新复极差.docx
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新复极差
（三）、多重比较
F测验是一种整体性质的测验。
F值显著，否定了
接受了
：
，只是表明了试验中各个处理的平均数间存在显著差异。
但是，是否各个平均数彼此间都有显著差异？
还是仅有一部分平均数间有显著差异，而另一部分平均数间没有显著差异？
F测验未曾提供任何信息。
为了明确各个平均数彼此间的差异显著性，还需要进一步对两两平均数作相互比较，即多重比较（multiplecomparisons）。
当然，如果资料分析至F测验，F值未达显著水准，则说明各个处理平均数间差异不显著，分析至此结束。
多重比较的方法很多，但基本上都是从以下两种不同考虑出发的。
（1）、以“比较”的错误率
作为显著水平的标准（*错误率是多重比较中的概念，与第六章平均数比较时的α错误概念不完全相同，但为避免头绪过多，我们仍用α表示错误率）。
比如，以5%的比较错误率作为显著的标准，是指在此标准下，每100次比较将会有5次比较是否定了正确的无效假设
。
（2）、以“试验”的错误率作为显著水平的标准。
比如以5%的试验错误率作为显著的标准，是指在此标准下，每100次试验将会有5次试验至少各有一个比较是否定了正确的无效假设
。
以上两种标准的差别是相当大的。
举例说，如果在同一个正态总体中每次抽出K=7个样本，共抽出100次，则每组样本都有（7×6）/2=21次比较。
再假定每组样本都有一个比较否定了正确的无效假设
，于是，比较错误率为100/2100=1/21=4.76%。
而试验错误率却是100/100=100%。
如果规定试验错误率为5%，即在100次试验中仅有五次试验各出现了至少一次比较是否定了正确的
，则比较错误率一定大大降低，其最低值是5/2100=0.24%。
1.介绍几种常用的多重比较方法。
（1）、Fisher氏保护最小显著差数测验
法
这一方法是R.A.Fisher（1966）提出的，简称PISD法（protectedleastsignificantdifference）。
它是以试验错误率保护下的比较错误率为准的。
其程序为：
在处理间的F测验为显著的前提下，计算出显著水平为α的最小显著差数
；任何两个处理平均数的差数（
）,如果其绝对值
，即为差异显著；若
，为差异极显著；若
，差异不显著，接受
。
我们知道，在两个样本平均数
比较时，t=
的|t|值若超过
即为在α水平上显著。
如写出其最小显著差数即是：
=
×
。
因此将之推广于多个样本平均数的任两个平均数
和
之间的比较，即有：
=
×
（9.11）
而由前述内容可知，当两样本的n相等时,
=
，在方差分析中，因为自由度增大,此式中的
有了更精确的数值
。
=
而
，同一试验的误差是一致的，每处理的观察值数目相等时，公式（9.11）中的：
=
（9.12）
并按
查出
值。
例9-2：
试以PLSD法对例9-1资料中的四个处理平均数间的差异显著性作出测验。
由表9-4已知F=21.9763为极显著,
=0.0337
=16
查表
=16时，
=2.120
=2.921
则：
=2.120×0.1161=0.2461（kg）
=2.291×0.1161=0.3391（kg）
这就是说,表9-3中的任意两个平均数,其差值的绝对值如果≥0.2461kg,为在α=0.05水平上显著,如果≥0.3391kg,则为在α=0.01水平上显著（也称极显著）。
在将各个差数与
比较以确定是否显著时，一般可将各平均数由大至小次序排列，然后以最大的平均数为准，减去最小的，次小的……次大的；以次大的平均数为准，减去最小的，次小的……。
将所有比较的差值都计算出来。
凡达显著的，在其差数的右上角标“*”号；凡达极显著的，在其差数的右上角标“**”号；不显著的不标“*”号。
表9-3资料平均数的多重比较结果见表9-5。
表9-5四个甘蓝自交系叶球重量的差异显著性（PLSD）法
自交系
（kg）
-1.122
-1.452
-1.664 差异显著性
α=0.05 α=0.01
1 2.040 0.918
0.588
0.376
a A
3 1.664 0.542
0.212 b B
4 1.452 0.330* b BC
2 1.122 c C
多重比较结果表明，在试验的四个自交系中，除3号和4号自交系的叶球重量没有差异外，其余自交系间均存在显著或极显著差异，且1号自交系的叶球重量最大，2号自交系的最小。
