高等电磁理论-波函数与格林函数.ppt

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,第三章波函数与格林函数,面对的问题:

为什么要引入位函数？

怎样引入位函数？

位函数具有何特点？

如何应用位函数？

3.1标量位和矢量位,为什么要引入位函数？

简化问题的分析求解。

三种形式的位函数,规范不变性,微分方程（矢量位方程）,定义,洛仑兹条件,考虑到Lorentz条件后，电荷及电流产生的电磁场可仅用矢量磁位A表示为,积分解,若要求经过上述规范变换后的位函数A与之间也满足Lorentz条件，即,这种规范称为Lorentz规范，此时，规范函数U应该满足一定的条件。

由于,可见，为了使A与满足Lorentz条件，必须要求规范函数U满足齐次标量Helmholtz方程，即,库仑条件,A只有两个独立分量,且,=0、J=0，若令=0，则,讨论,无源情况,若要求变换后的矢量位A也满足Coulomb条件，则这种规范称为Coulomb规范。

因为,可见，此时规范函数U满足Laplace方程，即,定义,对偶关系：

微分方程,洛仑兹条件,库仑条件,讨论,且,只有两个独立分量,m=0、Jm=0，若令m=0，则,无源情况,一般情况,既有电流源，又有磁流源，则,例：

推导在导电媒质中的波动方程以及矢量位方程,1.赫兹电矢量位e（m=0、Jm=0）,定义：

且,3.2赫兹电矢量位和赫兹磁矢量位,e方程的微分方程,在无源区：

时谐场：

2.赫兹磁矢量位（、）,定义：

且,对偶关系：

时谐场：

方程,等效磁极化矢量,在无源区：

且,一般情况下,3.3用位函数表示无源区的电磁场,已知在线性、均匀、各项同性的无源静止介质中，电场强度和磁场强度满足如下之Helmholtz方程。

该方程在三种常用的正交坐标系中均可归结为标量Helmholtz方程的求解。

现以赫兹矢量为例，说明在正交曲面坐标系中如何用这种辅助函数来表示电磁场分量。

1.直角坐标系（，）,取、，则,且，,若令，则TE波,若令，则TM波,TM波,2.圆柱坐标系（，）,取，满足。

由产生的电磁场为,TE波,取，满足。

由产生的电磁场为,将上面的结果叠加起来，总的合成场为：

3.球面坐标系（，）,问题：

取、,解决方法：

由：

得：

由：

得：

令,令,对比在球坐标中标量波动方程为：

可将球坐标系中无源区域的电磁场量表示为,利用所定义的标量函数u，由,可证明,此时，考虑,即为沿r方向的横磁波（TM波）,同理，考虑,有,v满足标量波动方程,利用v可以将球坐标系中无源区域的电磁场量表示为（也可采用对偶原理）,此时，,即为沿r方向的横电波（TE波）,取、,将上面求得的TM波和TE波相叠加，,3.4标量波函数,讨论的问题:

什么是标量波函数？

常用标量波函数的形式与特点？

的基本解,什么是标量波函数？

方程,基本解,其中：

3.4.1平面波函数,（、中有两个是独立的）,一般解,基本解,1、有界空间的一般解,、取离散值，取驻波解。

各种可能存在的波型叠加,例：

矩形波导中的标量波函数,讨论、二维介质板波导的基本波函数（奇函数）,内部,上外部,下外部,取不同的值，表示沿不同方向传播的平面波,一般解,2、无界空间的一般解,、取连续值，取行波解。

平面波,基本解,其中：

波矢量,方程,基本解,则,3.4.2圆柱面波函数,（、中有一个是独立的）,贝塞尔方程,其中：

的解为柱函数，即,贝塞尔函数,第一类Bessel函数,第二类Bessel函数,渐近公式：

行波解,驻波解,展开公式,贝塞尔函数的正交性,其中是或的第i个根,1、有界空间的一般解,（、取离散值）,例：

圆柱形波导中的基本标量波函数,圆柱体外散射场的基本标量波函数,讨论1、无限长圆柱形介质圆杆的基本波函数,内部,外部,讨论2、无限长双层圆柱形介质圆杆内外场的基本波函数,第一层,第二层,外部,讨论3、平板径向波导的基本波函数,2、无界空间的一般解,（、取连续值）,或,方程,基本解,3.4.3球面波函数,则,球贝塞尔方程,连带勒让德方程,连带勒让德函数,m=0,m0,连带勒让德多项式,勒让德多项式,第一类Legendre函数,第二类Legendre函数,连带勒让德函数的正交性,即,的解为球贝塞尔型函数,球贝塞尔型函数,第一类球Bessel函数,第二类球Bessel函数,球贝塞尔函数的正交性,其中是的第i个根,基本波函数,一般解,例：

球形区域内中的基本标量波函数,偶模；,奇模；,球形区域外中的基本标量波函数,一般解,一般解,讨论、介质球散射问题的基本波函数,内部,外部,3.5矢量波函数,讨论的问题:

什么是矢量波函数？

矢量波函数的特点常用矢量波函数的形式矢量波函数的应用,什么是矢量波函数？

如何引入矢量波函数？

的基本解,任一矢量可用三个线性无关矢量来表示,满足矢量波动方程，线性无关，最好是正交的,3.5.1矢量波函数的定义,为标量波函数，即,为单位常矢量,证明满足方程,3.5.2矢量波函数的性质,

