整理第二章一元一次不等式与一元一次不等式组.docx

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整理第二章一元一次不等式与一元一次不等式组

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组

§2.1．不等关系

教学目标：

知识与技能：

理解不等式的意义.能根据条件列出不等式.

过程与方法：

通过认识实际问题中的不等式关系，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力。

情感态度价值观：

通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并激发学生学习数学的信心和兴趣。

教学重点：

通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。

教学难点：

怎样建立量与量之间的不等关系。

教学方法：

自学合作探究

教学工具：

多媒体

教学过程：

一、自学导读提纲

1.不等式的概念：

一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做______________

2.“不大于”用符号来表示;“不小于”用符号来表示;3.长度是L的绳子围成一个面积不大于25cm2，绳长L应满足的关系式为_________________

4.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为_________________

5.

（1）a与6的和小于5；

（2）x与2的差小于－1；

（3）x的4倍大于7；（4）y的一半小于3;

二、新知探究

1.不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？

那么，如何用式子表示不等关系呢？

请看例题：

如图，用两根长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆.

（1）如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？

（2）如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？

（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？

l=12呢？

（4）你能得到什么猜想？

改变l的取值，再试一试.

本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.

圆的面积是πR2，其中R是圆的半径.

两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.

2.下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答.

（1）因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为

，得面积为（

）2，要使正方形的面积不大于25cm2，就是

≤25.

（2）因为圆的周长为l，所以圆的半径为R=

.要使圆的面积不小于100cm2，

就是π·（

）2≥100，即

≥100

（3）当l=8时，正方形的面积为

=4（cm2）.

圆的面积为

≈5.1（cm2）.

∵4＜5.1∴此时圆的面积大.

当l=12时，正方形的面积为

=9（cm2）.

圆的面积为

≈11.5（cm2）

此时还是圆的面积大.

（4）我们可以猜想，用长度均为lcm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即

＞

.

因为分子都是l2相等、分母4π＜16，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有

＞

.

3.做一做

通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约为3cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？

（只列关系式）.请大家互相讨论后列出关系式.

4.议一议

观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？

由

≤25

>100

＞

3x+5＞240得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知：

知识点一：

不等式的概念

一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）.

知识点二：

列不等式

例题.用不等式表示

（1）a是正数；

（2）a是负数；

（3）a与6的和小于5；

（4）x与2的差小于－1；

解：

（1）a＞0;

（2）a＜0;

（3）a+6＜5;（4）x－2＜－1;

三、巩固新知

当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？

当x=1.5时，成立吗？

当x=－1呢？

解：

当x=2时，x+3=2+3=5＞4成立，

当x=1.5时，x+3=1.5+3=4.5＞4成立；

当x=－1时，x+3=－1+3=2＞4,不成立.

四、拓展与提升

a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：

用“＜”或“＞”号填空：

（1）a______b;

（2）|a|______|b|;

（3）a+b_________0;（4）a－b_______0;

（5）a+b_______a－b;（6）ab______a.

解：

由图可知：

a＞0,b＜0,|a|＜|b|.

（1）a＞b;

（2）|a|＜|b|;

（3）a+b＜0;（4）a－b＞0;

（5）a+b＜a－b;（6）ab＜a.

五、课堂练习P38页随堂练习1、2

六、课时小结：

（1）本节课通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.

（2）根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解.

七、课后作业课本P38习题2.1

学练优P18页基础训练、能力拓展P19页自主预习

八、板书计划：

十、课后反思

§2.2不等式的基本性质

教学目标：

知识与技能：

探索并掌握不等式的基本性质；理解不等式与等式性质的联系与区别.

过程与方法：

通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.

情感态度与价值观：

通过对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流.

教学重点：

探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握应用.

教学难点：

能根据不等式的基本性质进行化简.

教学方法：

自学合作探究

教学工具：

多媒体

教学过程

一、复习回顾

我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？

哪些是不等式？

第一组：

1+2=3;a+b=b+a;S=ab;4+x=7.

第二组：

-7<-5;3+4>1+4;　2x≤6,a+2≥0;3≠4.

