数学史与数学教学结合的实践与反思以三角形面积计算为例张阳.docx

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数学史与数学教学结合的实践与反思以三角形面积计算为例张阳

数学史与数学教学结合的实践与反思

——以三角形面积计算为例

学校：

天津市北辰区北仓小学

姓名：

张阳

完成日期：

2012年12月

数学史与数学教学结合的实践与反思

——以三角形面积计算为例

北仓小学张阳

摘要：

新课标实施以来，数学史对数学教育的积极影响得到了学者的普遍认同。

本文通过教学实践，探究数学史与小学数学教学结合后的实际效果,发现数学史是学生了解和认识数学，理解数学思想，掌握数学方法的重要渠道，同时也是激发学生学习兴趣和创造精神的途径。

本文最后提出针对实践研究的解决策略和几点建议，希望能为小学数学教学提供一些参考，使教师能更好地将数学史融入到小学数学教学中，为学生打开数学文化的大门。

关键词：

数学史；小学数学课堂教学；三角形面积；

一、问题的提出及相关背景

（一）问题的提出

俗话说:

读史使人明智。

数学的历史,就如同人类的文明史一样源远流长,由结绳计数的源头萌芽,伴随着人类的实践活动,逐步成长为分门别类的参天大树,数学发展的历史长河为人类积累了宝贵的科学文化财富。

数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用,对于引导学生体会真正的数学思维过程,创造一种探索与研究的数学学习气氛,对于激发学生学习数学的兴趣,培养探索精神,对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值,都有重要意义。

[1]

我国数学家王梓坤院士曾提出:

“数学教师的职责之一就在于培养学生对数学的兴趣,这等于给了他们长久钻研数学的动力,优秀的数学教师之所以在学生心中永志不忘,就是由于他点燃了学生心灵中热爱数学的熊熊火焰”。

[2]在数学史对数学教学的作用受到高度重视的现今，如何运用数学史这颗火种点亮学生的热情，成为数学老师值得思考的一个问题。

在小学阶段，数学学科知识虽然相对简单，但是蕴含着不少数学史文化，如果能合理地将数学史文化融入到小学数学课堂教学之中，必能激发学生的学习兴趣，让孩子们从小就有渴望探索数学奥秘的热情。

三角形面积的计算是小学数学中一个重要的简单几何图形面积计算，虽然算法单一（运用公式），但是涉及到一个非常重要的数学思想——转化。

目前关于如何将数学史融入数学教学的研究很多，学者们主要在寻求数学史与教学的结合点，数学史的教育功能研究，基于数学史的数学教学设计，数学史融入数学教学的实验研究等方面进行了大量研究，但大多数的研究集中在中学和高等数学，在小学阶段，关于这方面的研究还比较少。

基于这样的研究现状，将数学史融入小学数学课堂的实际教学研究显得尤为必要。

（二）文献综述

随着数学教学改革的逐步深入，如何将数学史与数学教学完美结合受到越来越多数学教育教学工作者的重视。

1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics,简称HPM），标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现，通常我们也把该研究领域称作HPM。

[3]数学史与数学教育的结合已成为一种国际趋势，在此趋势的演绎下，数学史走进小学数学课堂是一种必然。

人教版小学教材中讲解三角形面积计算的部分，融入了对《九章算术》中算法的介绍；在圆的周长一节又讲述了《周髀算经》中的圆周率，对此后圆面积计算的引入打下基础。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》第四部分的“课程实施意见”，每个学段的“课程编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”这样的要求。

[1]这些都说明越来越多的教育工作者、专家、学者关注和研究小学教材中涉及的数学史。

如今关于数学史应用于数学教学的研究很多，学者们主要在寻求数学史与教学的结合点，数学史的教育功能研究，基于数学史的数学教学设计，数学史融入数学教学的实验研究等方面进行了大量研究。

