第二章 函数概念与基本初等函数 I27.docx

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第二章函数概念与基本初等函数I27

1．描点法作图

方法步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）；（4）描点连线，画出函数的图象．

2．图象变换

（1）平移变换

（2）对称变换

①y＝f（x）

y＝－f（x）；

②y＝f（x）

y＝f（－x）；

③y＝f（x）

y＝－f（－x）；

④y＝ax（a>0且a≠1）

y＝logax（a>0且a≠1）．

⑤y＝f（x）

y＝|f（x）|.

⑥y＝f（x）

y＝f（|x|）．

（3）伸缩变换

①y＝f（x）

y＝f（ax）．

②y＝f（x）

y＝af（x）．

【知识拓展】

1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．

2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y＝f（x）中的f（x）进行操作，满足“上加下减”．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝|f（x）|与y＝f（|x|）的图象相同．（　×　）

（2）函数y＝af（x）与y＝f（ax）（a>0且a≠1）的图象相同．（　×　）

（3）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称．（　×　）

（4）若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．（　√　）

（5）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位得到函数y＝f（－x－1）的图象．（　×　）

1．函数f（x）＝2x－4sinx，x∈

的图象大致是（　　）

答案　D

解析　因为函数f（x）是奇函数，所以排除A、B.

f′（x）＝2－4cosx

，令f′（x）＝2－4cosx＝0

，得x＝±

，所以选D.

2．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）＝ex＋1B．f（x）＝ex－1

C．f（x）＝e－x＋1D．f（x）＝e－x－1

答案　D

解析　与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f（x）图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f（x）的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f（x）＝e－（x＋1）＝e－x－1.

3．已知函数f（x）＝e|lnx|，则函数y＝f（x＋1）的大致图象为（　　）

答案　D

解析　当x≥1时，f（x）＝elnx＝x，其图象为一条直线；当0

.函数y＝f（x＋1）的图象为函数y＝f（x）图象向左平移1个单位长度后得到的．故选D.

4．（教材改编）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（　　）

答案　C

5．已知函数f（x）＝

且关于x的方程f（x）－a＝0有两个实根，则实数a的范围是________．

答案　（0,1]

解析　当x≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f（x）－a＝0有两个实根，即函数y＝f（x）与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.

题型一　作函数的图

例1　作出下列函数的图象：

（1）y＝|lgx|；

（2）y＝

；

（3）y＝x2－2|x|－1.

解　

（1）y＝|lgx|＝

作出图象如图1.

（2）因y＝1＋

，先作出y＝

的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝

的图象，如图2.

（3）y＝

图象如图3.

引申探究

作函数y＝|x2－2x－1|的图象．

解　y＝

如下图

思维升华　

（1）常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋

（m>0）的函数是图象变换的基础；

（2）掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．

　作出下列函数的图象．

（1）y＝|x－2|·（x＋1）；

（2）y＝

.

解　

（1）当x≥2，即x－2≥0时，

y＝（x－2）（x＋1）＝x2－x－2＝（x－

）2－

；

当x<2，即x－2<0时，

y＝－（x－2）（x＋1）＝－x2＋x＋2

＝－（x－

）2＋

.

∴y＝

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出（如图）．

（2）y＝

＝1－

，该函数图象可由函数y＝－

向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图所示．

题型二　识图与辨图

例2　

（1）（2015·课标全国Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（　　）

（2）已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝－f（2－x）的图象为（　　）

答案　

（1）B　

（2）B

解析　

（1）当点P沿着边BC运动，即0≤x≤

时，

在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，

在Rt△PAB中，|PA|＝

＝

，则f（x）＝|PA|＋|PB|＝

＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；

当点P与点C重合，即x＝

时，由上得f

＝

＋tan

＝

＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝

时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f

＝|PA|＋|PB|＝

＋

＝2

，知f

＜f

，故又可排除D.综上，选B.

（2）方法一　由y＝f（x）的图象知，

f（x）＝

当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，

所以f（2－x）＝

故y＝－f（2－x）＝

图象应为B.

方法二　当x＝0时，－f（2－x）＝－f

（2）＝－1；

当x＝1时，－f（2－x）＝－f

（1）＝－1.

观察各选项，可知应选B.

思维升华　函数图象的识辨可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；

（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．

（1）（2015·浙江）函数f（x）＝

cosx（－π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）

（2）现有四个函数：

①y＝xsinx；②y＝xcosx；③y＝x|cosx|；④y＝x·2x的图象（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（　　）

A．④①②③B．①④③②

C．③④②①D．①④②③

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）∵f（x）＝（x－

）cosx，∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）为奇函数，排除A，B；当x＝π时，f（x）＝

－π＜0，排除C.故选D.

