水资源效率的评价数学模型.docx
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水资源效率的评价数学模型
水资源效率的数学评价模型
摘要
针对各行业水资源效率和各省市水资源效益综合评价问题，本文分别提出产出投入比方法和投影寻踪方法。
产出投入比方法指通过求解各行业水资源产出和水资源投入之比，按照聚类思想划分效率等级表的方法。
本文首先选取农业万元GDP用水量、工业万元GDP用水量、人均COD排放量、人均生活用水量作为评价各省市水资源效益的指标集，然后结合各省市市自然条件和产业结构的差异，将各省市单位面积水资源量、第二和第三产业GDP占总GDP的比率加入效益评价指标集。
综合评价方法采用投影寻踪方法，投影指标函数最大化问题可以采用遗传算法求解。
根据最佳投影方向求解出的最佳投影特征值对各个省市水资源效益进行定量评价。
评价结果：
服务业和工业发达的北京居首位；工业在产业结构中所占比重高的广东、浙江、山东、山西位居次席；农业在产业结构中所占比重高的省份用水效益较低。
为提高水资源利用效率和效益，农业要加大科技投入，提高水的重复利用率；在各行业都提倡节约和提高用水效率的前提下，更应该注重产业结构调整与升级。
关键字各行业水资源效率各省市水资源效益产出投入比投影寻踪遗传算法
1.问题重申
我国淡水资源总量为2.8万多亿m3，人均仅有2200m3，为世界平均水平的1/4，是全球13个人均水资源最贫乏的国家之一。
截至2005年下半年，全国城市缺水总量已经高达60亿m3，全国660多个城市中有400多个存在不同程度的缺水。
尽管水资源严重缺乏，水资源浪费、利用效率及效益低下的现象却普遍存在，这是粗放的经济发展模式的必然结果，同时也是制约我国经济社会可持续发展的瓶颈。
因此，逐步提高水资源利用效率及效益是建设节水型社会的核心问题，以水资源的可持续利用保障经济社会的可持续发展，在水资源总量有限的情况下，提高生活、生产和生态用水的效率和效益，将获得经济效益、社会效益和生态效益多赢的局面，建立自然环境与人类共同的和谐社会。
基于上述考虑，有必要建立水资源利用效率评估指标体系和效益评价模型，用于对全国范围内不同行业、不同城市进行水资源利用效率和效益评估，为政府行政主管部门提供水资源科学管理的决策依据，进行合理的产业结构的调整，促进节水技术和产品的推广，实现水资源的可持续发展。
在建模中要充分考虑到各省市自然条件和产业结构的差异，使得评价的结果确实能够指导节水增效，真正有助于改善水资源利用的实际情况。
关于我国水资源的利用已有些初步的研究，提出了一些反映水资源利用状况的指标：
如水资源总量、年降水量、农业万元GDP用水量（农业用水量与农业万元产值的比值）、工业万元GDP用水量（工业用水量与工业万元产值的比值）、人均COD排放量（化学需氧量（COD）是在一定的条件下，采用一定的强氧化剂处理水样中的有机物时，所消耗的氧化剂量。
它的多少可以反映该地区工业发达的程度以及对污染治理的力度）、人均水资源量、人均生活用水量（人们日常生活所消耗的水量）。
下表给出了这些指标的12个省市的数据。
请你根据上述要求考虑以下问题。
（1）利用提供的数据，分别对各个行业水资源效率进行专项评价。
（2）利用提供的数据，考虑到各个省市的水资源条件和产业结构差异，给出这13个省市的综合用水效益的合理评价。
（3）上述反映水资源利用情况的指标是否已构成了一个合理的水资源利用效率和效益评估指标体系？
（4）运用你所建立的水资源利用效率和效益评估指标体系与评价模型，对你所能收集到的我国各个省市水资源利用情况按专项和综合分别进行评估。
表1-12004年某些省份的数据
2004年
自然、社会
用水指标
省份
水资源总量（亿m3/年）
年降水量（mm）
总人口（万人）
农业万元GDP用水量（m³/万元）
工业万元GDP用水量（m³/万元）
人均COD排放量（kg/年）
人均水资源量（m³/年）
人均生活用水量（m³/年）
河北
238.7
521.9
6232.04
1266.85
22.39
10.56
383.02
105.58
湖北
928.06
1134.8
5171.97
996.33
122.16
11.87
1794.4
118.72
湖南
1641.3
1493.6
6398.94
1612.33
436.64
13.28