在寻求数学史与教学结合点的研究方面，李菊梅在她的《例谈古代数学与中学数学教学的结合》一文中提出了五点结合原则：

注重科学性，注重趣味性，注重思想方法教育，注重人文教育，简化内容；并提出结合教材在课堂中应用和在课外活动中应用两种结合方法。

聂晶品在《数学史与数学教学相结合方式的探讨》中，提出了更多的结合形势与方法，给本研究提供了很大帮助。

在数学史的教育功能研究中，徐东星和刘古胜在《数学史在小学数学教学中的教育功能》中将数学史的教育功能归纳为一下四点：

1.感受数学的魅力，获得积极的情感体验；2.了解数学历史文化，振奋民族精神；3.再现数学知识的发展过程，促进对数学知识的深刻理解；4.领悟数学思想方法，发展数学思维能力。

[2]张国定在《数学史教育价值的演化进程——从HPM的视角》中指出，数学史的教育价值分为三个层面：

人格教育层面——数学史是德育的途径：

认知教育层面——数学史是教学的指南；文化教育层面——数学史是文化的桥梁。

[3]

基于数学史的数学教学设计比较多见，例如蔡宏圣的《“负数”教学的重构数学史的视角》，赵锐的《基于数学史的“圆的面积”教学案例设计》，王会明和徐章韬的《数学史视角下“分数的意义”教学设计》都是涉及小学知识基于数学史的教学设计，能给笔者的研究带来很大的帮助。

其次还有一些有关中学数学的教学设计也可作为参考，如蒋忠勇《HPM视角下的等比数列教学》，张国定《HPM视角下的数学教学设计——从“正弦定理”的教学设计谈起》，陈长华和王俊辉《HPM视角下二项式定理发展史的教学设计》。

这些教学设计将数学史知识带到了课堂，激发了学生的学习兴趣，并培养了他们的文化素养。

数学史融入数学教学的实验研究被越来越多的研究者重视。

苏意雯老师在她的《数学史融入数学教学——以海龙公式探讨为例》中以设计学习工作单的形式将数学史融入教学，并对实施效果进行分析，从而提出建议，她为研究者提供了很好的研究模式，并给笔者以启发。

李林波、刘民英、黄丽芝在《数学史与小学数学教学：

历史文化向度的思考——以竖式乘法为例》中通过考察竖式乘法的历史发展过程，在理论上为小学数学教师和小学数学教学提供了一些教学启示。

[1]来自2006年《HPM通讯》第四卷第九期苏惠玉老师的《三角形面积教学的纵深与统整》恰恰与笔者研究的课题相近，为笔者的研究指明了方向，拓展了思路。

本课题将以融入数学史内容的三角形面积计算的课堂教学为例来研究“将数学史融入到小数数学课堂教学中的课堂气氛和学生的知识吸收效果如何？

将数学史融入到小数数学课堂教学中会出现怎样的实际状况，这些问题是什么原因造成的？

在融入数学史的教学中，学生的反馈情况如何？

”这些问题。

（三）研究目的与研究问题

此次研究的研究目的是：

希望通过将三角形面积计算公式相关数学史与小学数学课堂教学相结合的实践研究，探究实际教学效果，进一步讨论在融入了三角形面积公式数学史的小学数学教学中所营造的不同的课堂氛围和学生对知识的吸收效果情况，以及学生对于这样的教与学有怎样的体会，在这种相对新颖的课堂中会出现怎样的实际状况，并科学分析原因，提出一些合理的可行性改进意见。

希望以此课题为例，为数学史与小学数学教学的结合提供一些参考，为数学史能更广泛地融入小学数学课堂贡献一份力量，擦出学生们学习数学的热情之火，同时让学生从小体会到数学的文化之美。

拟论以下研究问题：

1.将三角形面积公式数学史应用到小数数学课堂教学中，课堂气氛和学生的知识吸收效果如何以及学生的体会？

2.将三角形面积公式数学史融入到小数数学课堂教学中，会出现怎样的实际状况，这些问题是什么原因造成的？

如何科学解决它们？

基于以上研究目的和研究内容，此次研究主要采用行动研究法、经验总结法、调查法、文献法等课题研究方法进行研究。

本次研究选取五年级学生为研究对象，因为五年级上半学期恰恰要学习三角形面积这部分知识，学生的注意力往往放在近期的学习内容上，使研究工作更易进行，此外，笔者的毕业实习在五年级进行，也使得研究工作更加方便进行。

