完整word版八年级全等三角形证明经典50题含答案doc.docx
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完整word版八年级全等三角形证明经典50题含答案doc
1.已知：
AB=4,AC=2,D是BC中点，AD是整数，求ADA
解：
延长AD至IJE,使AD=DE
・・・D是BC中点
BD=DC
在厶ACD和厶BDE中
AD=DE
ZBDE=Z
ADCBD=DC
AAACDABDE
•*.AC=BE=2
・・•在△ABE中
AB-BE・・・AB=4
即4・2<2AD<4+2
1・・・AD=2
2.已知：
D是AB中点，ZACB=900
求证：
CD[AB
2
A
AP,BP
延长CD与P,使D为CP中点。
连接
VDP=DC,DA=DB
AACBP为平行四边形
又ZACB=90
・・・平行四边形ACBP为矩形
AAB=CP=1/2AB
3.已知：
BC=DE,ZB=ZE,ZC=ZD,F是CD中点，求证：
Z1=Z2
证明：
连接BF和EF
・・・BC=ED,CF=DF,ZBCF=ZEDF
・・・三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）
・・・BF=EF,ZCBF=ZDEF
连接BE
在三角形BEF中,BF=EF
/.ZEBF=ZBEFo
・・・ZABC=ZAEDo
・・・ZABE=ZAEBo
/.AB=AEo
在三角形ABF和三角形AEF屮
AB=AE,BF=EF,
ZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=ZAEF
・・・三角形ABF和三角形AEF全等。
・・・ZBAF=ZEAF（Z1=Z2）o
4.己知：
Z1=Z2,CD=DE,EF//AB,求证：
EF=AC
过C作CG〃EF交AD的延长线于点G
CG//EF,可得，ZEFD=CGD
DE=DC
ZFDE=ZGDC（对顶
角）AAEFD^ACGD
EF=CG
ZCGD=ZEFD
又，EF//AB
・・・，ZEFD=Z1
Z1=Z2
・・・ZCGD=Z2
・・・△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
・・・EF=AC
5.已知：
AD平分ZBAC,AC=AB+BD,求证：
ZB=2ZC
证明：
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
VAD平分ZBAC
AZEAD=ZCAD
・・・AE=AC,AD=AD
AAAED^AACD（SAS）
AZE=ZC
VAC=AB+BD
・・・AE=AB+BD
・・・AE=AB+BE
ABD=BE
・・・ZBDE=ZE
VZABC=ZE+ZBDE
AZABC=2ZE
AZABC=2ZC
6.己知：
AC平分ZBAD,CE丄AB,ZB+ZD=180°,求证：
AE=AD+BE
・・・CE丄AB・・・ZCEB=ZCEF=90°・・・EB=EF,CE=CE,AACEB^ACEF・・・ZB=ZCFE
VZB+ZD=180°,ZCFE+ZCFA=1800
AZD=ZCFA
VAC平分ZBAD
・・・ZDAC=ZFAC
VAC=AC
・・・△ADC竺△AFC（SAS）
/.AD=AF・・・AE=AF+FE=AD+BE
7.
已知：
AB=4,AC=2,D是BC屮点,
AD是整数，求ADA
解：
延长AD至IJE,使AD=DE
・・・D是BC中点
・・・BD=DC
在厶ACD和厶BDE中
AD=DE
ZBDE=ZADC
BD=DC
AAACD^ABDE
•*.AC=BE=2
・・•在△ABE中
AB-BE・・・AB=4
即4・2<2AD<4+2
1・・・AD=2
1
8.已知：
D是AB中点，ZACB=900,求证：
CD-AB
2
解：
延长AD到E,使AD=DE
・・・D是BC屮点
・・・BD=DC
在厶ACD和厶BDE中
AD=DE
ZBDE=ZADC
BD=DC
AAACDABDE
•*.AC=BE=2
•・•在AABE中
9.已知：
BC=DE,ZB=ZE,ZC=ZD,F是CD中点，求证：
Z1=Z2
A
证明：
连接BF和EF。
・・・BC=ED,CF=DF,ZBCF=ZEDF。
・・・三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。
・・・BF=EF,ZCBF=ZDEF。
连接BEo
在三角形BEF中,BF=EFo
/.ZEBF=ZBEFo
又•・•ZABC=ZAEDo
・・・ZABE=ZAEBo
AB=AEo
在三角形ABF和三角形AEF中，
AB=AE,BF=EF,
ZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=ZAEF。
・・・三角形ABF和三角形AEF全等。
・・・