（2）由于函数y＝xsinx是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y＝xcosx是奇函数，且当x＝π时，y＝－π<0，故函数②对应第三个图象；函数y＝x|cosx|为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y＝x·2x为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.

题型三　函数图象的应用

例3　

（1）（2015·安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

（2）已知函数f（x）＝

若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是（　　）

A．（1,2015）B．（1,2016）

C．[2,2016]D．（2,2016）

答案　

（1）－

（2）D

解析　

（1）∵|x－a|≥0恒成立，∴要使y＝2a与y＝|x－a|－1只有一个交点，必有2a＝－1，解得a＝－

.

（2）作出函数的图象，直线y＝m交函数图象如图，不妨设a

对称，因此a＋b＝1，当直线y＝m＝1时，由log2015x＝1，解得x＝2015.若满足f（a）＝f（b）＝f（c），且a，b，c互不相等，由a

思维升华　

（1）利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．

（2）利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f（x）＝g（x）的根就是函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标；不等式f（x）

（1）设定义在[－1,7]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则关于函数y＝

的单调区间表述正确的是（　　）

A．在[－1,1]上单调递增

B．在（0,1]上单调递减，在[1,3）上单调递增

C．在[5,7]上单调递增

D．在[3,5]上单调递增

（2）若关于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．

答案　

（1）B　

（2）

解析　

（1）由题图可知，f（0）＝f（3）＝f（6）＝0，所以函数y＝

在x＝0，x＝3，x＝6处无定义，故排除A、C、D，选B.

（2）在同一坐标系中画出函数f（x）＝2－x2，g（x）＝|x－a|的图象，如图所示．若a≤0，则其临界情况为折线g（x）＝|x－a|与抛物线f（x）＝2－x2相切．由2－x2＝x－a可得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4·（a＋2）＝0，解得a＝－

；若a>0，则其临界情况为两函数图象的交点为（0,2），此时a＝2.结合图象可知，实数a的取值范围是

.

2．高考中的函数图象及应用问题

一、已知函数解析式确定函数图象

典例　函数f（x）＝2x＋sinx的部分图象可能是（　　）

思维点拨　根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图象．

解析　方法一　∵f（－x）＝－2x－sinx＝－f（x），

∴f（x）为奇函数，排除B、C，

又0

时，f（x）>0，排除D，故A正确．

方法二　∵f′（x）＝2＋cosx>0，

∴f（x）为增函数，故A正确．

答案　A

温馨提醒　

（1）确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想．

（2）对于给出图象的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除．

二、函数图象的变换问题

典例　若函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝－f（x＋1）的图象大致为（　　）

思维点拨　从y＝f（x）的图象可先得到y＝－f（x）的图象，再得y＝－f（x＋1）的图象．

解析　要想由y＝f（x）的图象得到y＝－f（x＋1）的图象，需要先将y＝f（x）的图象关于x轴对称得到y＝－f（x）的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f（x＋1）的图象，根据上述步骤可知C正确．

答案　C

温馨提醒　

（1）对图象的变换问题，从f（x）到f（ax＋b），可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．

（2）图象变换也可利用特征点的变换进行确定．

三、函数图象的应用

典例　

（1）已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）

B．f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）

C．f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）

D．f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）

（2）设函数f（x）＝|x＋a|，g（x）＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是________．

思维点拨　

（1）画出函数f（x）的图象观察．

（2）利用函数f（x），g（x）图象的位置确定a的范围．

解析　

（1）将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝

画出函数f（x）的图象，如图，观察得到，f（x）为奇函数，递减区间是（－1,1）．

（2）如图，作出函数f（x）＝|x＋a|与g（x）＝x－1的图象，观察图象可知：

当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞）．

答案　

（1）C　

（2）[－1，＋∞）

温馨提醒　

（1）本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质．

（2）利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．

[方法与技巧]

1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：

（1）可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；

（2）可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等．

2．合理处理识图题与用图题

（1）识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（2）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．

[失误与防范]

1．函数图象平移的方向和大小：

函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f（－2x）的图象到f（－2x＋1）的图象是向右平移

个单位．

2．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟）

1．（2014·浙江）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logax的图象可能是（　　）

答案　D

解析　方法一　当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；

当0

方法二　幂函数f（x）＝xa的图象不过（0,1）点，排除A；B项中由对数函数f（x）＝logax的图象知01，而此时幂函数f（x）＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．

2．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点（　　）

A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

答案　A

解析　y＝2x向右平移3个单位长度,y＝2x－3向下平移1个单位长度,y＝2x－3－1.故选A.