二、研究过程展现

（一）数学史与数学教学的结合方式

在参考已有相关文献的基础上，本研究决定以“将数学史融入课堂”的方式进行教学实践，以达到此课题的研究目的和效果。

在徐传胜、李红婷、韩振来的《数学史与数学课程整合的实现路径》一文中提到了将数学史融入数学教学的诸多途径：

1.导入教学课题。

数学史引入法通常利用数学家的传记或数学发展史导入新课,通过榜样的力量或数学思想的魅力感染学生,调动其学习积极性,唤起其探索热情。

2.用于课堂结束语。

一堂课好的结尾,可使学生急于求知下面的知识。

3.点缀课堂教学。

根据学生的情绪和反应,灵活、适当地穿插一些数学家的故事和言行,能调整教学节奏,活跃课堂气氛,有利于学生注意力的集中和对知识的理解,使其在愉悦轻松的氛围中获得知识和训练能力。

4.作为教学内容。

数学史与教学内容的直接结合需要注重知识内容的选择,应使得数学史知识与现行教学内容结合相得益彰。

5.展示知识背景。

数学知识的产生都有着极其深刻的背景。

学生不了解知识产生的背景,就不知道为什么要学习相关知识,学习目的性不明确,就无法真正理解这一知识,当然更谈不上灵活运用这一知识。

[1]

借鉴学者们在数学史与数学教学结合的经验，本课题中从多个途径出发达到数学史与数学教学的结合，例如：

故事引导，历史重现，讲述世界史等，将数学史融入到数学教学中。

让学生在课堂上体会三角形面积计算公式的历史由来，不仅有中国的还有世界的，让学生感受数学文化带来的乐趣和震撼，激发他们的学习热情。

为了达到这样的目标，笔者为本次研究精心制作了涵盖数学知识、数学史、学生认知等方面问题的学习单，以此贯穿整个教学过程，并以古代数学家的故事动画片将丰富多彩的数学史引入课堂。

（二）教学活动设计

1.学情分析

授课班级为天津市和平区万全道小学五年五班和五年九班两个班级共77名学生。

以笔者实习期间对这两个班学生的了解，他们的数学成绩和知识水平相当，因此笔者选择分班教学的方式进行实践研究。

在笔者的毕业实习期间，三角形的面积计算恰恰在小学教学任务的正常安排之中，因此实习班级的这部分知识的教学工作都由笔者完成。

通过研究以往的教学设计，笔者发现在这一知识上通常是一些注重激发学生主动探索，对已知的公式进行验证的教学过程，并在其中涉及到“转化”这一重要的数学思想。

由于课本的前一节刚刚学过平行四边形面积，在讲授三角形面积时，一般教师都会介绍将两个完全一样的三角形转化成平行四边形进而推导出三角形面积公式的方法。

同时由于时间的缘故，学生一节课只能掌握这一种方法，而且不是所有学生都能扎实地掌握这部分内容，对转化的思想的理解也不够深入。

笔者在实习过程中发现小学教师一般会在三角形公式推导这部分内容下很大功夫尽可能让学生学透学精，有些老师甚至用两个课时来讲解这块内容。

于是，笔者在讲授了常规推导方法的基础上，设计了这节融入了数学史的课程作为三角形面积计算的第二课时，进一步让学生巩固对三角形面积公式的理解和转化思想的认识，并激发学生的学习兴趣和创造力。

笔者对人教版小学五年级上册教材进行了翻阅，发现在第85页的“你知道吗？

”为学生介绍了相关的数学史知识，但是查阅诸多的教案，发现这部分内容往往被教师忽略，没能按照教材编者的意图弘扬中国的数学史文化，拓展学生的历史知识。

因此，笔者希望从历史的角度出发，以这个小常识作为突破口，在教学的过程中融入三角形面积计算的数学史知识，让学生们知道在遥远的古代不同国度的人们有着怎样的数学世界，他们是怎样计算三角形面积的，他们又有哪些不太准确，甚至错误的记载。