ZBAF=ZEAF（Z1=Z2）o
10.已知：
Z1=Z2,CD=DE,EF//AB,求证：
EF=AC
过C作CG〃EF交AD的延长线于点G
CG//EF,可得，ZEFD=CGD
DE=DC
ZFDE=ZGDC（对顶
角）AAEFD^ACGD
EF=CG
ZCGD=ZEFD
又EF//AB
・・・ZEFD=Z1
Z1=Z2
・・・ZCGD=Z2
・・・△AGC为等腰三角形，
AC=CG
又EF=CG
・・・EF=AC
11.已知：
AD平分ZBAC,AC=AB+BD,求证：
ZB=2ZC
证明：
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
VAD平分ZBAC
・・・ZEAD=ZCAD
・・・AE=AC,AD=AD
AAAED^AACD（SAS）
AZE=ZC
VAC=AB+BD
・・・AE=AB+BD
・・・AE=AB+BE
・・・BD=BE
・・・ZBDE=ZE
VZABC=ZE+ZBDE
AZABC=2ZE
AZABC=2ZC
12.已知：
AC平分ZBAD,CE±AB,ZB+ZD=1800,求证：
AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
VCE丄AB
・・・ZCEB=ZCEF=90°
・・・EB=EF,CE=CE,
・・・△CEB^ACEF
・・・ZB=ZCFE
VZB+ZD=180°,ZCFE+ZCFA=1800
AZD=ZCFA
VAC平分ZBAD
・・・ZDAC=ZFAC
又・・・AC=AC
・・・△ADC竺△AFC（SAS）
・・・AD=AF
・・・AE=AF+FE=AD+BE
12.如图，四边形ABCD中，AB//DC,BE、CE分别平分ZABC、ZBCD,且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DCo
在BC上截取BF=AB,连接EF
・・・BE平分ZABC
・・・ZABE=ZFBE
又・・・BE=BE
・・・/ABESFBE（SAS）
ZA=ZBFE
VAB//CD
・・・ZA+ZD=180o
VZBFE+ZCFE=180o
・・・ZD=ZCFE
又TZDCE=ZFCE
CE平分ZBCD
CE=CE
・・・ZDCESFCE（AAS）
・・・CD=CF
・・・BC=BF+CF=AB+CD
13.
已知：
AB//ED,ZEAB=ZBDE,AF=CD,EF=BC,求证：
ZF=ZC
ABIIED,得：
ZEAB+ZAED=ZBDE+ZABD=180度,
VZEAB=ZBDE,
・・・ZAED=ZABD,
・・・四边形ABDE是平行四边形。
・・・得：
AE=BD,
VAF=CD,EF=BC,
・・・三角形AEF全等于三角形DBC,
AZF=ZCo
14.已知：
AB=CD,ZA=ZD,求证：
ZB=ZC
证明：
设线段AB,CD所在的直线交于E,当（ADvBC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。
贝叽
AAED是等腰三角形。
・・・AE=DE
而AB=CD・・・BE=CE（等量加等量，或等量减等量）•••△BEC是等腰三角形
・・・ZB=ZC.
在AC上取点E,
使AE=ABo
・・・AE=AB
AP=AP
ZEAP=ZBAE,
・•・△EAP^ABAP
・・・PE=PB。
PC・・・PC<（AC-AE）+PB
・・・PC-PB证明:
=Z2,BE±AE,求证：
AC-AB=2BE
在AC上取匚点D,使得角DBC=角C
VZABC=3ZC・・・ZABD=ZABC-ZDBC=3ZC-ZC=2ZC；
・・・ZADB=ZC+ZDBC=2ZC;
•*.AB=AD
・・・AC-AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线,
・・・AE垂直BD
・・・BE丄AE
・••点E二定在直线BD上，
在等腰三角形ABD中，AB=AD,AE垂直BD
・••点E也是BD的中点
・・・BD=2BE
VBD=CD=AC-AB
AAC-AB=2BE
17.已知，E是AB中点，AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
••了乍AG〃BD交DE延长线于G
・・・AGE全等BDE
AG=BD=5
・・・AGFsCDF
E
B
AF=AG=5
ADC=CF=2
18.如图，在△ABC中，BD=DC,Z1=Z2,求证：
AD丄BC.
A
即ZABC=ZACB
AAABC是等腰三角形
AB=AC
在△ABD和Z\ACD中
{AB=AC
Z1=Z
2BD=DC
・・・△ABD和AACD是全等二角形（边角边）
・・・ZBAD=ZCAD
・・・AE是AABC的中垂线
・・・AE丄BC
・・・AD丄BC
19.如图，OM平分ZPOQ,MA±OP,MB丄OQ,A、B为垂足，AB交OM于点N.