1.什么叫做等式？

什么叫做不等式？

2.前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？

3.（回答）用小于号“<”或大于号“>”填空。

（1）7___4;　

（2）-2____6;　　（3）-3_____-2；（4）-4_____-6

2、导读提纲自学

预习教材P40-P41的内容，通过学习弄清以下问题：

1.不等式的基本性质1：

不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向__________

不等式的基本性质2：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向＿＿＿＿

不等式的基本性质3：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向＿＿＿＿

2.不等式的基本性质与等式的基本性质有什么异同？

3已知a＜b，用“＞”或“＜”填空：

①a+7b+7;②a÷7b÷7;③a-3b-3;④2aa+b;⑤-a-3-b-3

4.用“＞”或“＜”填空：

①如果a-c＞b-c,那么ab②如果ac＞bc,那么ab

③如果

＜

c＜0,那么ab④如果

＞

，c0,那么a＜b

2、新知探究：

知识点一：

不等式的基本性质

性质1：

不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向。

性质2：

不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向　　。

性质3：

不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向　　。

注意：

“两边”“都”“同一个”的含义

加减不变，乘除各半，正数听话，负数造反

不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，

1.如果a＜b。

那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c

（或a-c＞b-c）。

2.如果a0,那么ac

＜

）

如果a>b,且c>0,那么ac>bc（或

＞

3.如果abc（或

＞

）；

如果a>b,且c<0,那么ac

＜

）

四、巩固新知

例1按照下列条件，写出仍能成立的不等式：

（1）5＜9，两边都加上-3；

（2）9＞4，两边都减去10；

（3）-5＜3，两边都乘以4；

（4）14＞-8，两边都除以-2。

解

（1）根据不等式基本性质1，在不等式59的两边都加上-3，不等号的方向不变，所以

　　　5+（-3）＜9+（-3），

　　　　2＜6

（2）根据不等式基本性质1，得

9-10＞4-10

　　　-1＞-6

（3）根据不等式基本性质2，得

　　　-5×4＜3×4

　　　-20＜12

（4）根据不等式基本性质3，得

　　　14÷（-2）＜（-8）÷（-2）

知识点二：

将不等式化成“

”或“

”的形式：

例2、将下列不等式化成“

”或“

”的形式：

（1）

（2）

1

（3）

（4）

5、拓展提升

比较下列各题两式的大小：

六、课堂练习：

课本41页随堂练习1、2

七、课堂小结：

1.不等式的基本性质1、2、3

2.等式的基本性质与不等式基本性质的区别和联系

3.基本性质2、3最关键是看乘以或除以一个什么样的数

（加减不变、乘除各半正数听话负数造反）

7、课后作业:

课本P42习题2.21、2、3、4

学练优P19页基础训练、能力拓展P20页自主预习

八、板书计划：

十、课后反思

§2.3不等式的解集

教学目标：

知识与技能：

能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义；能够在数轴上表示不等式的解集

过程与方法：

培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力；经历求不等式的解集的过程，并试着把不等式的解集在数轴上表示出来，发展学生的创新意识。

情感态度与价值观：

从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造。

教学重点：

理解不等式中的相关概念，探索不等式解集并能在数轴上表示出来

教学难点：

探索不等式的解集并能在数轴上表示出来

教学方法：

自学合作探究

教学工具：

多媒体

教学过程

1、自学导读提纲：

预习作业教材P10-11的内容在学习的过程中请弄清以下几个问题:

1.当x取-4，3.5，-2.5，3，0，2.9.数值时，不等式x+3＜6是否成立?

2.什么叫不等式的解?

3.什么叫不等式的解集？

4.什么叫解不等式？

5.如何将不等式的解集在数轴上表示出来？

6.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：

（1）x＞4;

（2）x≤－1;（3）x≥－2;（4）x≤6.

2、新知探究

燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10米以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少㎝？

分析：

人转移到安全区域需要的时间最少为

（S），导火线燃烧的时间为

秒，要使人转移到安全地带，必须有：

＞

解：

设导火线的长度为x（㎝），则：

＞

∴x＞5

想一想：

（1）x=4，5,，6，7.2能使不等式成立吗？

（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？

知识点一：

不等式的解和解集

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（不等式一般有无限多个解）.

求不等式解集的过程叫做解不等式

议一议：

请同学们用自己的方式将不等式X＞5的解集和不等式X-5≤-1的解集分别表示在数轴上，并与同伴进行交流

知识点二：

用数轴表示不等式的解集

注意：

将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：

1.指示线的方向,“>”（大于或大于等于）向右,“<”（小于或小于等于）向左.

2.有“≥”“≤”用实心点,没有“＞”“＜”用空心圈.