2564.96
132.83
广东
1188
1315
7814.29
950.29
321.65
11.86
1520.29
118.63
广西
1604.52
1366.9
4883
2348.79
398.44
20.36
3285.93
203.56
云南
2106.3
1239
3225.1
1903.67
210.51
6.91
6530.96
69.15
新疆
855.4
166.4
1963.11
1547.12
160.71
13.35
4357.37
133.46
北京
21.35
585
1162.9
941.55
58.92
1.15
183.59
111.79
山西
92.47
749.54
3335.1
1185.24
100.54
4.1
277.26
25.5
山东
349.46
769.7
9163.38
860.19
36.4
10.56
381.37
225.9
河南
406.66
797.7
9717
479.1
31.58
6.7
418.5
33.7
安徽
500.65
998
6460.77
1235.27
364.57
4.69
774.91
35.97
浙江
675.67
1005
6460.89
822.53
24.39
8.6
1045.78
49.25
2.问题分析
1、为了专项评价各个行业水资源效率，引入效率的概念。
效率是指在特定时间内，组织的各种投入与产出之间的比率关系。
效率与投入成反比，与产出成正比。
【1】
2、各省市水资源效率的综合评价，应该选取最能反映用水效率的指标，不仅要选择题目中已经给出的指标，而且应该考虑到各个省市自然资源和产业结构的差异。
具体做法是构造出相对合理的指标代表自然资源和产业机构的差异，然后通过一定的统计方法对这些指标进行统计分析，本文选取得方法是投影寻踪法。
3、对于问题三，应当对建立的指标体系进行讨论，评价，修正。
4、对于问题四，利用建立的数学模型对2007年全国各省市水资源效益进行评价。
3.问题假设
（1）农业用水包括农业生产实际用水和年降水量，农业生产有效吸收降水率10%。
（2）对于工业用水考虑，工业生产实际用水，不考虑其他变量。
（3）对于第三产业，由于其用水量相对较小，不考虑其水资源利用效率
4.符号说明
符号符号说明
第i个样本第j个指标
第i个样本第j个指标归一化
从高维数据到低维数据的投影方向
第i个样本的投影值（特征值）
聚类的类间距离
聚类的类内密度
类间距离与类内密度的乘积
5.各行业水资源效率评价
我国的经济体系构成分为三大产业：
第一产业为农业、第二产业为工业、第三产业为服务业。
根据题目提供的资料，对各个行业水资源效率的评价，即对农业水资源效率评价以及对工业水资源效率评价。
根据对效率的定义：
5.1农业水资源效率评价
步骤1求解农业水资源产出指标。
农业水资源产出：
各个省市2004年农业国内生产总值（GDP）。
步骤2求解农业水资源总投入指标。
农业水资源总投入不仅包括农业生产实际用水，而且包括各个省市用于农业生产的有效降水体积。
前者可由各个省市农业生产实际用水量、农业万元GDP用水量相乘得到，后者可由各个省市年降水量、耕地面积、农业生产有效吸收降水率相乘得到。
1、农业生产实际用水量：
（单位：
）。
（5.1）
：
第
个省市农业生产实际用水量；
：
第
个省市农业万元GDP用水量。
2、用于农业生产的有效降水体积：
（单位：
）。
（5.2）
：
第
个省市每年用于农业生产的有效降水体积；
：
第
个省市年降水量；
：
第
个省市耕地面积；
：
农业生产有效吸收降水率。
3、农业水资源总投入量：
（单位：
）。
：
第
个省市农业水资源总投入量。
步骤3第一、将2004年各个省市农业水资源产出除以农业水资源总投入，得到产出投入比；第二、将产出投入比归一化并进行排序；第三、以投入产出比为指标，利用SPSS软件，对各个省市农业水资源利用效率进行聚类。
结合题目提供的数据、查询2004年中国统计年鉴得到下表。
省份
各省市农业GDP（万元）
农业万元GDP用水量
（m³/万元）
年降水量
（mm）
耕地面积
（m³）
河北
23758938
1266.85
521.9
68833000000
湖北
16954364
996.33
1134.8
49495000000
湖南
19133077
1612.33
1493.6