VOM平分ZPOQ
・・・ZPOM=ZQOM
VMA丄OP,MB丄OQ
・・・ZMAO=ZMBO=90
VOM=OM
・・・△AOMBOM（AAS）
AOA=OB
VON=ON
・・・△AONBON（SAS）
・・・ZOAB=ZOBA,ZONA=ZONB
VZONA+ZONB=180
AZONA=ZONB=90
AOM丄AB
20.（5分）如图，已知AD//BC,ZPAB的平分线与ZCBA的平分线相交于E,CE的连线
交AP于D•求证:
AD+BC=AB・
与AP相交于F点,
・・・ZPAB+ZCBA=180°,又T,AE,BE均为ZPAB和ZCBA的
角平分线
・・・ZEAB+ZEBA=900・\ZAEB=900,EAB为直角三角形
在三角形ABF屮，AE丄BF,且AE为ZFAB的角平分线
・・・三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中，
ZEBC=ZDFE,HBE=EF,ZDEF=ZCEB,
・・・三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，・・・DF=BC
・・・AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.如图，AABC中，AD是ZCAB的平分线，且AB=AC+CD,求证：
ZC=2ZB
延长AC到E使AE=AC连接ED
・・・AB=AC+CD
・・・CD=CE
可得ZB=ZE
ACDE为等腰
ZACB=2ZB
22・（6分）如图①，、分别为线段上的两个动点，且丄于E,丄于，
EFACDEACBFACF
若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
（1）求证：
MB=MD,ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由.
（1）连接BE,DF.
•・•DE±AC于E,BF±AC于F,
・•・ZDEC=ZBFA=90°,DE//BF,
在RtADEC和RtABFA中，
•・・AF=CE,AB=CD,
・・・RtADEC竺Rt△BFA
（HL）,・・・DE=BF・
・・・四边形BEDF是平行四边
形.・・・MB=MD,ME=MF；
（2）连接BE,DF.
•・•DE±AC于E,BF±AC于F,
・•・ZDEC=ZBFA=90°,DE//BF,
在RtADEC和RtABFA中,
•・・AF=CE,AB=CD,
・・・RtADEC竺Rt△BFA
（HL）,・・・DE=BF・
・・・四边形BEDF是平行四边
形.・・・MB=MD,ME=MF.
E为AB的中点,
23.已知：
如图，DC//AB,且DC=AE,
（1）求证：
△AED^AEBC.
在不添辅助线的情况下，除厶EBC外，请再写出两个与厶AED的面积
证明：
・.・DC〃AB
・・・ZCDE=ZAED・・・DE=DE,DC=AEAAAED^AEDC・・・E为AB中点・・・AE=BE
・・・BE=DC
・.・DC〃AB
・・・ZDCE=ZBEC
・・・CE=CE
・・・△EBC^AEDC
AAAED^AEBC
24.（7分）如图，△ABC中，ZBAC=90度，AB=AC,BD是ZABC的平分线，BD的延
E,直线CE交BA的延长线于F.
・・・ABCE四点共元
・・・ZABE=ZCBE・・・AE=CE・・・ZECA=ZEAC
ZGAB=ZABG
而：
ZECA=ZGBA（同弧上的圆周角相等）
•*.ZECA=ZEAC=ZGBA=ZGAB
而：
AC=AB
AAAEC^AAGB
•*.EC=BG=DG
・・・BE=2CE
25、如图：
DF=CE,AD=BC,ZD=ZCo求证：
△AED竺△BFC。
证明：
IDF=CE,
・・・DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在厶AED和厶BFC屮，
・・•AD=BC,ZD=ZC,DE=CF
AAAED^ABFC（SAS）
26、（10分）如图：
AE、BC交于点M,F点在AM±,BE〃CF,BE=CFO
求证：
AM是AABC的屮线。
证明：
・・・BEIICF
・・・ZE=ZCFM,ZEBM=ZFCM
・・・BE=CF
・・・△BEM^ACFM
/.BM=CM
AAM是AABC的中线.
・・・△ABD和厶BCD的三条边都相等
AAABD=ABCD
・・・ZADB=ZCD
・・・ZADB=ZCDB=90°
ABD丄AC
28、（10分）AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
求证:
BF=CF
在厶ABD与厶ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
・・・△ABDACD
・・・ZADB=ZADC
・・・ZBDF=ZFDC在厶BDF与厶FDC中BD=DC
ZBDF=Z
FDCDF=DF
・・・△FBD^AFCD・・・BF=FC
29、（12分）如图：
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证：
AF=DE。
VAB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
AAABE=ACDF
・・・ZDCB=ZABF
AB=DCBF=CE
AABF=△CDE・・・AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示，其屮AB〃CD,在AB,CD,BC三段路
证明：
连接EF
VAB//CD
・・・ZB=ZC
・・・M是BC中点
・・・BM=CM
在厶BEM和△CFM中
BE=CF
ZB=ZC
BM=CM
AABEM^ACFM（SAS）
・・・CF=BE
31.已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BE〃DF,BE=DF・求证：
△ABE仝△CDF.
