北师版小学五年级数学上重要知识点讲解期末复习+同步训练完美版.docx

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北师版小学五年级数学上重要知识点讲解期末复习+同步训练完美版

第一单元倍数与因数

数的世界

1、自然数和整数

（1）自然数：

0、1、2、3……（包括0和正整数）

（2）整数：

-3、-2、-1、0、1、2、3……（包括负整数、0和正整数）

2、倍数和因数

（1）范围：

我们只在自然数（零除外）的范围内研究倍数和因数。

（即正整数范围）

倍数与因数是相互依存的关系，要说清楚“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。

（2）4×5＝2020是4和5的倍数

↓↓↓4和5是20的因数

乘数乘数积

（3）一个数的倍数的个数是无限的。

练习：

①说说下列式子中哪些数是因数，哪些数是倍数。

25×3＝7514×6＝8420×5＝100

②写出100以内所有6的倍数。

探索活动：

2、3、5的倍数的特征

1、奇数和偶数

（1）2的倍数叫偶数，0也是偶数。

（2）不是2的倍数叫奇数。

（3）自然数包括奇数和偶数。

2、2的倍数的特征：

个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。

3、3的倍数的特征：

一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

4、5的倍数的特征：

个位上是0或5的数是5的倍数。

5、既是2的倍数又是5的倍数的特征：

个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。

6、既是2的倍数又是3的倍数的特征：

个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2的倍数，又是3的倍数。

7、既是3的倍数又是5的倍数的特征：

个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。

8、同时是2，3和5的倍数的特征：

个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2和5的倍数，又是3的倍数。

练习：

①在下列数中圈出5的倍数

2845538075348995

②按要求填数

28354055108495785390873665

2的倍数有：

（）

3的倍数有：

（）

5的倍数有：

（）

既是2的倍数又是3的倍数的是：

（）

既是2的倍数又是5的倍数的是：

（）

找因数

1、在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。

方法：

运用乘法算式，思考：

哪两个数相乘等于这个自然数。

12＝1×12＝2×6＝3×4所以12的因数是1、12、2、6、3、4。

可知：

找一个数的因数也可以用画长方形的方法来找。

2、一个数的因数的个数是有限的。

其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

练习：

①分别找出9和15的全部因数。

②24＝1×（）＝2×（）＝（）×（）＝（）×（）

24的因数有：

（）

找质数

1、质数与合数：

（1）质数：

一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。

（2）合数：

一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。

2、1既不是质数也不是合数。

3、判断一个数是质数还是合数的方法：

一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如果还无法判断，则可以用7，11等比较小的质数去试除，看有没有因数7，11等。

只要找到一个1和它本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。

如果除了1和它本身找不到其他因数，这个数就是质数。

数的奇偶性

1、运用“列表”“画示意图”等方法发现规律：

小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。

通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸，偶数次在南岸”的规律。

2、通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律：

偶数＋偶数＝偶数奇数＋奇数＝偶数偶数＋奇数＝奇数

练习：

分数和分数的加减法

分数的再认识

1、分数对应的“整体”不同，分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样，也就是分数具有相对性。

分饼（真分数与假分数）

1、真分数、假分数和带分数：

像

、

、

、

，…这样的分数叫作真分数。

特点：

分子小于分母。

像

、

、

、

，…这样的分数叫作假分数。

特点：

分子大于或等于分母。

像2

，1

这样的分数叫作带分数。

特点：

由整数和真分数两部分组成的。

2、真分数都小于1，假分数大于或等于1。

3、带分数的读法：

2

读作：

二又四分之一。

4、分子是分母倍数的假分数可以化成整数。

分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。

分数与除法

1、分数与除法的关系：

被除数÷除数＝

（除数不为0）。

分子就是被除数，分母就是除数，分数线就是除号。

2、分数的分母不能是0。

因为除数不能为0。

3、分数可以表示两数相除的商。

4、假分数化成带分数：

（1）原理：

分数与除法的关系

（2）方法：

用分子除以分母，把所得的商写在带分数的整数位置上，余数写在分数部分的分子上，仍用原来的分母作分母。

5、带分数化成假分数：

（1）方法一：

把带分数分成整数与真分数的和的形式，把整数化成用真分数的分母作分母的假分数，再加上原来的真分数，就可以把带分数转化成假分数。

（2）方法二：

将整数与分母相乘的积加上分子作分子，分母不变。

练一练：

分数基本性质

1、分数的基本性质：

分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

2、联系分数与除法的关系以及“商不变”的规律，来理解分数的基本性质：

分子相当于被除数，分母相当于除数，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

因此分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小也是不变的。

3、运用分数的基本性质，把一个分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数。

找最大公因数

1、公因数和最大公因数的定义：

两数公有的因数是它们的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数。

2、找两个数的公因数和最大公因数的方法：

运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数，再找出两个数的因数中相同的因数，这些数就是两个数的公因数；再看看公因数中最大的是几，这个数就是两个数的最大公因数。

3、会找分子和分母的最大公因数。

4、其他找最大公因数的方法。

（1）找两个数的公因数和最大公因数，可以先找出两个数中较小的数的因数，再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数，那么这些数就是这两个数的公因数。