39530000000
广东
21547921
950.29
1315
32722000000
广西
12945321
2348.79
1366.9
44079000000
云南
9652238
1903.67
1239
64216000000
新疆
7506792
1547.12
166.4
39857000000
北京
9415500
941.55
585
3439000000
山西
4818199
1185.24
749.54
45886000000
山东
34539052
860.19
769.7
76893000000
河南
29639175
479.1
797.7
81103000000
安徽
16444246
1235.27
998
59717000000
浙江
13322660
822.53
1005
21253000000
表5-12004年中国统计年鉴数据
根据步骤1、步骤2，计算农业水资源产出指标、农业水资源总投入指标。
省份（2004）
投入
产出
农业生产实际用水量（亿m³/年）
用于农业生产的有效降水体积（亿m³/年）
农业水资源总投入（亿m³/年）
农业GDP（万元）
河北
300.99
35.92
336.91
23758938
湖北
168.92
56.17
225.09
16954364
湖南
308.49
59.04
367.53
19133077
广东
204.77
43.03
247.80
21547921
广西
304.06
60.25
364.31
12945321
云南
183.75
79.56
263.31
9652238
新疆
116.14
6.63
122.77
7506792
北京
88.65
2.01
90.66
9415500
山西
57.11
34.39
91.50
4818199
山东
297.10
59.18
356.29
34539052
河南
142.00
64.70
206.70
29639175
安徽
203.13
59.60
262.73
16444246
浙江
109.58
21.36
130.94
13322660
表5-2农业水资源产出指标、农业水资源总投入指标
根据步骤3，求解产出投入比、对产出投入比进行归一化、排序结果如下表。
根据对效率的定义，产出投入比越大，该省市的农业水资源利用效率越高。
利用SPSS软件对样本进行聚类分析，得到以下效率等级表：
等级一：
河南
等级二：
北京、浙江、山东、广东
等级三：
湖北、河北、安徽、
新疆、山西、湖南
等级四：
广西、云南
农业水资源效率根据投入产出比确定各个省市农业水资源效率的排名。
结果显示：
农业产出投入比相对较高的北京、河南，农业水资源效率最高；农业产出投入比相对较低的山西、广西、云南，农业水资源效率最低；其他省市的农业水资源效率可由效率等级表确定。
5.2工业水资源效率评价
步骤1求解工业水资源产出指标。
工业水资源产出：
各个省市2004年工业国内生产总值（GDP）。
步骤2求解工业水资源投入指标。
由于各个省市的工业用水受到各自工业发展情况的限制，与降水量无关。
工业水资源投入指标：
工业生产实际用水量。
步骤3求解工业产出投入比。
题目提供了各个省市工业万元GDP用水量这组数据。
可以直接利用这组数据求解产出投入比。
具体做法：
1、对工业万元GDP用水量（单位：
m³/万元）这一组数据，取倒数可以得到产出投入比（单位：
万元/m³）；2、将产出投入比归一化并进行排序3、以投入产出比为指标，利用SPSS软件，对各个省市工业水资源利用效率进行聚类。
求解结果如下表。
根据对效率的定义，产出投入比越大，该省市的农业水资源利用效率越高。
利用SPSS软件对样本进行聚类分析，得到效率等级表：
等级一：
河北、浙江
等级二：
河南、山东
等级三：
北京
等级四：
山西、湖北、新疆、云南、广东、安徽、广西、湖南
结果显示：
工业产出投入比相对较高的河北、浙江，农业水资源效率最高；工业产出投入比相对较低的山西、湖北、新疆、云南、广东、安徽、广西、湖南，工业水资源效率最低；河南、山东的工业水资源效率居中。
5.3各行业水资源效率评价模型小结
本文对水资源效率的定义为：
各个行业的水资源投入产出比。
其中水资源产出指标可以根据各个行业GDP得到，而各个行业的水资源投入指标则不尽相同。
