学年浙江省台州市高一上学期期末数学试题及答案解析版.docx
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学年浙江省台州市高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年浙江省台州市高一上学期期末数学试题及答案解析版
一、单选题
1．已知全集，，则=（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据集合的补集运算，可以直接得到答案.
【详解】
因为，根据集合的补集运算有，.
故选：
C
【点睛】
本题主要考查集合的补集运算，属基础题.
2．=（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用诱导公式，可以得到本题答案.
【详解】
因为，所以.
故选：
A
【点睛】
本题主要考查利用诱导公式求三角函数值，属基础题.
3．函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】使函数各部分有意义，列出不等式组求解，即可得到本题答案.
【详解】
因为函数，要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为.
故选：
D
【点睛】
本题主要考查函数的定义域，属基础题.
4．下列函数中，值域为的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把4个函数的值域都写出来，即可得到本题答案.
【详解】
因为的值域为，的值域为，的值域为，的值域为.
故选：
C
【点睛】
本题主要考查具体函数的值域，属基础题.
5．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.
【详解】
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.
故选：
B
【点睛】
本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.
6．函数（且）的图象经过定点（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，即可得到本题答案.
【详解】
因为函数，且有（且），令，则，，所以函数的图象经过点.
故选：
A
【点睛】
本题主要考查对数函数（且）恒过定点，属基础题.
7．已知角是锐角，若是关于x的方程的两个实数根，则实数m和n一定满足（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由韦达定理有，①，②，①式两边平方结合②式，即可得到本题答案.
【详解】
因为是关于x的方程的两个实数根，由韦达定理有，①，②，①式两边平方得，③，②代③得，.
故选：
B
【点睛】
本题主要考查韦达定理与三角函数的综合应用.
8．已知是定义在上的偶函数，若在上单调递减，且，则不等式的解集为（）
A．B．
C． 或D．
【答案】C
【解析】根据题意画出函数的大概图象，分和两种情况解不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，所以可以把下图当作的图象，那么要求的解集，分两种情况即可，①当时，，解得且；②当时，，解得，综上，得且，所以不等式的解集为 或，
故选：
C
【点睛】
本题主要考查利用函数的性质解不等式，数形结合是解决本题的关键.
9．若实数x、y满足，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】用x表示，求在的取值范围，即可得到本题答案.
【详解】
由题意得，，由，得，所以
，当时，取最大值10；当时，取最小值，所以的取值范围是.
故选：
D
【点睛】
本题主要考查三角函数的值域以及二次函数在定区间的值域问题.
10．设函数，若在区间上是单调函数，则（）
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】因为在单调递增，所以在也是单调递增，且，解不等式组，即可得到本题答案.
【详解】
当时，，所以此时函数在区间上单调递增，因为在区间上是单调函数，所以在区间上单调递增，当时，对称轴，此时在上单调递增，且需满足，得；当时，，符合题意；当时，对称轴，此时在上单调递增，且需满足，得；综上得，.
故选：
B
【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法.
二、填空题
11．已知，，则____________，_____________.
【答案】515
【解析】由，可得，然后利用指数幂的运算性质可得本题答案.
【详解】
由，得，.
故答案为：
5；15
【点睛】
本题主要考查对数式化指数式以及指数幂的运算性质.
12．设函数，则____________；若，则x=____________.
【答案】
【解析】
（1）代入，可得答案；
（2）先用x表示，解方程即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）因为，所以，解得.
故答案为：
；-1
【点睛】
本题主要考查利用函数解析式求值的问题，属基础题.
13．已知，则____________，_______.
【答案】0
【解析】
（1）由化简可得本题答案；
（2）联立与，求得，即可得到本题答案.
【详解】
（1）由题得，
；
（2）由
（1）得，，联立，得，
所以.
故答案为：
0；
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简求值问题，涉及到和差公式以及同角三角函数的基本关系.
14．函数的部分图象如图所示，其中，，，则=__________，______________.
【答案】2
【解析】由图知，，代入，可求得，接着代入点，即可得到本题答案.
【详解】
由图知，，所以，，又，所以.
故答案为：
2；
【点睛】
本题主要考查根据三角函数的图象求其解析式.
15．已知幂函数是奇函数，且，则m的值为___________.
【答案】0
【解析】由和，可确定或，由是奇函数，可舍掉，即可得到本题答案.
【详解】
因为，又因为，所以或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意.
故答案为：
0
【点睛】
本题主要考查利用幂函数的性质求参数的取值.
