高二上学期期中考试数学试题附解析.docx

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高二上学期期中考试数学试题附解析

山西省祁县中学2015-2016学年高二上学期期中考试

数学试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．在空间直角坐标系O-xyz中有四点O（0，0，0），A（0，0，3），B（0，3，0），C（2，3，4），

则多面体OABC的体积是（）

A．6B．4C．3D．1

【答案】C

【解析】

试题分析：

多面体的底面是，三棱锥的高为，所以多面体的体积

，故答案为C.

考点：

空间几何体的表面积与体积.

2．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）

A．若，则B．若，，则

C．若，，则D．若， ，，则

【答案】B

考点：

空间直线与平面平行、垂直关系的综合应用.

3．下列四个命题中，不正确的是（）

A．经过定点P的直线不一定都可以用方程表示

B．经过两个不同的点的直线都可以用方程来

表示

C．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程表示

D．经过点Q的直线都可以表示为

【答案】D

考点：

直线方程的各种形式及其限制条件.

4．已知圆C1：

（x＋1）2＋（y－3）2＝25，圆C2与圆C1关于点（2,1）对称，则圆C2的方程是（）

A．（x－3）2＋（y－5）2＝25B．（x－5）2＋（y＋1）2＝25

C．（x－1）2＋（y－4）2＝25D．（x－3）2＋（y＋2）2＝25

【答案】B

【解析】

试题分析：

圆与圆关于点对称，即圆心对称，半径不变，利用中点坐标公式可求得关于的对称点，半径为，所以圆的方程是.

考点：

直线与圆的位置关系.

5．过点A（1,－1）与B（－1，1）且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为（）

A．（x－3）2+（y+1）2=4B．（x－1）2+（y－1）2=4

C．（x+3）2+（y－1）2=4D．（x+1）2+（y+1）2=4

【答案】B

【解析】

试题分析：

直线的斜率，线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线所在直线的斜率为，方程为，由方程组得，所以圆心，半径，所以圆的方程为，故选B.

考点：

圆方程的求法.

6．不在同一直线上的三点A，B，C到平面的距离相等，且A，则（）

A．∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于

C．△ABC中至多有两边平行于D．△ABC中只可能有一条边与平行

【答案】B

考点：

平面的基本性质及直线与平面平行的概念的应用.

7．―个锥体的主视图和左视图如下图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）

A．B．C．D.

【答案】C

【解析】

试题分析：

A，B，D对应的直观图分别如下：

故选C.

考点：

空间几何体的三视图与直观图.

8．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列

命题正确的是（）

A．至少与，中的一条相交B．与，都相交

C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交

【答案】A

考点：

空间点、线、面的位置关系.

9．如果直线y=ax+2与直线y=3x+b关于直线y=x对称，那么a,b的值分别是（）

A．，6B．，－6C．3，－2D．3，6

【答案】B

【解析】

试题分析：

直线上的点关于的对称点在上，所以，

直线上的点关于的对称点在上，所以，故选B.

考点：

直线方程的应用.

10.设圆与圆，点为一动点，由点作圆与

圆的切线，切点分别为．若，则点的轨迹方程为（）

A．B．C．D．

【答案】A

考点：

圆的标准方程及直线与圆位置关系的应用.

11．一个几何体的三视图及其尺寸（单位：

cm）如图所示，则该几何体的侧面积为（）cm2.

A．48B．144C．80D．64

【答案】C

【解析】

试题分析：

由三视图可知：

该几何体为正四棱锥，其斜高为，底面边长为，由此可求得侧面积为

，故选C.

考点：

空间几何体的三视图与直观图及其表面积.

【易错点晴】由三视图求几何体的表面积问题往往需要还原出几何体的直观图，还原时要把握好三视图之间的关系“主俯同长，左俯同宽，主左同高”，根据三视图的结构特征可知：

该几何体为正四棱锥，主视图、左视图中两个等腰三角形的腰为正四棱锥的斜高，而不是侧棱，这是本题正确解答的关键.

12.在正方体－中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角

的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

考点：

空间异面直线所成的角.

【方法点晴】作为选择题，本题可以用特殊点法结合运动的观点解决，当分别在选段的两个端点时，恰好是角取值的两个边界，也就是说，当点从移动到的过程中，角也从逐渐减小到；除此之外还可以建立空间直角坐标系，利用向量来解决，可设利用向量的线性运算及坐标运算，表示出向量坐标，利用向量的夹角公式建立关于的函数关系来求解.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.在如图所示的棱长为2的正方体中，作与平面平行的截面，则截得

的图形中，面积最大的值是.

【答案】

【解析】

考点：

棱柱的结构特征.

14.某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为________cm．

【答案】

【解析】

试题分析：

由三视图还原成如图所示的几何体，该几何体为四棱锥，其中底面是边长分别为与的矩形，，且，由其结构知最长，在中.

考点：

空间几何体的三视图和直观图．

15.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为__________.