农业水资源投入指标除农业生产实际用水之外，还应当考虑不同地区不同降雨量对农业生产的贡献，即用于农业生产的有效降水体积这一指标。
文中假设农业生产有效吸收降水率为10%，这个数据并不是固定，会随着农业生产技术的改善而提高。
工业水资源投入指标可以只考虑工业实际用水量这一指标。
6.各个省市综合用水效益评价模型
6.1投影寻踪聚类介绍
6.1.1投影寻踪聚类简介
本文采用模糊数学中的重要一支——投影寻踪聚类法来优化求解。
投影寻踪是分析高维数据的一类统计方法。
其基本思想是将高维数据投影到低维子空间上进行聚类，通过分析低维空间数据点的变化特征来研究高维数据结构特征。
聚类就是按照一定的规则或标准对数据样本进行分类。
投影寻踪聚类是以类内之间具有较大的密度集而类间具有相对大的散开度为目标寻找最优一维投影方向（即最佳权重），并根据每个样本相应的综合投影特征值对样本进行综合分析评价。
6.1.2投影寻踪聚类建模过程
假设第
个样本第
个指标数据为
（
为样本个数，
为指标数），建立投影寻踪聚类的步骤【2】如下：
步骤一：
对样本数据进行归一化处理。
对正性指标按越大越优的方法处理，对负性指标按越小越优的方法处理。
正性指标处理方法：
负性指标处理方法：
步骤二：
线性投影。
所谓投影实质上就是从不同的方向或角度去观察样本数据，寻找最能充分挖掘数据特征的最优投影方向。
设
为
维单位向量，即各指标的投影方向向量，则第
个样本在一维线性空间的投影特征值
的表达式为：
步骤三：
构造投影指标函数。
根据
的一维散布图进行分类与评价时，要求投影值的散布特征为：
类与类之间的距离尽可能分散开，即充分体现数据的不同特征；类内点集密度尽可能大，即每一类要有足够的代表性。
因此，可将目标函数
定义为类间距离
与类内密度
的乘积：
。
类间距离
用样本序列的投影特征值标准差计算：
其中
为所有样本在投影方向上的投影特征值的均值，
越大，类与类之间的分散度越大，越能充分体现各类数据的不同特征。
设任意两个样本
间的投影值之差绝对值为：
则类内密度：
（1）
越小，则类内密度越大；反之，则类内密度越小。
（2）R为密度窗宽参数，其最佳取值：
。
（3）
为单位阶跃函数，当
时，
，否则
。
步骤四：
优化投影方向。
当各指标值的样本集给定时，投影指标函数
只随着投影方向的变化而变化。
不同的投影方向反映不同的数据结构特征，最佳投影方向就是最大可能体现高位数据某类特征结构的投影方向。
因此可通过求解投影指标函数最大化问题来寻找最佳投影方向。
从目标函数和约束条件上看，这是一个非线性优化问题。
为保证计算的准确性，投影方向向量值可能要取到小数点后四位。
如果采用穷举法求解的话，其计算量高达
，计算量随着指标数量的增加呈现指数倍增长，计算量的增加到达不可想象的状态。
采用穷举法求解很难实现求解该类问题的最优解和最优值。
该类优化问题可以采用现代优化算法——遗传算法，进行求解。
为了求解出投影寻踪法的最优解和最优值，本文在的求解过程中自行编写一个基于MATLAB的遗传算法程序（详见附录），用以解决投影寻踪法的求解难题。
6.2遗传算法实现投影寻踪聚类
遗传算法是模拟自然遗传选择和淘汰生物进化过程的搜索最优解的方法，本文应用遗传算法来搜索最佳的投影方向，实现投影寻踪聚类。
Step1：
染色体编码。
用实数对投影方向的向量
进行编码，称为一个染色体或一个个体。
Step2：
初始化群体。
随机产生N个染色体组成初始群体，并淘汰不符合约束的染色体，对每一个染色体，分别计算它们的函数适应度值，并按适应度大小进行排序。
Step3：
复制操作。
在当前群体中按一定规则选择一些染色体作为繁殖后代的父代，规则是：
适应度值大的个体，被选种的概率大，有着更多的繁殖后代的机会，得以使优良性得以遗传。
Step4：
交叉操作。
按照交叉概率
将父代群体中随机选中的父代进行交叉，以此改善种群。
Step5：
变异操作。
变异过程能使旧的基因得以继承下来，同时产生新的基因，从而可以避免复制交叉的过早收敛，它是针对某一染色体中某个基因在繁殖过程中是否发生转变。
Step6：
停止准则。
当满足终止准则时，算法流程结束。
图6-1
6.3模型的建立与求解
利用提供的数据，考虑到各个省市的水资源条件和产业结构差异，建立对给出的这13个省市综合用水效益的评价模型。
6.3.1评价指标的确定
根据题目提供的数据，得到4个指标：