一方面增强了学生学习的兴趣，另一方面也是提醒学生不要犯同样的错误。

最重要的是让学生在“以盈补虚”这种远古的转化思想的提示下自己动手操作，展示出通过转化而推导出三角形面积计算公式的过程，让学生们感受历史文化的冲击，更关键的是数学思想的传承。

2.教学目标

（1）巩固三角形面积公式的一般推导方法，加强对转化思想的认识。

（2）知道三角形面积公式在《九章算术》中的推导方法，并以此激发学生创造出更多类似的推导方法。

（3）知道如何在计算三角型面积时避免错误，能正确计算三角形面积。

（4）了解古代中外求三角型面积的方法，体会不同时代不同国度的数学文化，激发学生的学习兴趣，并培养学生积极探索的精神。

3.教学流程

（1）课前发放学具和“学习单”，让学生做好课前的预习，熟悉学习内容，并完成“学习单1”的内容；（由于学习单中涉及的文字性内容较多，据平时对学生的了解，他们阅读能力有限，提前预习“学习单”的内容，让他们有一个先前大致的了解，为课上动手操作节省出更多的时间。

）

（2）复习上节课学习的三角形面积公式以及它的推导方法，指定一学生朗读“你知道吗？

”，然后以故事视频的形式将数学史自然引入，提升学生的学习兴趣，并将他们的注意力转移到“学习单”上，从而进入本课的教学核心；

（3）以“学习单2”中的问题“刘徽与我们的研究方法一样吗？

他的方法适用于所有三角形吗？

受到刘辉的启发你能想出适合任意三角行的面积公式推导方法吗？

”激发学生的创造力，并分小组让学生动手摆一摆、画一画，同时培养学生的团队合作能力，并且在这一环节中让学生自己体会“转化”思想在数学中的应用；（老师巡场）

（4）动手活动后了，指派小组汇报成果，教师进行总结，其间多次重复公式加深学生的记忆，并强调“转化”这个词，加强学生对数学思想的认识；

（5）介绍“学习单3”中古埃及人是怎样推导出三角形面积公式的，并让学生独立完成莱茵得纸草书上第51题，让学生意识到虽然公式简单，但在应用时应注意的问题；（莱茵得纸草书上第51题其实是一道条件模糊的题目，甚至可以说是一道错误的题目，这里是为学生设施的一个小陷阱。

这样一来，不仅提高了学生的警惕性，而且让他们知道数学的发展史中也会出错，它是一个不断改正、完善和创新的过程，就像孩子们的成长一样，从而加强学生的学习信心。

）

（6）让学生独立完成一道书后习题，然后对本堂课进行总结。

课后立刻发放调查问卷，及时收集学生的反馈情况。

（三）学习单及其设计意图

1.学习单

在此次研究的前期工作中，笔者进行了大量的史料整理。

在梁宗巨，王青建，孙宏安的《世界数学通史》、朱家生的《数学史》、吴文俊和沈康身的《中国数学史大系·第二卷》以及吴文俊和白尚恕的《中国数学史大系·第三卷》等多部著作中搜集到有关三角形面积计算公式的不少相关内容。

笔者针对小学数学教学的实际现状对这些资料进行了筛选后精心设计了三张学习单。

主要分成《九章算术》及其作者和相关作品的介绍、“以盈补虚”的推导过程、古埃及的发现和错误这些模块。

学习单的设计依据的是历史发生原理，即学生对数学知识的认知过程与该数学知识的历史发展过程具有相似性。

在本学习单的设计上有以下几个重要的理念：

（1）激发学生的学习兴趣和探知欲望。

（2）通过本次学习，学生能掌握一定数学史知识和三角形面积公式的古代推导方法。

（3）学生受古人的启发能自主进行知识迁移和拓展。

（4）培养学生自主学习及合作交流的能力。

（5）帮助学生追寻数学发展的历史足迹，让学生体会数学的文化内涵。

教学中的学习单大部分是通过学生独立阅读，思考上面的问题，在动手操作环节上以小组合作的形式进行研究和汇报，最后在老师的引导下进行总结，在最后一个模块中的“小陷阱”环节同样是要学生独立完成题目，这也是老师考查学生学习情况的时刻，进而对整堂课进行总结并提出注意事项。

