高二数学最新教案直线两条直线所成的角 精品.docx

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高二数学最新教案直线两条直线所成的角精品

直线教案两条直线所成的角教案

教学目标

1．使学生理解两条直线夹角的概念，掌握夹角公式的推导及运用．

2．通过夹角公式推导过程的教学，培养学生周密分析、严格论证的能力．

3．使学生进一步体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法．

教学重点与难点

夹角公式的推导及解析法的运用．

教学过程

一、复习提问

师：

请同学们回忆一下，平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？

分别是什么？

生：

两条直线的位置关系有平行和相交两种．

（学生有可能答平行和垂直两种位置关系，教师应注意纠正．）

师：

相交这种位置关系中有一种非常特殊的情况，即两条直线垂直，在解析几何中是利用什么来判定两条直线垂直的呢？

生：

利用两条直线的方程．

师：

对！

直线方程是直线这一平面图形的代数化，通过对直线方程的性质的研究就可以得到相应的图形——直线的性质，那么两条直线l；和人的方程有什么性质，两条直线便垂直了？

生：

如果两条直线的斜率都存在，而且斜率互为负倒数，两条直线互相垂直．反之，若两条直线互相垂直，斜率互为负倒数．

师：

如果两条直线斜率都不存在呢？

生：

因为这两条直线都垂直于x轴，所以根本不可能互相垂直．

师：

如果一条直线l1的斜率存在，而另一条直线l2斜率不存在呢？

生：

关键是看l1的斜率k1是不是等于零，如果k1=0，那么l1垂直于l2，如果k1≠0，l1与l2肯定不垂直．

（如果学生答不出来，可以画出l2帮助思考．）

师：

好，通过以上这些问题，综合起来才是完整的，同学们在考虑直线的问题时，一定要注意直线的斜率是否存在．另外，直线间的位置关系与直线的斜率密切相关，斜率又由倾斜角来确定，所以研究直线的位置关系就离不开倾斜角这一几何图形的帮助，这一点同学们在推导两条直线平行垂直的判定方法时就应该注意到了．

然而两条直线相交更一般的情况是不垂直，那用什么来刻画两条直线的相对位置呢？

（用两支铅笔演示两条直线相交成角变化，学生一般能回答出来用角来刻画．）

二、讲授新课

师：

请同学们看，两条直线相交，一共构成几个角？

它们之间有什么关系？

生：

一共构成4个角，它们是两对对顶角．

师：

如果这4个角全相等，我们称这两条直线垂直．如果这4个角不全相等，为统一也为研究方便，我们研究哪对对顶角更好呢？

生：

愿意研究锐角．

师：

我们给出定义．

（板书）

1．两条直线所成的角两条直线相交，称不大于直角的角叫做两条直线所成的角，简称夹角．

师：

由夹角定义，能否得到夹角θ的取值范围呢？

师：

如果只研究两条直线斜交的位置关系，有两条直线的夹角就足够了，但是要研究多条直线时，夹角就有局限性，比如图1-24中，l1与l3的夹角等于l2与l3的夹角，但l1与l2的位置关系并不确定，所以最好让“角”也具有方向．

（板书）

2．l1到l2的角把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，简称到角．

师：

如图1-25，l1到l2的角为θ1，l2到l1的角为θ2，θ1和θ2有什么关系？

生：

θ1与θ2和为180°．

师：

可以看出，到角是有顺序的，它具有指向性，我们现在关心的是l1到l2的角是多大，如何用解析几何的方法来求证？

生：

应该对两条直线方程进行研究．

师：

为了具有一般性，我们设出直线的方程．

（板书）

设l1：

y=k1x+b1，或x=x1；

l2：

y=k2x+b2，或x=x2，（k1≠k2）

师：

可以看到，l1、l2的方程情况很多，先研究简单、特殊的情况——有一条直线斜率不存在．

（1）若l1：

y=k1x+b1，l2：

x=x2，那么l1到l2的角可通过图形来观察．

显然θ与l1、l2的倾斜角α1、α2相关，根据图1-26

（1）可以看出θ=α2-α1=90°-α1；根据图1-26

（2）则有θ=α2+180°-α1=270°-α1，由于这种情况特殊，所以画出图来帮助分析就可以了，我们研究的重点是两条直线斜率都存在时，l1到l2的角如何计算．