1、农业万元GDP用水量，2、工业万元GDP用水量，3、人均COD排放量，4、人均生活用水量。
农业万元GDP用水量：
该指标可以反映农业用水的效益，农业万元GDP用水量越少越优，可以作为一个负性指标。
工业万元GDP用水量：
该指标可以反映工业用水的效益，工业万元GDP用水量越少越优，可以作为一个负性指标。
人均COD排放量：
该指标的多少从一定程度上反映了一个省市工业的发达程度以及污水的可重复利用率高低。
人均COD排放量低说明工厂污水处理能力等级高，水的重复利用率高，用水效率高，可以作为一个负性指标。
人均生活用水量：
该指标的多少从一定程度上反映了一个省市居民对生活的节约程度。
该指标越低，说明越节约，可以作为一个负性指标。
根据负性指标归一化方法，对四组数据进行归一化，得到以下结果。
省份
农业万元GDP用水归一化后数据
工业万元GDP用水归一化后数据
人均COD排放量归一化后数据
人均生活用水归一化后数据
河北
0.5787
1
0.5102
0.6004
湖北
0.7234
0.7592
0.442
0.5348
湖南
0.3939
0
0.3686
0.4644
广东
0.748
0.2776
0.4425
0.5353
广西
0
0.0922
0
0.1115
云南
0.2381
0.5459
0.7002
0.7822
新疆
0.4288
0.6661
0.3649
0.4613
北京
0.7527
0.9118
1
0.5694
山西
0.6223
0.8113
0.8464
1
山东
0.7962
0.9662
0.5102
0
河南
1
0.9778
0.7111
0.9591
安徽
0.5956
0.174
0.8157
0.9478
浙江
0.8163
0.9952
0.6122
0.8815
表6-1四个负性指标归一化后数据
考虑到各省市自然条件和产业结构的差异，本文加入两个指标：
单位面积水资源量、工业GDP占工农业GDP比重。
自然条件：
综合评价各个省市的水资源效益评价应该考虑各个省市的自然资源。
直观上来看，自然资源的评价可以选取各个省市的水资源总量作为指标。
表6-2各个省份水资源总量（亿m3/年）
河北
湖北
湖南
广东
广西
云南
新疆
北京
山西
山东
河南
安徽
浙江
239
928.1
1641
1188
1604.5
2106
855
21.4
92.5
349.5
406.7
500.7
675.7
从该表中可以看出水资源总量最大值（云南：
2106.3）与最小值（北京：
21.35）之比竟然达到98倍。
从这个比值来看，水资源总量并不能衡量各个省市的自然资源。
考虑到水资源总量的分布于各个省市的面积有很强的正比关系。
一个地方面积越大，这个地方的水资源总量也就越大。
衡量各个省市的自然资源，可以选取单位面积水资源量作为指标。
根据该公式，可以计算出各省市单位面积水资源量（单位：
亿m³/万k㎡）。
由于该指标是一个负性指标，根据负性指标归一化公式进行归一化，结果如下表。
省份
面积
（万k㎡）
单位面积水资源量（亿m3/万k㎡）
归一化后数据
河北
19
12.56
0.8975
湖北
18.6
49.92
0.3809
湖南
21.2
77.47
0
广东
18
66.07
0.1576
广西
23.6
67.9
0.1323
云南
39.4
53.46
0.332
新疆
166
5.15
1
北京
1.7
12.7
0.8956
山西
15.6
5.93
0.9892
山东
15.7
22.24
0.7637
河南
16.7
24.35
0.7345
安徽
14
35.86
0.5754
浙江
10.2
66.37
0.1535
表6-3各省市单位面积水资源量
考虑各个省份的产业结构，即应该考虑各个省份农业与工业的比重关系。
经过网上查找资料，考虑农业生产实际用水量、工业生产实际用水量，如下表所示。
省份（2004）
农业生产实际用水量（亿m³）
工业生产实际用水量（亿m³）
工农业生产总用水量（亿m³）
农业用水所占比例
工业用水所占比例
河北
301.0
5.5
306.5
0.98
0.02
湖北
168.9
20.3
189.3
0.89
0.11
湖南
308.5
52.3
360.8
0.86
0
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