中考数学八大题型集训专题复习七 几何图形综合题 题型1 与三角形四边形有关的几何综合题.docx
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中考数学八大题型集训专题复习七几何图形综合题题型1与三角形四边形有关的几何综合题
专题复习（七） 几何图形综合题
几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．
题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题
类型1 操作探究题
（2015·南充）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2，.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.
（1）求证：
△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
【思路点拨】
（1）利用旋转相等的线段、相等的角△APP′是等腰直角三角形；
（2）利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用
（1）的结论，得∠BPQ的大小；（3）过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．
【解答】
（1）证明：
由旋转可得：
AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°.
∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°.
∴△APP′是等腰直角三角形．
（2）由
（1）知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，
∴PP′＝.
∵P′B＝PD＝，PB＝2，
∴P′B2＝PP′2＋PB2.
∴∠P′PB＝90°.
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′＝45°.
∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°.
（3）过点B作BM⊥AQ于M.
∵∠BPQ＝45°，∴△PMB为等腰直角三角形．
由已知，BP＝2，∴BM＝PM＝2.
∴AM＝AP＋PM＝3.
在Rt△ABM中，
AB＝＝＝.
∵cos∠QAB＝＝，即＝，
∴AQ＝.
在Rt△ABQ中，BQ＝＝.
∴QC＝BC－BQ＝－＝.
1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．
2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．
1．（2015·自贡）在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C.
图1 图2
（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．
①求证：
BB1∥CA1；
②求△AB1C的面积；
（2）如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．
2．（2013·自贡）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.
（1）将图1中的△A1B1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：
CP1＝CQ；
（2）在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？
（3）如图3，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
3．（2013·内江）如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD＝x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
类型2 动态探究题
（2015·乐山）如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝.
（1）求CD边的长；
（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止），设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
【思路点拨】
（1）分别延长AD、BC相交于E，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE求解；
（2）利用△EDC∽△EPQ及S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC求解．
【解答】
（1）分别延长AD、BC相交于E.
在Rt△ABE中，∵tanA＝，AB＝3，∴BE＝4.
∵BC＝2，∴EC＝2.
在Rt△ABE中，AE＝＝＝5.
∴sinE＝＝.∴CD＝.
（2）∵∠B＝∠ADC＝90°，∠E＝∠E，
∴∠ECD＝∠A.
∴tan∠ECD＝tanA＝.
∴＝＝，解得ED＝.
如图4，
由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，
∴＝.∴＝，即PQ＝＋x.
∵S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC，
∴y＝PQ·EP－DC·ED
＝（＋x）（＋x）－××
＝x2＋x.
如图5，当Q点到达B点时，EC＝BC，DC∥PQ，可证明△DCE≌△HQC，从而得CH＝ED＝，
∴自变量x的取值方范围为：
0＜x≤.
动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：
从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．
1．（2013·成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC的同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.
（1）求证：
AC＝AD＋CE；
（2）若AD＝3，AB＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.
①当点P与A，B两点不重合时，求的值；
②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
2．（2015·攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6，如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝5时，请直接写出点D、点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．
3．（2015·绵阳）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？
若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：
BN＝NH；
（3）过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．
类型3 类比探究题
（2015·成都）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.
（1）如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.
①求证：
△CAE∽△CBF；
②若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
（2）如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且＝＝k时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；
（3）如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【思路点拨】
（1）利用“夹这个角的两边对应成比例”得△CAE∽△CBF，进而证明∠EBF＝90°，利用勾股定理求EF，进而求CE；
（2）类比
（1）解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有k的式子表示出CE，BF，并建立CE2，BF2的等量关系，从而求出k；（3）类比
（1）、
（2）的思路及菱形的性质找m，n，p的关系．
【解答】
（1）①∵∠ACE＋∠ECB＝45°，∠BCF＋∠ECB＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF.
又∵＝＝，∴△CAE∽△CBF.
②∵＝＝，AE＝2，∴BF＝.
由△CAE∽△CBF可得∠CAE＝∠CBF.