PLSD法比较简便，但PLSD法的基本程序仍是t测验，故在发现显著的差数时，犯α错误的概率仍将随着K的增大而增大。
但是，由于事先规定它必须在F测验为显著的基础上进行，而F测验的显著水平则是试验错误率，因而对减少PLSD法的α错误是一种有力的保护。
（2）.邓肯氏（Duncan）新复极差测验法
这是D.B.Duncan（1955）提出的一种多重比较方法。
这种测验法以比较错误率为准，又叫最短显著极差法，简记作SSR（shortestsignificantranges）或叫最小显著极差法，记作LSR（leastsignificantranges）。
其特点是：
依平均数秩次距的不同而采用一系列不同的显著值。
这些显著值叫做多重极差（multiplerange）,记作MR或R。
平均数的秩次距是指某两平均数间所包含的平均数的个数（含此两个平均数）。
比如说，有10个平均数要相互比较，则10个平均数依大小次序排列后的两极端平均数的差数（极差）的显著性，由（
）是否大于K=10时的
决定；而其中9个平均数的极差（
和
）的显著性，则由这两个极差是否大于K=9时的
决定；……这样逐次下降，直至任何两个相邻平均数差数（如
、
、
……等）的显著性，由这些差数是否大于K=2时的
决定为止。
因此如有个K平均数要相互比较，需求得K-1个
，以作为各秩次距平均数的极差是否显著的标准。
在K=2时，
=
；当K≥3时，
>
；K愈大，
超过
愈多。
的定义为：
=
×
（9.13）
（9.13）的
是保护水平为P=（
、显著水平为α时，以平均数的标准误为单位的标准化最短极差。
这里的保护水平是指不犯α错误的概率。
当以α为显著水平测验两个平均数的差数时，不犯α错误的概率为P=（1-α），即保护水平为1-α；故在K个平均数时，K-1个独立极差的联合保护水平为：
P=（1-α）
教材后附表7列出了对应于不同的
和K，保护水平为P=0.95
、显著水平为α=0.05,保护水平为P=0.99
、显著水平为α=0.01时的
值，以供查用。
测验时，首先计算出平均数标准误
:
=
（9.14）
再查
下的K=2,3……时SSR值（附表7），进而计算出各个K下的
值。
如果平均数差数≥相应秩次距下的
，则达到α水平上的显著，若<
，则为差异不显著或不极显著。
例9-3：
试以SSR法测验例9-1资料中的四个处理平均数间的差异显著性。
已知：
=0.0337
=16n=5
∴
=
=0.0821
查
，并计算出
值，见表8-6
表9-6表9-3资料各K下的
值
K 2 3 4
3.00 3.15 3.23
4.13 4.34 4.45
0.2463 0.2586 0.2652
0.3391 0.3563 0.3653
用各
测验各平均数极差显著性的程序同PLSD法，仅是不同秩次距的比较用不同的
。
表9-7四个甘蓝自交系叶球重量的差异显著性（SSR法）
自交系
（kg）
-1.122
-1.452
-1.664 差异显著性
α=0.05 α=0.01
1 2.040 0.918
0.588
0.376
a A
3 1.664 0.542
0.212 b B
4 1.452 0.330
b BC
2 1.122 c C
就同一资料而言，SSR测验所能发现的显著比较有时少于PLSD测验所发现的，最多是一样的。
这里需要注意一个问题：
SSR测验是一种极差测验，因此如果一个平均数大集合的极差不显著，则其中所包含的各个较小集合的极差应一概作不显著处理（尽管其中可能有些极差大于相应的
）。
根据Duncan原意，SSR测验并不要求F测验显著后才可进行。
但是，如果F测验不显著，SSR测验却仍有可能发现某些极差是显著的。
所以，SSR测验还是以在F测验为显著的基础上进行为妥，这样的话，SSR测验就不是纯粹以比较错误率为准的测验，而是有了以试验错误率保护的性质。
SSR法对不同秩次距的平均数极差采用不同的显著尺度，是考虑到在同一总体抽样时，平均数的极差将随K的增大而增大。
因而改进了PLSD测验中的不够合理的部分。
但是测验的工作量较PLSD法大，且不同秩次距平均数极差的置信区间的长度也不相等。
如本例：
1号自交系与2号自交系叶球重量差数的95%的置信区间是（2.040-1.122）
0.2652,而1号自交系与3号自交系叶球重量差数的95%的置信区间是（2.040-1.664）
0.2463等。
（3）、Tukey氏固定极差测验法
这是J.W.Tukey（1952）提出的一种多重比较方法。
这种测验是以试验错误率为标准的，又叫固定极差的q测验法。
