相似三角形常见模型与经典型例题讲解.docx

相似三角形常见模型与经典型例题讲解.docx

《相似三角形常见模型与经典型例题讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相似三角形常见模型与经典型例题讲解.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

相似三角形常见模型与经典型例题讲解

第一部分相似三角形模型分析

、相似三角形判定的基本模型认识

（二）8字型、反8字型

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型:

（六）双垂型:

、相似三角形判定的变化模型

旋转型：

由A字型旋转得到

1-—三一

◎石亡8字型拓展

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第二部分相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1:

如图，梯形ABCDKAD//BC对角线ACBD交于点O,BE/CD交CA延长线于E.

求证：

OC2=OAOE.

例2:

已知：

如图，△ABC中，点E在中线AD上,■DEB=/ABC.

求证：

（1）DB2二DEDA;

（2）.DCE=/DAC.

BG分别交ADAC于E、F.

A

求证：

BE2二EFEG.

相关练习:

1、如图，已知ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：

FD2二FBFC.

2、已知：

AD是Rt△ABC中/A的平分线，/C=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于MEF、BC的延长线

交于一点M

求证：

（1）△AM3ANMD;

（2）ND2=NC-NB

3、已知：

如图，在△ABC中，/ACB=90,CDLAB于D,是AC上一点，CF丄BE于F。

求证：

EB-DF=AE-DB

4.在AABC中，AB=AC高AD与BE交于H,EF丄BC，垂足为F,延长AD到G,使DG=EFM是AH的中点。

求证：

-GBM

=90

5.（本题满分14分,

5分）

已知：

如图，在

一个动点，PCLAB交边AC于点D

线DC上一点，且/EP[=ZA.设A

y.

（1）

求证：

AE=2PE

第

（1）小题满分4分，第

（2）、（3）小题满分各

（第25题图）

Rt△ABC中，/

（2）

求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;

（3）

当厶BEP-与^ABC相似时，求△BEP的面积.

双垂型

1、如图，在△ABC中，/A=60°,BDCE分别是ACAB上的高求证：

（ABD^AACE

（2）△ADE^AABQ（3）BC=2ED

D

5

2、如图，已知锐角厶ABCADCE分别是BCAB边上的高，△BDE的面积分别是27和3,DE=6・..2,

求：

点B到直线AC的距离。

共享型相似三角形

〔、△ABC是等边三角形，D、BCE在一条直线上，/DAE=120，已知BD=1,CE=3,求等边三角形的边

2、已知：

如图，在Rt△ABC中,AB=AC/DAE451

求证：

（1）△ABE^AACD

（2）BC2=2BECD•

一线三等角型相似三角形

例1:

如图，等边△ABC中，边长为6,D是BC上动点，/EDF=60

（1）求证：

△BDE^ACFD

（2）

A

B

E

B

D

当B[=1,FC=3时，求BE

例2:

（1）在；ABC中，AB=AC=：

5,BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持.APQ=.ABC.

1若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；

2若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

C

DC上（点P不与点C、点B重

（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线CB、

合），且保持NAPQ=90°当CQ=1时，求出线段BP的长.

例3:

已知在梯形ABCE中，AD//BC,AD

（1）如图8,P为AD上的一点，满足/BPC=ZA

1

求证；△ABP^ADPC

2求AP的长.

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点AD不重合），且满足/BPE=ZAPE交直线BC于点E,

同时交直线DC于点Q,那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定

义域；

②当CE=1时，写出AP的长.

A

D

A

D

C

例4:

如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB二CD=BC=6,AD=3•点M为边BC的中点，以M为顶点作.EMF二.B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF•

（1）求证：

△MEFBEM；

（2）若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；

（3）若EF_CD，求BE的长.

相关练习:

1、如图，在△ABC中,

AB二AC=8,BC=10,

D是BC边上的一个动点，点

E在AC边上，且

ADE—C•

（1）求证：

△ABD°^DCE

⑵如果BD=x,AE=y，求y与x的函数解析式，并写出自变量

⑶当点D是BC的中点时，试说明厶ADE是什么三角形，并说明理由.

2、如图，已知在厶ABC中,

AB=AC=6,BC=5,

D是AB上一点,

BD=2,E是BC上一动点，联结

DE并作

•DEF-B，射线EF交线段AC于F.

（1）求证：

△DBEo^ECF

（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长;

C

（备用图）

4、如图，已知边长为3的等边=ABC，点F在边BC上，CF二1，点E是射线BA上一动点，以线段EF

为边向右侧作等边「'EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N,

写出图中与BEF相似的三角形；

证明其中一对三角形相似；

设BE=x,MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

（4）

BFc

例1、已知矩形ABCD中,CD=2AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE_CP,交边AB于点E,设PD=x,AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

APD

C

并写出定义域。

C

B

A

O

在直角

A

A

E

F

F

B

C

B

D

C

D

（与A,C不

C

C

F

10

F

E

E

B

A

D

B

A

D

交射线

（1）、

（2）、

（3）、

E

B

1】

E是在AC边上的一个动点,

y,求y关于

x的函数关系式，并写出定义域

DF_DE

试求y关于x的函数关系

重合），DF_DE,DF与射线BC相交于点F

点，PQ_OP交线段BC于点Q,（不与点B,C重合），设AP=x,CQ=y

AC于点F

求AC和BC的长当EF//BC时，求BE的长。

连结EF,当：

DEF和ABC相似时，求BE的长。

-，设AE=x,BF

2

例2、在；ABC中，.C=90°,AC=4,BC=3,0是AB上的一点，且

AB

2

，点P是AC上的一个动

5

在直角三角形ABC中，.C=90°,AB=BC,D是AB边上的一点,

3

ABC中，/C=90°,AB=5,tanB，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点,

4

（1）、当点D是边AB的中点时，求证：

DE=DF

（2）、当型二m，求匹的值

DBDF

AD

（3）、当AC=BC=6严

DB