（1）的散度与旋度,

（2）具有对称关系,M与N之间，以及L与M之间是相互正交的。

在某些坐标系中还可证明L与N之间也是相互正交的，那么L、M、N构成正交函数系，且可证明也具有完备性。

边样，L、M、N的线性组合即可构成矢量Helmholtz方程的解。

（3）正交性,3.5.3用矢量波函数表示矢量场,取,设,（无源区）,若,TM波,若,TE波,3.5.4直角坐标系中的矢量波函数,有界空间：

取a=ez，考虑直角坐标系,无界空间：

例：

矩形波导中的矢量波函数,正交性的描述？

取,3.5.5圆柱坐标系中的矢量波函数,例圆柱波导中的矢量波函数,正交性的描述？

3.5.6球坐标系中的矢量波函数,如何选取矢量a？

取a=r,例：

球形区域内中的矢量波函数,3.6标量格林函数,讨论的问题:

标量格林函数的概念标量格林函数的特点如何求解标量格林函数？

标量格林函数的应用,格林函数单位点源作用下非齐次波动方程的解,无界空间,解非齐次矢量波动方程并矢格林函数,非齐次标量波动方程的求解问题,解非齐次标量波动方程标量格林函数,有界空间：

如何考虑边界条件的影响？

利用格林函数求解,面临的问题：

标量格林恒等式,3.6.1格林恒等式,矢量格林恒等式,3.6.2函数,函数的定义,函数的物理意义,函数的挑选性,函数的对称性,三维函数的表示,函数的本征函数展开,函数的积分表示,设,由,3.6.3非齐次标量波动方程的积分解,或,令,3.6.4标量格林函数,

（1）无界空间的格林函数,三维格林函数,辐射条件,二维格林函数,例求一维标量波动方程的标量Green函数,因为场不可能无限大，可以推得：

又从源点条件可以得到：

（2）有界空间的格林函数,第一类边值问题,第一类格林函数,第二类格林函数,第二类边值问题,（3）格林函数的对称性,或,证明:

由,例,已知标量格林函数满足如下方程和边界条件,根据以上关系式，求解标量位的泊松方程,3.6.5用镜像法求标量格林函数,其中,或,问题：

求半无限大空间的标量格林函数,根据镜像法，标量格林函数可写为,对应于Ax的标量格林函数为第一类格林函数,解,由,例：

分别求无限大的理想导电平面上方处的电偶极子的矢量磁位和磁偶极子的矢量电位,对应于Az的标量格林函数为第二类格林函数,对应的本征函数问题,3.6.6利用本征函数展开法求标量格林函数,令,例1：

矩形波导管中的第一类格林函数（二维）,矩形波导中沿z方向有一无限长的线电流I。

基本波函数,且,令,故,例2：

矩形波导管中TM波的标量格林函数（三维）,基本波函数,则,令,矩形波导中的处沿z方向的单位电流元,故,练习1：

求下列一维标量格林函数,练习2：

已知标量格林函数在矩形区域的边值问题为：

求此标量格林函数,3.7并矢格林函数,讨论的问题:

并矢格林函数的概念并矢格林函数的特点如何求解并矢格林函数？

并矢格林函数的应用,面临的问题：

非齐次矢量波动方程,为简单起见，假定只有电流源，则,边界条件：

3.7.1并矢格林函数的定义及分类位于R处，指向x，y，z的三个无穷小电偶极子所产生的电场。

几种典型的边值问题,几种典型的边值问题,3.7.2并矢的定义及其运算,设有一x方向的点电流源在空间产生的电磁场记为根据Maxwell旋度方程，可得,3.7.3并矢Green函数的定义,同理，分别设y方向和z方向点电流源它们在空间产生的电磁场分别记为,同样根据Maxwell旋度方程，可得引入并矢格林函数,式中，称为电并矢Green函数，称为磁并矢Green函数。

容易证明通过上述推导可以看出，并矢Green函数可以看成是并矢点电流源在空间产生的并矢电磁场。

上式就是并矢电磁场所满足的Maxwell方程。

对上式取旋度，可得并矢Green函数满足的波动方程,与不是独立的，所以在求解电磁场时只需其中一个即可。

下面主要讨论。

电并矢Green函数除满足波动方程外，在边界面上还应满足一定的边界条件。

根据边界条件的不同，电并矢Green函数可分为以下几类:

1）无界空间电并矢Green函数，它在无穷远处满足辐射条件。

2）第一类电并矢Green函数，在边界上满足3）第二类电并矢Green函数，在边界上满足,3.7.4并矢格林函数的积分表达,同理，得,得,由,边界条件,已知边界条件,边界面为理想导电面：

边界面为理想导磁面：

已知边界条件,自由空间,3.7.5并矢Green函数的对称性并矢Green函数具有如下对称性式中,T表示转置。

当然，也有：

已知边界条件,已知边界条件,自由空间的积分解,3.7.6无界空间电并矢Green函数的求解,已知,若,得,那么,且,则,同理,【证明】,由,辐射条件的证明,有限值,3.7.7半空间并矢格林函数的求解,由于,对位于的无限大理想导体平面上方的电流源，则上半空间的电场可用并矢格林函数表示为,设电流源的镜象为，则有,故得到上半空间的第一类并矢格林函数为,其中,所以,3.7.8利用本征函数展开法求并矢格林函数,基本矢量波函数：

令,其中：

将和的展开式代入方程,其中：

【例】矩形波导管中的第一类和第二类并矢格林函数,解：

标量波函数,且,矢量波函数,边界条件,有,已知,得,边界条件,有,已知,得,边界条件,有,已知,得,其中：

将和的展开式代入方程,习题,3-2，3-4，3-13，3-16，3-24，3-25,3.7.9磁并矢格林函数,电并矢格林函数；,磁并矢格林函数,