（2）若l1：

y=k1x+b1，l2：

y=k2x+b2，且1+k2k1≠0（因为要研究两直线斜交的情况）．设l1到l2的角为θ．

师：

请同学们思考θ与直线方程的关系，明确地说，由什么量决定θ？

生：

两条直线所成的角应该和这两条直线的方向有关（教师追问直线方向的代数化是什么）．直线的方向的代数化是直线的斜率，所以l1到l2的角应该和这两条直线的斜率有关．

师：

我们现在想找θ与k1、k2的关系，应该怎么办呢？

生：

θ是角，k1，k2是实数，不太容易找关系．

生：

k1、k2也是和角有关的，是不是可以间接找关系？

生：

试试先找θ和l1、l2的倾斜角的关系，然后再转化为k1、k2的关系．

师：

很好，l1，l2的倾斜角α1、α2是联系θ与k1、k2的纽带了，能不能凭空想出θ与α1、α2的联系？

生：

应该画图帮助思考．

师：

请一位同学在黑板上画出图形，反映两直线斜交的情况，其他同学在笔记本上画．

（教师巡视学生作图情况，根据黑板上作出的图形，另外挑一位同学上黑板画图，两个图形分别代表α1＜α2，α1＞α2的情况，如图1-27．）

师：

两幅图有什么区别？

生：

图

（1）中α1＜α2，图

（2）中α1＞α2．

师：

l1、l2相对位置不同，θ与α1、α2的关系可能不一样，我们先研究图

（1）中的情况．由于l1与l2相交，α2为三角形的外角，α1为这个三角形的内角，故有

（板书）

θ=α2-α1．

师：

得到了θ与α1、α2的关系，如何转化为斜率呢？

生：

取角的正切．

师：

为什么？

生：

因为斜率是倾斜角的正切值，取了角的正切，就把这个倾斜角转化为斜率了．师：

等式两边取正切，有

（板书）

tanθ=tan（α2-α1）

师：

由于k1、k2存在且1+k2k1≠0，所以这个关系式有意义，对于图

（2）是否有相同的结论呢？

可以看到，α1是三角形的外角，α2是三角形的内角，α1=α2+（180°-θ），所以有

（板书）

θ=180°+α2-α1．

生：

仿照上面的做法，等式两边取正切，然后利用两角差的正切公式，转化为单角的正切．

（学生叙述，教师板书）

tanθ=tan（180°+α2-α1）

=tan（α2-α1）（诱导公式）

师：

比较两种情况的结果发现，无论l1与l2的相对位置如何，l1到l2的角的正切的表达式是一致的．

（板书）

3．“l1到l2的角”公式设θ是l1到l2的角，则有

师：

同学们要注意，公式的分子是角的终边所在直线l2的斜率减去角的始边所在直线l1的斜率，绝不能颠倒．由tanθ的取值情况，能否判定θ的取值？

生：

当tanθ＞0时，θ是锐角，当tanθ＜0时，θ是钝角．

师：

这个公式该怎么证呢？

生：

利用两角差的正切公式．

生：

记公式的推导过程，只记图

（1）中的3个角的关系．

（这时不必强求一致）

师：

怎么求l2到l1的角θ′呢？

生：

可以把公式中的k1换成k2，k2换成k1，也就是

师：

同学们在利用这一公式求“到角”时，一定要注意哪条直线是l1，哪条直线是l2，还需要条件l1与l2不垂直，即1+k2k1≠0．

接下来的一个问题是：

tanθ和tanθ′有什么关系？

说明了什么？

生：

tanθ与tanθ′互为相反数．说明θ和θ′二个角中，一个是锐角，一个是钝角，正切值的绝对值相等，所以θ+θ′=180°．

师：

两条直线的夹角φ要么等于l1到l2的角θ，要么是l2到l1的角θ′，那么tanφ如何计算？

生：

两条直线的夹角的正切一定是正的，tanφ=|tanθ|=|tanθ′|．

（板书）

4．夹角公式

师：

显然φ是锐角了，我们现在有两种角，一个是到角，有方向的，可能是锐角，可能是钝角；另一个是夹角，无方向，只能是锐角，求角时要注意求的是夹角还是到角，弄清角的类型再调动相应的公式．

