用多项式模型进行数据拟合实验报告附代码.docx
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用多项式模型进行数据拟合实验报告附代码
实验题目：
用多项式模型进行数据拟合实验
1实验目的
本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于：
（1）掌握数据拟合的基本原理，学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况；
（2）掌握最小二乘法的基本原理及计算方法；
（3）熟悉使用matlab进行算法的实现。
2实验步骤
2.1算法原理
所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线，最不失真地去表现测量数据。
反过来说，对测量
的实验数据，要对其进行公式化处理，用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。
由于函数构造方法的不同，有许多的逼近方法，工程中常用最小平方逼近（最小二乘法理论）来实现曲线的拟合。
最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。
模型主要有：
1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型等，根据应用情况，选用不同的拟合模型。
其中多项式型拟合模型应用比较广泛。
给定一组测量数据
，其中
，共m+1个数据点，取多项式P（x），使得
，则称函数P（x）为拟合函数或最小二乘解，此时，令
，使得
，其中
为待求的未知数，n为多项式的最高次幂，由此该问题化为求
的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件：
，其中
得到：
，其中
，这是一个关于
的线性方程组，用矩阵表示如下所示：
因此，只要给出数据
，数据点个数m，所要拟合的参数n，就可求出未知数据阵
2.2实验步骤
（1）根据已知数据（ch3huaxuefy.m），绘制出数据的散点图，如图1所示：
注：
x从1开始取值，值与值间隔为1。
y取文件ch3huaxuefy.m中的数据。
图1已知数据散点图
（2）计算矩阵
，该矩阵为（n+1）*（n+1）矩阵。
（3）计算矩阵
。
（4）写出正规方程，求出
。
（5）绘制出数据拟合后的曲线图。
分别取n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14，曲线图如下所示：
图2n=6时拟合曲线
图3n=8时拟合曲线
图4n=10时拟合曲线
图5n=11时拟合曲线
图6n=12时拟合曲线
图7n=13时拟合曲线
3实验结果分析
通过运用最小二乘法对多项式模型进行数据拟合处理，获得n次多项式及其系数
。
分别取多项式次数n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14绘制拟合曲线，观察曲线图可知，对于最高次数不同的多项式，拟合结果是不一样的，即对于数据的逼近程度是不相同的。
随着n的增大，曲线拟合效果变好；当n=10时，达到最好拟合效果；n继续增大，曲线拟合效果又变差。
因此，对于相同的数据，并不是多项式的次数n越高，拟合程度就越好。
4实验结论
通过实际做实验，得出了如下结论：
离散数据点，可以采用多项式模型进行拟合，通过最小二乘法可以求得其最优多项式。
此外，还得出一个结论：
对于数据拟合，并不是多项式次数越高，拟合就越逼近。
对此现象，在数值分析的参考书中找到了原因，这是龙格现象，即对于一个等间距节点的高次插值多项式，不收敛于插值函数。
参考文献
[1]陈光，任志良，孙海柱.最小二乘曲线拟合及Matlab实现[J].软件技术,2005.24（3）.
[2]陈桂秀.用程序求解最小二乘拟合多项式的系数[J].青海师范大学学报,2010（3）.
[3]邵慧莹.数据拟合算法分析及C语言实现[J].信息科学,2009.
[4]马正飞，殷翔.数学计算方法与软件的工程应用[M].北京：
化学工业出版社，2002.
[5]徐士良.数值分析与算法[M]北京：
机械工业出版社，2007.
[6]何仁斌.MATLAB6工程计算及应用[M].重庆:
重庆大学出版社,2001.
附录（源代码）
Matlab
%绘制散点图
x=1:
1:
230;y=[26.6,27,27.1,27.1,27.1,27.1,26.9,26.8,26.7,26.4
26.0,25.8,25.6,25.2,25.0,24.6,24.2,24.0,23.7,23.423.1,22.9,22.8,22.7,22.6,22.4,22.2,22.0,21.8,21.4,20.9,20.3,19.7,19.4,19.3,19.2,19.1,19.0,18.9,18.9,19.2,19.3,19.3,19.4,19.5,19.6,19.6,19.6,19.6,19.6,19.7,19.9,20.0,20.1,20.2,20.3,20.6,21.6,21.9,21.7,21.3,21.2,21.4,21.7,22.2,23.0,23.8,24.6,25.1,25.6,25.8,26.1,26.3,26.3,26.2,26.0,25.8,25.6,25.4,25.2,24.9,24.7,24.5,24.4,24.4,24.4,24.4,24.4,24.3,24.4,24.4,24.4,24.4,24.4,24.5,24.5,24.4,24.3,24.2,24.2,24.0,23.9,23.7,23.6,23.5,23.5,23.5,23.5,23.5,23.7,23.8,23.8,23.9,23.9,23.8,23.7,23.6,23.4,23.2,23.0,22.8,22.6,22.4,22.0,21.6,21.3,21.2,21.2,21.1,21.0,20.9,21.0,21.0,21.1,21.2,21.1,20.9,20.8,20.8,20.8,20.8,20.9,20.8,20.8,20.7,20.7,20.8,20.9,21.2,21.4,21.7,21.8,21.9,22.2,22.5,22.8,23.1,23.4,23.4,23.8,24.1,24.6,24.9,24.9,25.1,25.0,25.0,25.0,25.0,24.9,24.8,24.7,24.6,24.5,24.5,24.5,24.5,24.5,24.5,24.5,24.4,24.4,24.2,24.2,24.1,24.1,24.0,24.0,24.0,23.9,23.8,23.7,23.7,23.6,23.7,23.6,23.6,23.6,23.5,23.5,23.4,23.3,23.3,23.3,23.4,23.4,23.3,23.2,23.3,23.3,23.2,23.1,22.9,22.8,22.6,22.4,22.2,21.8,21.3,20.8,20.2,19.7,19.3,19.1,19.0,18.8,0,0,0,0];
plot（x,y,'*'）
xlabel'x轴'
ylabel'y轴'
title'散点图'
holdon
%计算矩阵A
m=229;n=10;
A=zeros（n+1）;
forj=1:
n+1
fori=1:
n+1
fork=1:
m+1
A（j,i）=A（j,i）+x（k）^（j+i-2）
end
end
end;
%计算矩阵B
B=[00000000000];
forj=1:
n+1
fori=1:
m+1
B（j）=B（j）+y（i）*x（i）^（j-1）
end
end
%写出正规方程，求出
B=B';
a=inv（A）*B;
%绘制出拟合曲线图
x=[1.0:
0.0001:
230.0];
z=a
（1）+a
（2）*x+a（3）*x.^2+a（4）*x.^3+a（5）*x.^4+a（6）*x.^5+a（7）*x.^6+a（8）*x.^7+a（9）*x.^8+a（10）*x.^9+a（11）*x.^10;
plot（x,z）
legend（'离散点'
'y=a
（1）+a
（2）*x+a（3）*x.^2+a（4）*x.^3+a（5）*x.^4+a（6）*x.^5+a（7）*x.^6+a（8）*x.^7+a（9）*x.^8+a（10）*x.^9+a（11）*x.^10'）
title（'拟合图'）
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