三、巩固新知

例1在数轴上表示下列不等式的解集：

（1）X-2≥-4

（2）2X≤8-2X-2＞-10

解：

（1）X≥-2

（2）X≤4

（3）X＜4

四、拓展提升

1．给出四个命题：

①若a>b,c=d,则ac>bd;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,则ac2>bc2;④若ac2>bc2,则a>b。

正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.用不等式表示出来，并在数轴上表示:

（1）大于3而不超过6的数;

（2）小于5且不小于-4的数.

3.如果不等式（a-1）X>a-1的解集为X<1,你能确定a的范围吗?

不妨试试看.

4已知不等式3x-a≤0的正整数解是1,2,3,求a的取值范围。

五、课堂练习P44页随堂练习1,2

6、课堂小结

1.如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念?

2.找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点.

3.记号“≥”、“≤”各表示什么含义?

4.在数轴上表示不等式解集时应注意什么?

在数轴上表示不等式解集时，需特别注意解的范围的分界点，以便在数轴上正确使用空心圆圈“。

”和实心圆点“·”.

5、课后作业课本P44页习题2.31、2、3、4

学练优P20页基础训练、能力拓展P21页自主预习

6、课后反思：

§2.4.1一元一次不等式

（一）

教学目标：

知识与技能：

会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。

过程与方法：

设置情境让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法。

情感态度与价值观：

初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析、解决问题的能力。

教学重点：

掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。

教学难点：

将实际问题抽象成数学问题的思维过程

教学方法：

自学合作探究

教学工具：

多媒体

教学过程

1、自学导读提纲

1.观察下列不等式：

（1）

；

（2）

（3）x＜4（4）

＞240

这些不等式有哪些共同特点？

2.不等式的概念：

左右两边都是________，只含有__________，并且未知数的最高次数是_____的不等式，叫做一元一次不等式

3.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：

（1）____________

（2）____________

（3）____________（4）____________（5）____________

4.解下列不等式，并把解集表示在数轴上。

（1）5x＜200

（2）

＜3

2、新知探究

观察下列不等式：

（1）

；

（2）

（3）x＜4（4）

＞240

这些不等式有哪些共同特点？

知识点一：

一元一次不等式的概念

不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linearinequalitywithoneunknown）.

下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式.请大家讨论.

下列不等式是一元一次不等式吗？

（1）2x－2.5≥15;

（2）5+3x＞240;

（3）x＜－4;（4）

＞1.

（1）、

（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是.

知识点二：

一元一次不等式的解法.

在前面我们接触过的不等式中，如2x－2.5≥15,5+3x＞240都可以通过不等式的基本性质化成“x＞a”或“x＜a”的形式，大家来试一试.

例1解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.

分析：

要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得.

解：

两边都加上x，得3－x+x＜2x+6+x

合并同类项，得3＜3x+6

两边都加上－6,得3－6＜3x+6－6

合并同类项，得－3＜3x

两边都除以3，得－1＜x

即x＞－1.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

观察上面的步骤，大家可以看出，两边都加上x，就相当于把左边的－x改变符号后移到了右边，这种变形叫什么呢？

由此可知，移项法则在解不等式中同样适用，同理可知两边都加上－6，可以看作把6改变符号后从右边移到了左边.因此，可以把这两步合起来，通过移项求得.两边都除以3，就是把x的系数化成1.

现在请大家按刚才分析的过程写出步骤.

移项，得3－6＜2x+x

合并同类项，得－3＜3x

两边都除以3，得－1＜x

即x＞－1.

从刚才的步骤中，我们可以感觉到解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的过程有什么关系？

例2解不等式

≥

，并把它的解集在数轴上表示出来.

解：

去分母，得3（x－2）≥2（7－x）

去括号，得3x－6≥14－2x

移项，合并同类项，得5x≥20

两边都除以5，得x≥4.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

三、巩固新知

请大家判断以下解法是否正确.若不正确，请改正.

解不等式：

≥5

解：

去分母，得－2x+1≥－15

移项、合并同类项，得－2x≥－16

两边同时除以－2，得x≥8.

有两处错误.第一，在去分母时，两边同时乘以－3，根据不等式的基本性质3，不等号的方向要改变，第二，在最后一步，两边同时除以－2时，不等号的方向也应改变.

解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.请大家讨论后发表小组的意见.

联系：

两种解法的步骤相似.

区别：

（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变.

（2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解.

三、课堂练习：

P47页随堂练习1、2

补充练习：

解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：

（1）5x＞－10;

（2）－3x+12≤0;

（3）

＜

;（4）

－1＜

.