其中最大的就是这两个数的最大公因数。

例如：

找15和50的公因数和最大公因数：

可以先找出15的因数：

1，3，5，15。

再判断4个数中，哪几个也是50的因数，只有1和5，1和5就是15和50的公因数。

5就是它们的最大公因数。

（2）如果两个数是不同的质数，那么这两个数的公因数只有1。

（3）如果两个数是连续的自然数，那么这两个数的公因数只有1。

（4）如果两个数具有倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。

（5）4与所有奇数的最大公因数是1；4与4的倍数的最大公因数是4。

（6）短除法求公因数。

约分

1、约分：

把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫做约分。

2、最简分数：

像

这样分子、分母公因数只有1，不能再约分了，这样的分数是最简分数。

3、约分的方法：

一种是用两个数的公因数一个一个去除，另一种是直接用两个数的最大公因数去除。

4、比较分数大小时，分母相同的、分子相同的可以直接比较，有些时候分子分母都不相同可以采用约分后进行比较的方法。

找最小公倍数

1、公倍数和最小公倍数：

两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做最小公倍数。

2、找两个数的公倍数和最小公倍数的方法：

先找出两个数各自的倍数（限制一定的范围内），再找出公有的倍数，最为两个数的公倍数，看看这些公倍数中最小的是几，这个数就是两个数的最小公倍数。

3、两个数公倍数的个数是无限的，因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。

4、其他找公倍数和最小公倍数的方法：

（1）找两个数的公倍数和最小公倍数，可以先找出两个数中较大的数的倍数（限制一定的范围内），再看看这些倍数中有哪些也是较小的数的倍数，那么这些数就是这两个数的公倍数。

其中最小的就是这两个数的最小公倍数。

例如：

找6和9的公倍数和最小公倍数。

（50以内）可以先找出9的倍数（50以内）有：

9，18，27，36，45，再从这些数中找出6的倍数18，36，18和36就是6和9的公倍数，18是最小公倍数。

（2）如果两个数是不同的质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

（3）如果两个数是连续的自然数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

（4）如果两个数具有倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。

（5）短除法。

分数的大小

1、通分：

（1）定义：

把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分。

（2）通分的两个要点：

①通分结果和原来分数相等。

②分母相同的数字。

2、分数大小比较。

（1）同分母分数相比较，分子越大分数越大。

同分子分数相比较，分母越小分数越大。

（3）分子分母都不相同的分数相比较的方法：

①把两个分数的分母化成相同的分数，比较分子大小。

原理：

通分。

②把两个分数化成分子相同的分数，比较分母大小。

原理：

分数的性质。

3、通分一般以最小公倍数作分母。

分数的加减法

1、分数加减法计算步骤：

（1）情况一：

分母相同，则分母不变，分子相加减。

（2）情况二：

分母不同，则先通分，然后将分子相加减。

2、计算结果能约分的要约成最简分数。

3、认识分数加减混合运算顺序与整数和小数的加减混合运算顺序相同。

计算加减混合运算时，方法要灵活处理，可以先全部通分，再进行计算；也可计算三个数中的两个数后，再进行通分的；也有先部分进行通分，算出部分的结果后，再第二次通分的。

注意：

具体的题型具体分析，尽量使计算过程更加简便。

4、整数加法交换律和结合律在分数加法中同样适用。

看课外书时间（分数与小数）

1、将分数化小数的方法有两种：

一种是利用分数与除法的关系，即用分子除以分母；一种是先把分数化为十进分数，然后再化为小数。

注意：

第一种是一般的方法，适用于所有的分数化为小数，而后一种是特殊的方法，需要根据分母的数值确定能否运用。

2、将有限小数化为分数的方法：

小数化分数，原来有几位小数，就在1后面写几个0作分母，把原来小数去掉小数点作分子；化成分数后，能约分的要约分。

第二、四单元图形的面积

比较图形的面积

1、借助方格纸，能直接判断图形面积的大小。

2、平面图形面积大小的比较有多种方法：

根据图形面积的大小，可以直接进行比较；可以借助参照物进行比较；可以运用重叠的方法进行比较；借助方格，利用数方格的的方法进行比较；直接计算面积后再进行比较等。

3、确定一个图形面积的大小，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格子的多少来确定。

地毯上的图形面积

1、根据地毯上所给图案探求不规则图案面积的计算方法。

（1）直接通过数方格的方法，得出答案的面积。

（2）将图案进行“化整为零”式的计算，即根据图案的特点，将整体的图案分割为若干个相同面积的小图案，通过求小图案的面积，得出整个图案的面积。

（3）采用“大面积减小面积”的方法，即通过计算相关图形的面积，得到所求的面积。

几种常见平面图形的面积

1、平行四边形、三角形和梯形的底和高：

（1）从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。

（2）三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

（3）从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。

（4）高和底的关系是对应的。

2、平行四边形的面积

（1）平行四边形的面积＝拼成的长方形的面积

长方形的长就是平行四边形的底；长方形的宽就是平行四边形的高。

（2）长方形的面积＝长×宽＝平行四边形的面积＝底×高

如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么，平行四边形的面积公式可以写成：

S＝ah

（3）当平行四边形的底和高相同时，其面积也是相同的。

3、三角形的面积

（1）三角形面积＝两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2

三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。

（2）平行四边形的面积÷2＝底×高÷2＝三角形面积

如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的面积公式可以写成：

S＝ah÷2或S＝

ah

（3）决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的长度，只要底和高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。

4、梯形的面积

（1）梯形面积＝两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2

梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。

（2）梯形面积＝平行四边形面积÷2＝底×高÷2＝（上底＋下底）×高÷2

如果用S表示梯形的面积，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，那么，梯形的面积公式可以写成：

S＝

（a＋b）h

（3）决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状，而是梯形的上、下底之和与高的长度，只要上下底的和与高相同，不同形状的梯形的面积也是相同的。

组合图形面积

1、组合图形：

由几个简单的图形拼出来的图形，我们把它们叫做组合图形。

2、计算组合图形的面积的方法是多种多样的。

一般运用的方法是“分割法”和“添补法”。

（1）分割法，即将这个图形分割成几个基本的图形。

分割图形越简洁，其解题的方法也将越简单，同时又要考虑分割的图形与所给条件的关系。

（2）添补法，即通过补上一个简单的图形，使整个图形变成一个大的规则图形。