又∠CAE＋∠CBE＝90°，
∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.
∴EF＝＝.
∴CE＝EF＝.
（2）连接BF，同理可得∠EBF＝90°，
由＝＝k，可得BC∶AB∶AC＝1∶k∶，CF∶EF∶EC＝1∶k∶.
∴＝＝.
∴BF＝，BF2＝.
∴CE2＝×EF2＝（BE2＋BF2），
即32＝（12＋），解得k＝.
（3）p2－n2＝（2＋）m2.
提示：
连接BF，同理可得∠EBF＝90°，过C作CH⊥AB，交AB延长线于H，
可解得AB2∶BC2∶AC2＝1∶1∶（2＋），
EF2∶FC2∶EC2＝1∶1∶（2＋），
∴p2＝（2＋）EF2＝（2＋）（BE2＋BF2）
＝（2＋）（m2＋）＝（2＋）m2＋n2.
∴p2－n2＝（2＋）m2.
本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．
1．（2013·乐山）阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD＝a，BC＝b.若＝，则有结论：
MN＝.
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3.
（1）若点P为线段EF的中点．求证：
PP1＝PP2＋PP3；
（2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．
2．（2015·随州）问题：
如图1，点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
[发现证明]
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图1证明上述结论．
[类比引申]
如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.
[探究应用]
如图3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40（－1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：
≈1.41，≈1.73）．
参考答案
类型1 操作探究题
1．
（1）①证明：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∵B1C＝BC，
∴∠CB1B＝∠B.
又由旋转性质得∠A1CB1＝∠ACB，
∴∠CB1B＝∠A1CB1.
∴BB1∥CA1.
②过A作AG⊥BC于G，过C作CH⊥AB于H.
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝CG.
∵在Rt△AGB中，cos∠ABC＝＝，AB＝5，
∴BG＝3.
∴BC＝6.∴B1C＝BC＝6.∵B1C＝BC，CH⊥AB，∴BH＝B1H.∴B1B＝2BH.
∵在Rt△BHC中，cos∠ABC＝＝，
∴BH＝.∴BB1＝.∴AB1＝BB1－AB＝－5＝，CH＝＝＝.
∴S△AB1C＝AB1·CH＝××＝.
（2）过点C作CF⊥AB于F，以点C为圆心，CF为半径画圆交BC于F1，此时EF1最小．
此时在Rt△BFC中，CF＝.
∴CF1＝.
∴EF1的最小值为CF－CE＝－3＝.
以点C为圆心，BC为半径画圆交BC的延长线于F′1，此时EF′1有最大值．此时EF′1＝EC＋CF′1＝3＋6＝9.
∴线段EF1的最大值与最小值的差9－＝.
2.
（1）证明：
∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，
∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°.在△B1CQ和△BCP1中，
∴△B1CQ≌△BCP1.∴CQ＝CP1.
（2）作P1D⊥CA于D，∵∠A＝30°，
∴P1D＝AP1＝1.
∵∠P1CD＝45°，
∴CP1＝P1D＝.
∵CP1＝CQ，
∴CQ＝.
（3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝BC.∵BE⊥P1B，∠ABC＝60°，
∴∠CBE＝30°.
∴∠CBE＝∠A.
由旋转的性质可得：
∠ACP1＝∠BCE，
∴△AP1C∽△BEC.
∴AP1∶BE＝AC∶BC＝∶1.
设AP1＝x，则BE＝x，在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2.∴BP1＝2－x.
∴S△P1BE＝×x（2－x）＝－x2＋x＝－（x－1）2＋，
∵－<0，
∴当x＝1时，△P1BE面积的最大值为.
3.
（1）作AH⊥BC于H，
∴∠AHB＝90°.在Rt△AHB中，AH＝AB·sinB＝3×sin60°＝3×＝.
∴S△ABC＝＝.
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y＝S△ADE.
图1
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD＝90°，∠DAG＝30°.
∴DE＝x，AG＝x.
∴y＝＝x2.
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
图2
∵AD＝x，∴DE＝AD＝x，BD＝DM＝3－x.