解：

（1）两边同时除以5，得x＞－2.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

（2）移项，得－3x≤－12,

两边都除以－3，得x≥4,

这个不等式的解集在数轴上表示为：

（3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）,

去括号，得3x－3＜8x－10,

移项、合并同类项，得5x＞7,

两边都除以5，得x＞

不等式的解集在数轴上表示为：

（4）去分母，得x+7－2＜3x+2,

移项、合并同类项，得2x＞3,

两边都除以2，得x＞

不等式的解集在数轴上表示如下：

4、课堂小结：

1.一元一次不等式的定义及解法.

2.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.

五、拓展提升

求下列不等式的正整数解：

（1）－4x＞－12;

（2）3x－9≤0.

解：

（1）解不等式－4x＞－12,得x＜3,

因为小于3的正整数有1，2两个，所以不等式－4x＞－12的正整数解是1，2.

（2）解不等式3x－9≤0,得x≤3.

因为不大于3的正整数有1，2，3三个，所以不等式3x－9≤0的正整数解是1，2，3.

能力提高：

1、y取何正整数时，代数式2（y-1）的值不大于10-4（y-3）的值。

2、m取何值时，关于x的方程

的解大于1。

3.是否存在整数m，使关于x的不等式

与

是同解不等式？

如果存在，求出整数m和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。

六、课堂作业：

课本P48页习题2.4

学练优P21页基础训练、能力拓展P22页自主预习

七、板书计划：

八、课后反思

§2.4.2一元一次不等式

（二）

教学目标：

知识与技能目标：

进一步熟练掌握解一元一次不等式，利用一元一次不等式解决简单的实际问题

过程与方法目标：

通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，通过对不等式的求解对实际问题的解决，训练学生的分析和建立数学模型的能力。

情感态度与价值观：

通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系，以激发学生学习数学的兴趣与信心。

教学重点：

一元一次不等式的应用

教学难点：

将实际问题抽象成数学问题的思维过程，能结合具体问题发现并提出数学问题.

教学方法：

自学合作探究

教学工具：

多媒体

教学过程

一、复习回顾

什么叫一元一次不等式？

以及如何解一些简单的一元一次不等式。

2、自学导读提纲

1.解一元一次不等式应用题的步骤：

（1）______________

（2）________________

（3）________________（4）________________（5）________________

2.小红读一本500页的科普书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，问从第6天起平均每天至少读________________页，才能按计划完成。

3.解不等式

≥3+

，并把它的解集在数轴上表示出来：

三、新知探究

知识点一一元一次不等式的实际应用

做一做

某种商品进价为200元，标价为300元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能少于于5%，你认为该商品最多可以按几折销售？

例1一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？

分析：

总的题量有25题.答对一题得4分，答错或不答扣1分，最后得分在85分或85分以上，所以关系式应为：

4×答对题数－1×答错题数≥85

解：

设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有（25－x）道题，根据题意，得

4x－1×（25－x）≥85

解这个不等式，得x≥22.

所以，小明至少答对了22道题，他可能答对了22，23，24，25道题.

解一元一次不等式应用题的一般步骤：

.

第一步：

审题，找不等关系；

第二步：

设未知数，用未知数表示有关代数式；

第三步：

列不等式；

第四步：

解不等式；

第五步：

根据实际情况写出答案.

四、巩固新知

例2：

小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？

解：

设她还可以买n支笔，根据题意得3n+2.2×2≤21

解这个不等式，得n≤

因为在这一问题中n只能取正整数，

所以，小颖还可以买1支，2支，3支，4支或5支笔.

五、课堂练习P49页随堂练习1、2

六、课堂小结

解一元一次不等式应用题的一般步骤.

1.解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母

等式性质2或3（注意：

①勿漏乘不含分母的项；②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号；③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变.）

（2）去括号

去括号法则和分配律（注意：

①勿漏乘括号内每一项；②括号前面是“－”号，括号内各项要变号）

（3）移项

移项法则（不等式性质1）（注意：

移项要变号.）

（4）合并同类项

合并同类项法则.

（5）系数化成1

不等式基本性质2或性质3.（注意：

两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变..）

2.解一元一次不等式应用题的步骤：

（1）审题，找不等关系；

（2）设未知数；

（3）列不等关系；（4）解不等式；

（5）根据实际情况，写出全部答案.

七、课堂作业：

课本P49页习题2.5

学练优P22页基础训练、能力拓展P23页自主预习

八、板书计划：

十、课后反思

§2.5.1一