师：

我们来利用所学的知识解决一些问题．

（板书，或打出投影）

师：

这里已知两直线方程，要求两条直线的夹角，如何处理？

生：

由已知直线方程就可以知道两条直线的斜率，再利用夹角公式就能求出夹角了．

师：

求夹角不必考虑始边与终边，直接代入夹角公式计算结果．

解 直线l1的斜率为k1=-2，l2的斜率为k2=1，所以l1与l2的夹角θ有：

因为θ是锐角，所以θ=arctan3．

师：

如果再求l1到l2的角，这个角多大？

，l2到l1的角又多大？

生：

那需用到角公式，求出l1到l2的角的正切为-3，这个角是钝角，所以l1到l2的角是π-arctan3，l2到l1的角是arctan3．

师：

答案正确，从这道题的求解我们可以总结些什么规律？

明确地说，是该如何选择公式？

结果是正还是负？

生：

如果所求是两条直线的夹角，就用夹角公式，求出的值必是正值；如果求一条直线到另一条直线的角，就得用到角公式，它不带绝对值符号，求出的值可能是正的，也有可能是负的．

师：

归纳得很好，之所以求夹角时选用带有绝对值符号的公式，是因为不必区分两条直线中的哪一条是始边，哪一条是终边；而“到角”具有方向性，所以公式中的分子是终边的斜率减去始边的斜率，由正切值判断这个角是锐角还是钝角，当难以区分夹角还是到角时应画出图形帮助分析，判断．

（板书）

例2 等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．

师：

要求直线l3的方程，已知点（-2，0）在l3上，故只需求出l3的斜率k3，要求k3，运用方程思想，要建立关于k3的一元方程．那么就需从题目中挖掘等量关系，从而转化为一个含k3的等式，显然“等腰三角形”这一条件十分重要，它能推出两腰长相等，两底角相等．那么与k3有关的条件是底角相等，所以要用已知的直线方程表示等腰三角形的底角，通过等腰三角形两底角相等建立关于k3的等式．

（由学生列等式，教师巡视，从中发现不当的解法，加以展示．）

生：

因为l3、l1是三角形的二腰所在的直线，所以l3与l2的夹角等于l1与l2的夹角，所以有

（板书）

不可能构成三角形，这个解法有问题．

师：

这就是我们刚才说的，两个夹角相等，二直线位置并不确定，所以应用到角，为避免错误，结合直观图形加以判断．

（只需画出三线相对位置，如图1-28．）

生：

由图可以看出，l2到l1的角θ1等于l3至l2的角θ2，列式

（板书）

解得   k3=2．

因为 l3过点（-2，0），

所以 直线l3的方程为y=2（x+2），即2x-y+4=0．

师：

通过这两道例题，我们可以看到，恰当地调用公式是十分重要的，角度与两条直线的先后顺序没有关系时，应选用夹角公式，运算可变得简捷一些，但一定要加以判断：

角是否与直线顺序无关；若角度与直线的先后顺序有关，或是出现多条直线时，通常要用“到角”公式，且要画图以助分析．

三、小结

师：

本节课研究的是两条直线斜交所成的角、有关公式及应用，从公式推导过程，同学们要体会其中的数学思想：

如转化思想，方程思想，分类讨论思想，数形结合思想，体会研究解析几何问题的基本方法，此外要掌握公式并能灵活运用．

四、作业

（1）复习课本中“两条直线所成的角”一节．

（2）课本习题（略）．

设计说明

直线是最基本、最简单的平面图形，学生在初中就已研究过许多有关直线的理论，如两条直线平行、相交的位置关系，成角与距离等数量关系，但在解析几何中，解析法这种方法对学生来说是陌生的，所以课本要通过直线这一学生熟悉的图形、学生熟知的性质来使学生理解并掌握解析几何的基本思想和方法．

对于两直线成角，学生并不难理解与接受，因为他们已经有了研究两条直线平行和垂直位置关系的经验．其实平行和垂直都是两直线成角的问题，都是通过两条直线的斜率（如果存在）来研究的，因而利用斜率讨论两条直线斜交的成角就十分自然了，在研究过程中，都离不开倾斜角这个中间环节，学生不难想到研究新问题的手段与方法，所以在教学中应多启发学生，让学生参与到问题的研究中来，通过类比、归纳、推证得出结论．

在教学中要注意解析几何思想方法的渗透，时刻提醒学生，我们是用代数方法研究几何图形，同时注意思考上要严密，表述上要规范，学好这一章的知识能为进一步研究圆锥曲线作好知识上方法上的准备，也为今后灵活运用解析几何的基本思想方法打下坚实的基础．