3．直线l：

y＝

x－

的图象经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是（　　）

A．m>1且n<1B．mn<0

C．m>0且n<0D．m<0且n<0

答案　B

解析　因为直线y＝

x－

经过第一、二、四象限，故

<0且－

>0，即m>0且n<0，但此为充要条件，因此其一个必要不充分条件为mn<0.故选B.

4．已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A．（0，

）B．（

，1）

C．（1,2）D．（2，＋∞）

答案　B

解析　先作出函数f（x）＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为

，故f（x）＝g（x）有两个不相等的实根时，k的范围为（

，1）．

5．（2015·北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（　　）

A．{x|－1＜x≤0}

B．{x|－1≤x≤1}

C．{x|－1＜x≤1}

D．{x|－1＜x≤2}

答案　C

解析　令g（x）＝y＝log2（x＋1），作出函数g（x）的图象如图.

由

　得

∴结合图象知不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集为{x|－1

二、填空题

6.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数

的定义域是________．

答案　（2,8]

解析　当f（x）>0时，

函数

有意义，由函数f（x）的图象知满足f（x）>0的x∈（2,8]．

7．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f（x）＝min{2x，x＋2,10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为________________________．

答案　6

解析　f（x）＝min{2x，x＋2,10－x}（x≥0）的图象如图．令x＋2＝10－x，得x＝4.

当x＝4时，f（x）取最大值，

f（4）＝6.

8．设f（x）＝|lg（x－1）|，若0

答案　（4，＋∞）

解析　由于函数f（x）＝|lg（x－1）|的图象如图所示．由f（a）＝f（b）可得－lg（a－1）＝lg（b－1），解得ab＝a＋b>2

（由于a4.

三、解答题

9．已知函数f（x）＝

.

（1）画出f（x）的草图；

（2）指出f（x）的单调区间．

解　

（1）f（x）＝

＝1－

，函数f（x）的图象是由反比例函数y＝－

的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图象如图所示．

（2）由图象可以看出，函数f（x）有两个单调递增区间：

（－∞，－1），（－1，＋∞）．

10．已知函数f（x）＝|x2－4x＋3|.

（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；

（2）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．

解　f（x）＝

作出函数图象如图．

（1）函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞）；函数的减区间为（－∞，1]，[2,3]．

（2）在同一坐标系中作出y＝f（x）和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点（如图）．由图知0

∴M＝{m|0

B组　专项能力提升

（时间：

15分钟）

11．函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝log

f（x）的图象大致是（　　）

答案　C

解析　由函数y＝f（x）的图象知，当x∈（0,2）时，f（x）≥1，所以log

f（x）≤0.

又函数f（x）在（0,1）上是减函数，在（1,2）上是增函数，

所以y＝log

f（x）在（0,1）上是增函数，在（1,2）上是减函数．结合各选项知，选C.

12．（2015·安徽）函数f（x）＝

的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）

A．a>0，b>0，c<0

B．a<0，b>0，c>0

C．a<0，b>0，c<0

D．a<0，b<0，c<0

答案　C

解析　函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0.

令x＝0，得f（0）＝

，又由图象知f（0）>0，∴b>0.

令f（x）＝0，得x＝－

，结合图象知－

>0，∴a<0.故选C.

13．设函数y＝f（x＋1）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，在区间（－∞，0）是减函数，且图象过点（1,0），则不等式（x－1）f（x）≤0的解集为____________________________________________________．

答案　（－∞，0]∪（1,2]

解析　y＝f（x＋1）向右平移1个单位得到y＝f（x）的图象，由已知可得f（x）的图象的对称轴为x＝1，过定点（2,0），且函数在（－∞，1）上递减，在（1，＋∞）上递增，则f（x）的大致图象如图所示．

不等式（x－1）f（x）≤0可化为

或

由图可知符合条件的解集为（－∞，0]∪（1,2]．

14．已知函数f（x）＝

若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

答案　（0,1）

解析　画出分段函数f（x）的图象如图所示，结合图象可以看出，若f（x）＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f（x）的图象与y＝k有两个不同的交点，故k的取值范围为（0,1）．

15．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3）时，f（x）＝|x2－2x＋

|.若函数y＝f（x）－a在区间[－3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是________．

答案　（0，

）

解析　先画出y＝x2－2x＋

在区间[0,3）上的图象，再将x轴下方的图象对称到x轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f（x）在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f（－3）＝f（0）＝f（3）＝0.5，f（－2）＝f

（1）＝f（4）＝0.5.

函数y＝f（x）－a在区间[－3,4]上有10个零点（互不相同）等价于y＝f（x）的图象与直线y＝a有10个不同的交点，由图象可得a∈

.