
S1
7m/s
6.5m/s
2s？
举一反三：
昆明特警追击一批恐怖分子，坏人在下午16点开始从火车站以每小时10千米的速度逃跑，我军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从武警特队追击。
已知火车站到武警特队相距6千米，问特警几个小时可以击灭敌人？
例2：
小明从学校到家，步行要6小时，骑自行车要3小时，已知骑自行车比步行每小时快18千米，问小明家到学校的距离是多少千米？
提示：
S为步行多走3h走的路程，S差=S，所以只求出V步即可求出距离了。
骑车
S差
V车-V步
18km/h
S
V步步行
3h3h
例3：
快车每小时行60千米，慢车每小时行40千米。
两车同时从甲地开往乙地，出发0.5小时后，快车因故停下来修车1.5小时，修好车后，快车原速前进，经过几小时后才能追上慢车？
提示：
1.快车修车1.5h，可以看作是慢车先走了1.5h；2.求出共同走的时间后必须要减去0.5h
快比慢多走的路程
慢车先走的路程
V慢V快
1.5h？
家庭作业
1、甲乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙。
求两人每秒钟各跑多少米？
2、甲乙两人分别以60米/分钟速度同时同地同向步行出发，走12分钟后，甲返回取东西，而乙继续前进，甲取东西用去6分钟，然后改骑自行车以360米/分钟速度去追乙。
骑车多少分钟后才能追上乙？
3、小明从学校到家，步行要6小时，骑自行车要3小时，已知骑自行车比步行每小时快18千米，问小明家到学校的距离是多少千米？
4、甲乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙。
求两人每秒钟各跑多少米？
5、兄妹二人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时发现没带课本，立即沿原路返回，行至离校180米处和妹妹相遇。
问，他们离校还有多远？
提示：
首先明确求路程需要知道时间和速度。
而速度是知道的，所以只要求出时间即可。
由题意容易知道从家里开到哥哥返回头和妹妹相遇，哥哥比妹妹实际多走了2×180=360米，而哥哥每分钟比妹妹多走了30米，这样就可以求出从出发到相遇的时间了。
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