∴DG＝（3－x），MF＝MN＝2x－3.
∴MG＝（3－x）．
∴y＝＝－x2＋3x－.
∴y＝
（3）当0＜x≤1.5时，y＝x2，∵a＝＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x＝1.5时，y最大＝，如图3，当1.5＜x＜3时，y＝－x2＋3x－，
∴y＝－（x2－4x）－＝（x－2）2＋.
∵a＝－＜0，开口向下，∴x＝2时，y最大＝.∵＞，
∴y最大时，x＝2.
图3
∴DE＝AD＝2，BD＝DM＝1.
作FO⊥DE于O，连接MO，ME.
∴DO＝OE＝1.∴DM＝DO.
∵∠MDO＝60°，
∴△MDO是等边三角形．
∴∠DMO＝∠DOM＝60°，MO＝DO＝1.
∴MO＝OE，∠MOE＝120°.
∴∠OME＝30°.
∴∠DME＝90°.
∴DE是直径，S⊙O＝π×12＝π.
类型2 动态探究题
1．
（1）证明：
∵BD⊥BE，A，B，C三点共线，
∴∠ABD＋∠CBE＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠CBE＋∠E＝90°.
∴∠ABD＝∠E.
又∵∠A＝∠C，AD＝BC，
∴△DAB≌△BCE（AAS）．∴AB＝CE.
∴AC＝AB＋BC＝AD＋CE.
（2）①连接DQ，设BD与PQ交于点F.∵∠DPF＝∠QBF＝90°，∠DFP＝∠QFB，
∴△DFP∽△QFB.∴＝.
又∵∠DFQ＝∠PFB，
∴△DFQ∽△PFB.∴∠DQP＝∠DBA.
∴tan∠DQP＝tan∠DBA.
即在Rt△DPQ和Rt△DAB中，＝.
∵AD＝3，AB＝CE＝5，
∴＝.
②过Q作QH⊥BC于点H.∵PQ⊥DP，∠A＝∠H＝90°，
∴△APD∽△HQP.∴＝＝.∵DA＝3，∴PH＝5.
∵AP＝PC＝4，AB＝PH＝5，∴PB＝CH＝1.
∵EC⊥BH，QH⊥BH，∴＝.∴＝.∴QH＝.
在Rt△BHQ中，BQ＝＝＝.
∵MN是△BDQ的中位线，∴MN＝.
2.
（1）D（－4，3），P（－12，8）．
（2）当点P在边AB上时，BP＝6－t.∴S＝BP·AD＝（6－t）·8＝－4t＋24.
当点P在边BC上时，BP＝t－6.
∴S＝BP·AB＝（t－6）·6＝3t－18.
∴S＝
（3）∵D（－t，t），当点P在边AB上时，P（－t－8，t）．
若＝时，＝，解得t＝6.若＝时，＝，解得t＝20.
∵0≤t≤6，∴t＝20时，点P不在边AB上，不合题意．
当点P在边BC上时，P（－14＋t，t＋6）．若＝时，＝，解得t＝6.
若＝时，＝，解得t＝.
∵6≤t≤14，∴t＝时，点P不在边BC上，不合题意．
∴当t＝6时，△PEO与△BCD相似．
3.
（1）当点M为AC的中点时，有AM＝BM，则△ABM为等腰三角形；当点M与点C的重合时，BA＝BM，则△ABM为等腰三角形；当点M在AC上且AM＝2时，AM＝AB，则△ABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，有AM＝BM，则△ABM为等腰三角形．
（2）证明：
在AB上取点K，使AK＝AN，连接KN.
∵AB＝AD，BK＝AB－AK，ND＝AD－AN，
∴BK＝DN.又DH平分直角∠CDG，
∴∠CDH＝45°.
∴∠NDH＝90°＋45°＝135°.
∵∠BKN＝180°－∠AKN＝135°，
∴∠BKN＝∠NDH.∵在Rt△ABN中，∠ABN＋∠ANB＝90°，
又BN⊥NH，即∠BNH＝90°，∴∠ANB＋∠DNH＝180°－∠BNH＝90°.