16．已知函数的最小正周期为2，当时，.若，则满足的所有x取值的和为_____________.
【答案】2019
【解析】由时，与，可得，因为且函数的最小正周期为2，所以求出内所有奇数的和，即可得到本题答案.
【详解】
在函数的一个周期内，即时，,又因为，所以，且当且仅当时取得，在内共有2019个周期，且每个周期内的x取奇数时的函数值为4，故所有的x值之和为.
故答案为：
2019
【点睛】
本题主要考查函数的周期性.
17．设函数，若不等式的解集为，则是下列说法中，正确的序号是_______________.
①；②；③函数在上有零点；④函数在上单调递增.
【答案】②③
【解析】由的图象及不等式的解集为，可以确定的取值，然后对①②③④逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】
因为，所以当时，；
当时，；
当时，，综上，得，
因为不等式的解集为，可作图如下，由图可得，，且有，所以，
解得，所以得①不正确；
，故②正确；
显然时，，故在上有零点，所以③正确；
因为，所以为减函数，为增函数，故为减函数，所以④不正确.
故答案为：
②③
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式与函数的综合应用，难度较大.
三、解答题
18．设集合，.
（1）求；
（2）设集合，若，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）先求出一元二次不等式的解，然后根据集合的交集运算性质即可得到本题答案；
（2）根据集合的包含关系，列出不等式求解即可得到本题答案.
【详解】
（1）由，得，所以，因为,所以；
（2）题意知，由于，所以，即.
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算以及根据集合的包含关系确定参数的取值范围，属基础题.
19．已知，.
（1）求的值；
（2）设角的终边与单位圆的交点为，，求的大小.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）利用，先算出，然后代入二倍角公式即可得到本题答案；
（2）由角的终边与单位圆的交点为，，算得，然后算得，确定的范围，即可得到本题答案.
【详解】
（1）因为，所以，所以；
（2）设角的终边与单位圆的交点为，则，因为，所以，由
（1）知，，
所以，，则，由得，且，所以，所以.
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数，和差公式以及二倍角公式的综合应用.
20．已知函数.
（1）判断函数在R上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数m的最大值.
【答案】
（1）在R上是增函数，证明见解析
（2）4
【解析】
（1）利用定义法证明函数的单调性即可；
（2）利用函数的单调性和奇偶性把对于任意的，恒成立转为对任意的，，即恒成立，即可得到本题答案.
【详解】
（1）在R上是增函数，证明如下.
取任意的，且
则，又，，则，，则，故在R上是增函数；
（2）注意到，则为奇函数，则，
由
（1）可知，在R上是增函数，则，
则原问题等价于对于任意的，恒成立，求实数m的最大值，
即，恒成立，易知当时，，故m的最大值为4.
【点睛】
本题主要考查利用定义法证明函数的单调性以及利用函数的单调性、奇偶性解不等式.
21．已知函数，若把图象上所有的点向左平行移动个单位后，得到函数的图象
（1）求函数的解析式，并写出的单调增区间；
（2）设函数，，求满足的实数x的取值范围.
【答案】
（1），
（2）
【解析】
（1）通过平移变换得到，令，解不等式即可得到本题答案；
（2）利用和差公式和辅助角公式，化简得，根据，，即可确定x的取值范围.
【详解】
（1）由题意，得，令，得，则单调增区间为.
（2）由题意，得
由，得，又，得到，解得，或，或，即，或，或，即.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变换、利用和差公式与辅助角公式化简，以及三角函数图象与性质的应用.
22．如图，是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，，，设，四边形的周长为.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）记的面积为是否存在实数a，对于任意的，总存在，使得成立？
若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1），
（2）（3）存在，
【解析】
（1）在中，利用，求得，即可得到本题答案；
（2）由，得或，结合图象即可确定m的取值范围；
（3）由题意得，，分和两种情况考虑，即可得到本题答案.
【详解】
（1）如图，在中，过点C作于点E，则，所以，，所以，；
（2）由，，得，
所以，即或，
由方程在区间上有两个不相等的实数根，结合图象可得，
得，即实数的取值范围是.
（3），，则
由题意知，因为在上单调递增，所以.所以，假设存在实数a满足条件，则至少存在一个满足，所以，即，又，所以
当时，在上，恒成立，所以在上单调递增，
，所以，解得，所以；
当时，存在，使得都满足，所以符合.
综上，实数a的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查利用函数解决实际问题，数形结合以及分类讨论是解决本题得关键.
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