以下是本节课中使用的学习单。

学习单1

1.刘徽生平

刘徽，三国时代魏国人，是中国古代最伟大的数学家之一，被称为“数学泰斗”。

据专家考证，他是山东邹平人,生卒年不详。

刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家。

刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》。

[1]

刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论给予证明，对其错误予以纠正，对其方法作了改进，并提出一些卓越的新理论、新思想。

《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作。

[2]

（视频播放有关刘徽的小故事）

2.《九章算术》

《九章算术》于公元前一世纪成书，包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，奠定了中国古算的基本框架；提出了上百个公式、解法，有完整的分数四则运算法则，比例和比例分配算法，若干面积、体积公式，开平方、开立方程序，盈不足算法，方程术即线性方程组解法，正负数加减法则，解勾股形公式和简单的测望问题算法，其中许多成就在世界上处于领先地位，形成了中国古算以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了中国古算密切联系实际的风格。

《九章算术》成书标志着世界数学研究重心从地中海沿岸转到了中国，开创了东方以算法为中心的数学占据世界数学舞台主导地位千余年的局面。

[3]

3.《九章算术注》

《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃。

逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现。

刘徽集各家优秀思想方法，并加以创新而用于数学研究，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化，并上升到了一个新的阶段，他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表，也堪称是世界数学泰斗。

[1]

问题与讨论：

（1）请你上网查找刘徽、《九章算术》及《九章算术注》的相关内容，然后跟同学们分享。

（2）除了刘徽以外你还知道其他数学家的小故事吗？

讲给你的同学听一听。

学习单2

《九章算术》中所指“圭田”当为等腰三角形。

刘徽在注中所说“半广者，以盈补虚为直田也。

亦可半正纵以乘广”。

如下图所示，这就是利用“出入相补原理”，把等腰三角形通过分、割、移、补使之成为长方形，按长方形面积算法计算。

其中所说“广”是指等腰三角形的底，而“正纵”是指等腰三角形的高，刘徽注所说“中平之数”，就字面而论，当是平均数；但实际上也就是取等腰三角形左边半底与右边半底和的一半的意思。

刘徽既然把等腰三角形变为长方形，便按长方形面积算法，从而证明了“圭田”面积的算法。

（如图1，图2所示）

术文所说“半广以乘正纵”，是给予圭田面积算法，即：

圭田面积=1/2×广×正纵。

按刘徽注文所说，也可得：

圭田面积=1/2×正纵×广。

[2]

图1：

以盈补虚法一图2：

以盈补虚法二

问题与讨论：

（1）刘徽与我们的研究方法一样吗？

说说你的想法。

（2）《九章算术》中的方法适用于所有三角形吗？

（3）以小组为单位，用刘徽的方法找出适用于任意三角形的面积公式的推导过程，看哪组得到的答案最多？

（拼一拼，画一画）

学习单3

1.古埃及的几何学

古代埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的是约公元前2900年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高达146.5米，塔基每边平均宽230米，任何一边与此数值相差不超过0.16米，正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。

与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙。

其中卡尔纳克的神庙主殿总面积达5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米。

这些宏伟建筑的落成，离不开几何学知识。

[1]

2.纸草书

尼罗河三角洲一带盛产一种水草，名叫纸草。

古埃及人把纸草的茎一层一层地撕成薄片，再一张一张地粘起来，就成了写字用的纸，用这种纸装订成册制成纸草书。

有两份纸草书直接书写着数学内容。

一份叫做“莫斯科纸草”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。

另一份叫做“莱茵特纸草”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有：

“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默土从更早的文献中抄下来的85个数学问题。

据他说，纸草纸上的内容，又是他从公元前两千二百年以前的旧卷子上转录下来的。

这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。

[2]