VAF=CE,FE=EF.
・・・AE=CF.
VDF//BE,
AZAEB=ZCFD（两直线平行，内错角相等）
・・・BE=DF
△ABE竺△CDF（SAS）
32.已知：
如图所示,
AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的屮点，求证：
AE=AF。
证明：
在△ADC,AABC中
•・・AC=AC,ZBAC=ZDAC,ZBCA=ZDCA
AAADC^AABC（两角加一边）
•・・AB=AD,BC=CD
在厶DEC与厶BEC屮
ZBCA=ZDCA,CE=CE,BC=CD
・・・△DEC^ABEC（两边夹一角）
・・・ZDEC=ZBEC
34.已知AB〃DE,BC〃EF,D,C在AF±,且AD=CF,求证：
AABC^ADEF.
VAD=DF
AAC=DF
VAB//DE
ZA=ZEDF
又・・・BC//EF
・・・ZF=ZBCA
AAABCADEF（ASA）
35.已知：
如图，AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求
证：
BE=CD.
证明：
VBD丄AC
・・・ZBDC=90°
・・・CE丄AB・・・ZBEC=900
AZBDC=ZBEC=90°
・・・AB=AC
AZDCB=ZEBC
・・・BC=BC
・・・Rt△BDC竺RtABEC（AAS）
ABE=CD
DF丄AC于Fo
36、如图，在厶ABC中，AD为,BAC的平分线，DE丄AB于E,
求证：
DE=DF.
证明：
VAD是ZBAC的平分线
・・・ZEAD=ZFAD
・・・DE丄AB,DF±AC
・・・ZBFD=ZCFD=900
・・・ZAED与ZAFD=90°在厶AED与厶AFD中
ZEAD=Z
FADAD=AD
ZAED=ZAFD
・・・△AED竺△AFD（AAS）
・・・AE=AF
在厶AEO与厶AFO中
ZEAO=ZFAO
AO=AO
AE=AF
/.AAEO^AAFO（SAS）
・・・ZAOE=ZAOF=90°
・・・AD丄EF
VAD丄AB
・・・ZBAC=ZADE
又AC丄BC于C,DE丄AC于E
根据三角形角度之和等于180度
・・・ZABC=ZDAE
VBC=AE,AABCDAE
（ASA）AAD=AB=5
38.如图：
AB=AC,ME丄AB,MF丄AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证：
MB=MC
证明:
・・・AB=AC
・・・ZB=ZC
VME丄AB,MF丄AC
・・・ZBEM=ZCFM=90°
在厶BME和厶CMF屮
・・・ZB=ZCZBEM=ZCFM=900ME=MF
AABME^ACMF（AAS）
MB=MC.
39.如图，给出五个等量关系：
①ADBC②ACBD③CEDE④DC
⑤DABCBA•请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结
论（只需写出一种情况），并加以证明.
已知：
®AD=BC,©ZDAB=ZCBA
求证：
△DABCBA
证明：
•・・AD=BC,ZDAB=ZCBA
又・・・AB=AB
・・・△DABCBA
40•在厶ABC中，ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①ADC竺CEB；②DEADBE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.—’
（1）
1・・・ZADC=ZACB=ZBEC=90°,
AZCAD+ZACD=900,ZBCE+ZCBE=900,ZACD+ZBCE=900.
AZCAD=ZBCE.
VAC=BC,
AAADCACEB.
2・・・△ADCCEB,
/.CE=AD,CD=BE.
・・・DE=CE+CD=AD+BE.
（2）・ZZADC=ZCEB=Z
ACB=900,AZACD=ZCBE.
又*.*AC=BC,
AAACD^ACBE.
CE=AD,CD=BE.
・・・DE=CE-CD=AD-BE
41.女口图所示，已矢nAE丄AB,AF丄AC,AE=AB,AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC丄
BF
bu
（1）VAE丄AB,AF丄AC,
・•・ZBAE=ZCAF=90°,
・・・ZBAE+ZBAC=ZCAF+Z
BAC,即ZEAC=ZBAF,
在厶ABF和△AEC屮，
VAE=AB,ZEAC=ZBAF,
AF=AC,・・・△ABF竺△AEC
（SAS）,
・・・EC=BF；
（2）如图，根据
（1）,AABFAEC,
AZAEC=ZABF,
・・・AE丄AB,
・・・ZBAE=90°,
・・・ZAEC+ZADE=90°,
・・・ZADE=ZBDM（对顶角相等），
・・・ZABF+ZBDM=900,
在厶BDM屮，
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