【答案】

考点：

直线、圆的位置关系．

【方法点晴】在解决与圆的切线有关的问题时，要把握好圆切线的一个重要性质，圆心与切点的连线垂直于切线.本题中，可先作出与切线垂直的半径，构造直角三角形，把切线长表示成直线上的点到圆心距离的表达式，要让切线长的最小值只需直线上的点到圆心距离的最小值，显然当该点与圆心的连线垂直于直线时，切线长最小，从中可以发现：

结合图形对问题进行合理的转化是解决直线与圆问题的重要手段.

16.在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直

线过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是.

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意得圆的标准方程为，圆心坐标为，，所以，当时，取得最大值.此时为等腰直角三角形，，所以点到直线的距离为.由以上可得即，解得或，所以实数的取值范围是．

考点：

直线与圆的位置关系．

【方法点晴】在解决直线与圆的位置位置关系是，通常需要把圆的一般方程化成标准方程，求出圆的圆心和半径.本题是涉及直线与圆相交问题，问题的难点在建立参数的不等式.要解决圆心与圆的弦构成的三角形面积最大值问题，通过分析题目条件转化为圆心与定点的距离问题，这样就可以建立出参数的不等式，即得的取值范围.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.

（1）已知两直线，当⊥时，求的值；

（2）求经过的交点且平行于直线的直线．

【答案】

（1）；

（2）.

考点：

两条直线垂直与平行关系的应用.

18.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，．已知

．

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

【答案】（I）证明见解析；（II）．

考点：

空间中的垂直关系，三棱锥体积的求法.

19.如图所示，几何体中，为正三角形，⊥,,

．

（Ⅰ）在线段上找一点，使平面，并证明；

（Ⅱ）求证：

面面．

【答案】（Ⅰ）点为线段中点，证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

考点：

空间直线与平面，平面与平面平行、垂直关系的证明.

20.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，

，，，．

（1）求证：

平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（3）求直线与平面所成角的余弦值．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）；（3）.

（2）设平面ADE的法向量为，由于,所以

，令得,

设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大考点：

空间向量在证明空间线面平行及求解线面角、二面角中的应用.

【方法点睛】在求解空间角时，空间向量是一种非常简单、实用的方法，首先要在几何体中建立空间的基底即寻找两两垂直的三条直线，建立合理的坐标系，也就是尽可能把几何体的顶点放在坐标轴或坐标平面内，这样可以简化运算过程，提高运算的准确率.利用向量证明线面平行需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但一定要说明直线不在平面内，这一一个易错点；求解二面角就是求出两个平面的法向量的夹角，当题目没有说明二面角是锐角还是钝角时，要结合几何体的结构特征来判断；求解线面角就是直线时，线面角与直线方向向量与平面法向量所夹的锐角是互余关系，所以直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值是线面角的正弦值，应结合图形分析清楚，否则极易出错.

21.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）若过点的直线交圆心的轨迹于点，，且，求直线的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

试题分析：

（I）结合圆的弦构造直角三角形，可以得到动圆圆心满足的几何条件，转化为坐标关系，整

理即得其轨迹方程；（II）容易判断直线的斜率一定存在，可设出直线方程，联立方程组得到弦的长关于斜率的表达式，可求出其斜率，从而得到方程.

考点：

曲线方程的求法，直线与抛物线的位置关系问题.

【方法点晴】未知曲线形状求动点的轨迹方程是比较常见的题型，这类问题处理的关键是分析题目条件，寻找动点满足的几何条件，转化为坐标关系并整理即得其轨迹方程，注意判断是否有特殊点不满足要求，从而判断曲线方程中点坐标的范围；关于抛物线的焦点弦弦长问题，往往根据其定义转化为韦达定理来表示，这样可以简化运算过程，提高解题速度和准确率.

22.在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若直线：

与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得，

若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）已知圆心，求圆的方程，只需求出圆的半径，由圆切线的性质：

圆心到切线的距离等于半径即可求得圆的方程；（Ⅱ）先由直线与圆相交可得直线斜率的取值范围，由及，可知四边为菱形，所以，从而得到直线的方程，解方程组求得点的坐标，代入圆的方程即得的值，验证是否满足相交的条件.

方法二：

假设存在点，使得．记与交于点

因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，

因为直线斜率为，显然，所以直线方程为…………7分

由，解得，所以点坐标为………9分

因为点在圆上，所以，解得即，经验证满足条件

所以存在点，使得.

考点：

圆的方程，直线与圆的位置关系的应用.

【方法点晴】求圆的方程常用待定系数法，设法求出圆心和半径即得圆的方程；直线与圆位置关系在应用中要特别注意垂直关系，一方面可以找到斜率之间的关系，另一方面又可以构造直角三角形，本题中及，且结合向量加法的几何意义，可知为菱形的对角线，既可利用点到直线的距离公式求解，又可以求出点的坐标代入圆方程即得解.