3．计算田地面积

求面积的方法，最初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的。

他们发现：

一块地面，如果是三砖长、三砖宽，需要铺九块砖（3×3）；另一块地面，三砖长、五砖宽，就需要铺十五块砖（3×5）。

这样，计算正方形和长方形的面积，只需用长乘以宽就行了。

但是问题在于，不是所有的土地都是正方形或者长方形。

有些土地，好像那儿都是边，那儿也有角，形状很不规则，把它们分成若干个三角形倒是方便的。

在兰德纸草中有19个关于土地面积和谷仓容积的计算问题．表明当时的埃及人已经会正确计算矩形、三角形和梯形的面积。

[3]

莱因得纸草书第51题：

三角形的底是4海特，“边”是10海特，求面积?

原书的算法是取底的一半，即2亥特，乘上10亥特等于20塞泰特，这就是所求面积。

[1]

问题与讨论：

（1）如果让你独立完成莱茵得纸草书的第51题，你和埃及人的计算方法一样吗？

（2）通过解决上一题，请你思考今后在练习中要注意些什么？

2.设计意图

根据前文的理念，本份学习单共分为三张，以三角形面积公式为主轴，包括了中国和埃及的数学，除了希望能让学生掌握三角形面积公式最基本的推导过程的不同演绎并吸取前人错误的教训以外，也希望学生能对不同文化背景下所呈现的数学有初步的认识。

第一张学习单介绍刘徽的生平和《九章算术》、《九章算术注》这两部著作，让学生能对刘徽所处的时代背景，以及刘徽的数学研究风格有所了解。

在课前的预习作业中“学习单1”是作为课前完成的模块，在课上老师需要结合刘徽的故事视频和这些学生已了解的知识进行总结，并选取部分学生对“你觉得刘徽是一个怎样的人，有什么值得你学习的品质？

你还知道其他数学家的小故事吗？

讲给你的同学听一听。

通过阅读上面的资料，你认为《九章算术》中哪个章节比较吸引你？

”这些问题进行汇报。

之所以安排这样的问题与讨论，是为了了解学生对于数学的看法，同时希望以小故事来吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。

除此之外，在讲故事这一环节，学生还可以了解更多的数学史知识并提高语言的概括和表达能力。

第二张学习单是本堂课的重点模块，主要讲解刘徽以盈补虚利用“出入相补”原理推导三角形面积公式的方法，其实这种方法也属于我们现在所说的“转化思想”的范畴。

学习单中先是介绍了“圭田”、“广”、“正纵”等生僻术语，而后推出两个等值但图解不同的三角形面积公式（转化方式如图1,2），即：

圭田面积=1/2×广×正纵圭田面积=1/2×正纵×广[2]

图1：

以盈补虚法一图2：

以盈补虚法二

“学习单2”的问题与讨论“刘徽与我们的研究方法一样吗？

说说你的想法。

《九章算术》中的方法适用于所有三角形吗？

以小组为单位，用刘徽的方法找出适用于任意三角形的面积公式的推导过程，看哪组得到的答案最多？

（拼一拼，画一画）”很明显地体现了笔者的设计意图，希望学生受到刘徽“以盈补虚”的启发想出适合任意三角形的面积计算公式推导方法。

在讨论形式上，教师组织学生以小组讨论后汇报的方式，不仅仅鼓励学生再次创造而且希望学生体会团队合作的精神，感受学习过程的充实与快乐。

我们同样用“出入相补”的原理可以将任意一个三角形“转化”成我们学过的图形，进而推导出三角形面积的公式，方法如下：

法1：

图3：

任意一个三角形转化成平行四边形

如图3所示，在三角形的任意两边找到中点相连做三角形的中位线，将三角形沿中位线剪开，然后将上面的小三角形以右下角为对称中心旋转180°，这样使原来的三角形转化成平行四边形。

拼成的平行四边形的面积就是三角形的面积，平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形高的一半。

推出：

三角形面积=平行四边形面积=底×高=底×高÷2

法2：

图4：

任意一个三角形转化成长方形（法一）

如图4所示，在三角形的任意两边找到中点相连做三角形的中位线，将三角形沿中位线剪