《圆与方程》单元测试题及标准答案.docx
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《圆与方程》单元测试题及标准答案
《圆与方程》单元测试题及答案
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第四章单元测试题
（时间：
120分钟 总分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交
C．外切D．内切
2．过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为（ ）
A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0D．x－3y＋1＝0
3．若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（ ）
A．1，－1B．2，－2
C．1D．－1
4．经过圆x2＋y2＝10上一点M（2，
）的切线方程是（ ）
A．x＋
y－10＝0B.
x－2y＋10＝0
C．x－
y＋10＝0D．2x＋
y－10＝0
5．点M（3，－3,1）关于xOz平面的对称点是（ ）
A．（－3,3，－1）B．（－3，－3，－1）
C．（3，－3，－1）D．（3,3,1）
6．若点A是点B（1,2,3）关于x轴对称的点，点C是点D（2，－2,5）关于y轴对称的点，则|AC|＝（ ）
A．5B.
C．10D.
7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为坐标原点），则k的值为（ ）
A.
B.
C.
或－
D.
和－
8．与圆O1：
x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：
x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是（ ）
A．4B．3
C．2D．1
9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是（ ）
A．2x－y＝0B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－3＝0D．x－2y＋3＝0
10．圆x2＋y2－（4m＋2）x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为（ ）
A．9πB．π
C．2πD．由m的值而定
11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q（3,0）的连结线段PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A．（x＋3）2＋y2＝4B．（x－3）2＋y2＝1
C．（2x－3）2＋4y2＝1D．（2x＋3）2＋4y2＝1
12．曲线y＝1＋
与直线y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，
）B．（
，＋∞）
C．（
，
]D．（
，
]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上）
13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．
14．圆心为（1,1）且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．
15．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．
16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）自A（4,0）引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．
18．（12分）已知圆M：
x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：
x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．
19．（12分）已知圆C1：
x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：
x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．
20．（12分）已知圆C：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
21．（12分）已知⊙C：
（x－3）2＋（y－4）2＝1，点A（－1,0），B（1,0），点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．
22．（12分）已知曲线C：
x2＋y2＋2kx＋（4k＋10）y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.
（1）求证：
曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
（2）证明曲线C过定点；
（3）若曲线C与x轴相切，求k的值．
答案：
1.解析：
将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得（x－3）2＋（y－4）2＝16.∴两圆的圆心距
＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案：
C
2.解析：
依题意知，所求直线通过圆心（1，－2），由直线的两点式方程得
＝
，即3x－y－5＝0.答案：
A
3.解析：
圆x2＋y2－2x＝0的圆心C（1,0），半径为1，依题意得
＝1，即|a＋2|＝
，平方整理得a＝－1.答案：
D
4.解析：
∵点M（2，
）在圆x2＋y2＝10上，kOM＝
，∴过点M的切线的斜率为k＝－
，
故切线方程为y－
＝－
（x－2），即2x＋
y－10＝0.答案：
D
5.解析：
点M（3，－3,1）关于xOz平面的对称点是（3,3,1）．答案：
D
6.解析：
依题意得点A（1，－2，－3），C（－2，－2，－5）．∴|AC|＝
＝
.答案：
B
7.解析：
由题意知，圆心O（0,0）到直线y＝kx＋1的距离为
，∴
＝
，∴k＝±
.
答案：
C
8.解析：
两圆的方程配方得，O1：
（x＋2）2＋（y－2）2＝1，O2：
（x－2）2＋（y－5）2＝16，
圆心O1（－2,2），O2（2,5），半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝
＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：
B
9.解析：
依题意知，直线l过圆心（1,2），斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0.答案：
A
10.解析：
∵x2＋y2－（4m＋2）x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－（2m＋1）]2＋（y－m）2＝m2.
∴圆心（2m＋1，m），半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案：
B
11.解析：
设P（x1，y1），Q（3,0），设线段PQ中点M的坐标为（x，y），则x＝
，y＝
，∴x1＝2x－3，y1＝2y.又点P（x1，y1）在圆x2＋y2＝1上，∴（2x－3）2＋4y2＝1.故线段PQ中点的轨迹方程为（2x－3）2＋4y2＝1.答案：
C
12.解析：
如图所示，曲线y＝1＋
变形为x2＋（y－1）2＝4（y≥1），直线y＝k（x－2）＋4过定点（2,4），当直线l与半圆相切时，有
＝2，解得k＝
.