∴∠ABN＝∠DNH.∴△BNK≌△NHD（ASA），
∴BN＝NH.
（3）①当M在AC上时，即0＜t≤2时，易知：
△AMF为等腰直角三角形．
∵AM＝t，∴AF＝FM＝t.∴S＝AF·FM＝·t·t＝t2.
当M在CG上时，即2＜t＜4时，CM＝t－AC＝t－2，MG＝4－t.
∵AD＝DC，∠ADC＝∠CDG，CD＝CD，
∴△ACD≌△GCD（SAS）．∴∠ACD＝∠GCD＝45°.
∴∠ACM＝∠ACD＋∠GCD＝90°.∴∠G＝90°－∠GCD＝90°－45°＝45°.
∴△MFG为等腰直角三角形．∴FG＝MG·cos45°＝（4－t）·＝4－t.
∴S＝S△ACG－S△MCJ－S△FMG＝×4×2－·CM·CM－·FG·FM＝4－·（t－2）2－·（4－t）2＝－t2＋4t－8.
∴S＝
②在0＜t≤2范围内，当t＝2时，S的最大值为×
（2）2＝2；
在2＜t＜4范围内，S＝－（t－）2＋.当t＝时，S的最大值为.
∵>2，∴当t＝秒时，S的最大值为.
类型3 类比探究题
1．
（1）证明：
过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S.
∵BE为角平分线，
∴ER＝ES.过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，同理FM＝FN.
∵ES⊥BA，PP2⊥AB，
∴PP2∥ES.同理得PP3∥FN，FM∥PP1∥ER.
∵点P为EF中点，PP2∥ES，
∴△FPP2∽△FES.
∴ES＝2PP2，同理FN＝2PP3.
∴FM＝2PP3，ER＝2PP2.
在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，＝，
∴根据题设结论可知：
PP1＝＝＝＝PP2＋PP3.
（2）探究结论：
PP1＝PP2＋PP3
.证明：
过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER＝ES.
过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM＝FN.点P为EF上任意一点，不妨设＝，则＝，＝.∵PP2∥ES，∴＝＝.
∴ES＝PP2.
∵PP3∥FN，∴＝＝.∴FN＝PP3.∴ER＝PP2，FM＝PP3.
在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，＝，
∴根据题设结论可知：
PP1＝＝＝＝PP2＋PP3.
2.[发现证明]：
将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合．
∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AG，BE＝DG.
∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°.
在正方形ABCD中，∠B＝∠ADF＝90°.
∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上．在△EAF和△GAF中，
∴△EAF≌△GAF.∴EF＝GF.又GF＝DG＋DF＝BE＋DF.
∴EF＝BE＋FD.
[类比引申]：
∠EAF＝∠BAD，
理由如下：
将△ABE绕点A逆时针方向旋转∠DAB至△ADG，使AB与AD重合．
∴△ABE≌△ADG.
∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AG，BE＝DG.
∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD.
∵在四边形ABCD中，∠B＋∠ADF＝180°.
∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上．在△EAF和△GAF中，
∴△EAF≌△GAF.
∴EF＝GF.
又GF＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋FD.
[探究应用]：
连接AF，延长BA、CD交于点O.则∠BOC＝180°－∠B－∠C＝90°.
∴△AOD为直角三角形．在Rt△AOD中，∠ODA＝60°，∠OAD＝30°，AD＝80米．
∴AO＝40米，OD＝40米．
∵OF＝OD＋DF＝40＋40（－1）＝40（米），
∴AO＝OF.∴∠OAF＝45°.∴∠DAF＝45°－30°＝15°.∴∠EAF＝90°－15°＝75°.∴∠EAF＝∠BAD.
∵∠BAE＝180°－∠OAF－∠EAF＝60°，∠B＝60°，
∴△BAE为等边三角形．
∴BE＝AB＝80米．
由[类比引申]的结论可得EF＝BE＋DF＝40（＋1）≈109（米）．
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