这个方法的特点是：
根据k和
的大小采用一个叫做固定极差（fixedrange简记作FR）的显著值。
在K个平均数的所有可能比较中，不论是相邻的还是极端的比较，都以
作为比较所得差数是否显著的标准尺度（平均数差数≥
为显著，<
为不显著）。
所以FR的形式和PLSD一样，只是其尺度比PLSD要大，但在K=2时，
=
。
的定义为：
=
×
（9.15）
上式中的
为平均数标准误，即（9.15），q的定义为：
q=
（9.16）
上式中的
和
分别为K个
中的最大和最小的
。
q的值随K和
而异，可从教材所附表7查得。
固定极差的q测验法不需依赖F测验，任一差数的1-α置信区间也很易计算，即：
[
=（
）-
=（
）-
] （9.17）
但是，这种测验的显著尺度较大，它对于两极端平均数来说，犯α错误（即否定正确的
）的概率是降低了，而对相邻的平均数来说，犯β错误（即接受不正确的
）的概率却增加了,因此目前常应用q值作多重极差测验，即
以代替（9.13）式中的
：
=
×
（9.18）
例9-4：
试以q测验法对表9-3资料各处理平均数的差异显著性作出测验。
由例9-3已知
=0.0821
=16查附表8得:
表9-8表9-3资料各K下的
值
K 2 3 4
3.00 3.65 4.05
4.13 4.78 5.19
0.2463 0.2997 0.3325
0.3391 0.3924 0.4261
表9-9四个自交系叶球重量的差异显著性（q测验法）
自交系
（kg）
-1.122
-1.452
-1.664 差异显著性
α=0.05 α=0.01
1 2.040 0.918
0.588
0.376
a A
3 1.664 0.542
0.212 b B
4 1.452 0.330* b BC
2 1.122 c C
从表9-6与表9-9的
看出，SSR法与q测验法的显著尺度都随着秩次距k的增加而增加，且在相同的秩次距下，q测验法的显著尺度比SSR法的大。
2.多重比较方法的选择
一个试验资料，采用哪种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的无效假设
和接受一个不正确的无效假设
的相对重要性而定。
如果否定正确的
（即犯α错误）是事关重大或后果严重的，应用q测验；这就是宁愿使犯β错误的风险较大而不使犯α错误有较大风险。
如果接受不正确的
（即β错误）是事关重大或后果严重的，则易采用PLSD测验或SSR测验，这是宁愿冒较大的α错误的风险，而不愿冒较大的β错误的风险。
在一般的农业试验研究中，较为广泛应用的是PLSD测验法和SSR测验法。
3.多重比较结果的表示方法
（1）列三角形表示法
将全部平均数从大到小顺序排列，然后算出各平均数间的差数（这些差数呈三角形形式）。
凡达α=0.05水平显著的差数在其右上角标一个“*”号；凡达α=0.01水平显著的差数在其右上角标两个“**”号；未达α=0.05水平显著的差数则不予标记。
见表9-5结果表示。
（ 2）标记字母法
先将全部平均数从大到小顺序排列，然后在最大的平均数上标上字母a，并将该平均数依次和其以下各平均数相比，凡差异不显著的都标字母a，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母b。
再以该标有b的平均数为标准，与上方各个比它大的平均数比，凡不显著的也一律标以字母b；再以标有b的最大平均数为标准，与以下各未标记的平均数比，凡不显著的继续标以字母b，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母c……如此重复下去，直至最小的一个平均数有了标记字母为止。
这样各平均数间，凡有一个标记相同字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。
在实际应用时，一般以大写字母A.B.C……表示α=0.01显著水平，以小写字母a.b.c……表示α=0.05显著水平。
见表9-5结果。
一般情况下，尤其在处理平均数较多时，以标记字母法较为简洁明了，所以此法得以广泛应用。
总结上述，方差分析的基本步骤是：
（1）分析变异原因，计算各变因的平方和、自由度及其均方。
（2）列方差分析表并做出F测验，以明了各变因的重要程度。
（3）对各个平均数进行多重比较，最后做出结论。
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