当直线l过点（－2,1）时，k＝
.因此，k的取值范围是
.答案：
D
13.解析：
圆心（0,0）到直线3x＋4y－25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4.答案：
4
14.解析：
r＝
＝
，所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.
答案：
（x－1）2＋（y－1）2＝2
15.解析：
已知方程配方得，（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0），圆心坐标为（－a，a），它在直线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．
答案：
②
16.解析：
由x2＋y2－6x－2y－15＝0，
得（x－3）2＋（y－1）2＝25.
圆心（3,1）到直线x＋2y＝0的距离d＝
＝
.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×
＝4
.
答案：
4
17.解：
解法1：
连接OP，则OP⊥BC，设P（x，y），当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即
·
＝－1，
即x2＋y2－4x＝0①
当x＝0时，P点坐标为（0,0）是方程①的解，
∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0（在已知圆内）．
解法2：
由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M（2,0），|PM|＝
|OA|＝2，由圆的定义知，P点轨迹方程是以M（2,0）为圆心，2为半径的圆．
故所求的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝4（在已知圆内）．
18.解：
由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M（m，－2），N（－1，－1）．
两圆的方程相减得直线AB的方程为
2（m＋1）x－2y－m2－1＝0.
∵A，B两点平分圆N的圆周，
∴AB为圆N的直径，∴AB过点N（－1，－1），
∴2（m＋1）×（－1）－2×（－1）－m2－1＝0，
解得m＝－1.
故圆M的圆心M（－1，－2）．
19.解：
设两圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点的坐标是方程组
的解，两方程相减得：
x＋y－3＝0，
∵A、B两点的坐标都满足该方程，
∴x＋y－3＝0为所求．
将圆C2的方程化为标准形式，
（x－1）2＋（y－1）2＝2，
∴圆心C2（1,1），半径r＝
.
圆心C2到直线AB的距离d＝
＝
，
|AB|＝2
＝2
＝
.
即两圆的公共弦长为
.
20.解：
如图：
PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2.
设P（x，y），C（－1,2），|MC|＝
.
∵|PM|＝|PO|，
∴x2＋y2＝（x＋1）2＋（y－2）2－2，
化简得点P的轨迹方程为：
2x－4y＋3＝0.
求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为
.
21.解：
设点P的坐标为（x0，y0），则
d＝（x0＋1）2＋y02＋（x0－1）2＋y02＝2（x02＋y02）＋2.
欲求d的最大、最小值，只需求u＝x02＋y02的最大、最小值，即求⊙C上的点到原点距离的平方的最大、最小值．
作直线OC，设其交⊙C于P1（x1，y1），P2（x2，y2），
如图所示．
则u最小值＝|OP1|2＝（|OC|－|P1C|）2＝（5－1）2＝16.
此时，
＝
＝
，
∴x1＝
，y1＝
.
∴d的最小值为34，对应点P1的坐标为
.
同理可得d的最大值为74，对应点P2的坐标为
.
22.解：
（1）证明：
原方程可化为（x＋k）2＋（y＋2k＋5）2＝5（k＋1）2
∵k≠－1，∴5（k＋1）2>0.
故方程表示圆心为（－k，－2k－5），半径为
|k＋1|的圆．
设圆心的坐标为（x，y），则
消去k，得2x－y－5＝0.
∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上．
（2）证明：
将原方程变形为
（2x＋4y＋10）k＋（x2＋y2＋10y＋20）＝0，
∵上式对于任意k≠－1恒成立，
∴
解得
∴曲线C过定点（1，－3）．
（3）∵圆C与x轴相切，
∴圆心（－k，－2k－5）到x轴的距离等于半径，
即|－2k－5|＝
|k＋1|.
两边平方，得（2k＋5）2＝5（k＋1）2，
∴k＝5±3
.
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