高等数学讲义樊映川.docx

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高等数学讲义樊映川

绪论

第一篇解析几何

第一章行列式及线性方程组

§1.1二阶行列式和二元线性方程组

§1.2三阶行列式

§1.3三阶行列式的主要性质

§1.4行列式的按行按列展开

§1.5三元线性方程组

§1.6齐次线性方程组

§1.7高阶行列式概念:

第二章平面上的直角坐标、曲线及其方程§2.1轴和轴上的线段:

§2.2直线上点的坐标·数轴:

§2.3平面上的点的笛卡儿直角坐标:

§2.4坐标变换问题:

§2.5两点间的距离:

§2.6线段的定比分点:

§2.7平面上曲线方程的概念:

§2.8两曲线的交点

第三章直线与二元一次方程

§3.1过定点有定斜率的直线方程

§3.2直线的斜截式方程

§3.3直线的两点式方程

§3.4直线的截距式方程

§3.5直线的一般方程

§3.6两直线的交角

§3.7两直线平行及两直线垂直的条件§3.8点到直线的距离

§3.9直线柬

第四章圆锥曲线与二元二次方程

§4.1圆的一般方程

§4.2椭圆及其标准方程

§4.3椭圆形状的讨论

§4.4双曲线及其标准方程

§4.5双曲线形状的讨论

§4.6抛物线及其标准方程

§4.7抛物线形状的讨论

§4.8椭圆及双曲线的准线

§4.9利用轴的平移简化二次方程

§4.10利用轴的旋转简化二次方程

§4.11一般二元二次方程的简化第五章极坐标

§5.1极坐标的概念

§5.2极坐标与直角坐标的关系

§5.3曲线的极坐标方程

§5.4圆锥曲线的极坐标方程

第六章参数方程

§6.1参数方程的概念

§6.2曲线的参数方程

§6.3参数方程的作图法

第七章空间直角坐标与矢量代数

§7.1空间点的直角坐标

§7.2基本问题

§7.3矢量的概念·矢径

§7.4矢量的加减法

§7.5矢量与数量的乘法

§7.6矢量在轴上的投影·投影定理

§7.7矢量的分解与矢量的坐标

§7.8矢量的模·矢量的方向余弦与方向数§7.9两矢量的数量积:

§7.10两矢量间的夹角

§7.11两矢量的矢量积

§7.12矢量的混合积

第八章曲面方程与曲线方程

§8.1曲面方程的概念

§8.2球面方程

§8.3母线平行于坐标轴的柱面方程·二次柱面

§8.4空间曲线作为两曲面的交线

§8.5空间曲线的参数方程

§8.6空间曲线在坐标面上的投影

第九章空间的平面与直线

§9.1过一点并已知一法线矢量的平面方程§9.2平面的一般方程的研究

§9.3平面的截距式方程

§9.4点到平面的距离

§9.5两平面的夹角

§9.6直线作为两平面的交线

§9.7直线的方程

§9.8两直线的夹角

§9.9直线与平面的夹角

§9.10直线与平面的交点

§9.11杂例

§9.12平面束的方程

第十章二次曲面

§10.1旋转曲面

§10.2椭球面

§10.3单叶双曲面

§10.4双叶双曲面

§10.5椭圆抛物面

§10.6双曲抛物面

§10.7二次锥面

第二篇数学分析

第一章函数及其图形

§1.1实数与数轴

§1.2区间

§1.3实数的绝对值·邻域

§1.4常量与变量

§1.5函数概念

§1.6函数的表示法

§1.7函数的几种特性

§1.8反函数概念

§1.9基本初等函数的图形

§1.10复合函数·初等函数

第二章数列的极限及函数的极限

§2.1数列及其简单性质

§2.2数列的极限

§2.3函数的极限

§2.4无穷大·无穷小

§2.5关于无穷小的定理

§2.6极限的四则运算

§2.7极限存在的准则·两个重要极限§2.8双曲函数

§2.9无穷小的比较

第三章函数的连续性

§3.1函数连续性的定义

§3.2函数的间断点

§3.3闭区间上连续函数的基本性质§3.4连续函数的和、积及商的连续性§3.5反函数与复合函数的连续性

§3.6初等函数的连续性

第四章导数及微分§4.1几个物理学上的概念

§4.2导数概念

§4.3导数的几何意义

§4.4求导数的例题·导数基本公式表

§4.5函数的和、积、商的导数

§4.6反函数的导数

§4.7复合函数的导数

§4.8高阶导数

§4.9参数方程所确定的函数的导数

§4.10微分概念

§4.11微分的求法·微分形式不变性

§4.12微分应用于近似计算及误差的估计

第五章中值定理

§5.1中值定理

§5.2罗必塔法则

§5.3泰勒公式

第六章导数的应用

§6.1函数的单调增减性的判定

§6.2函数的极值及其求法

§6.3最大值及最小值的求法

§6.4曲线的凹性及其判定法

§6.5曲线的拐点及其求法

§6.6曲线的渐近线

§6.7函数图形的描绘方法

§6.8弧微分·曲率

§6.9曲率半径·曲率中心

§6.10方程的近似解

第七章不定积分

§7.1原函数与不定积分的概念

§7.2不定积分的性质

§7.3基本积分表

§7.4换元积分法

§7.5分部积分法

§7.6有理函数的分解

§7.7有理函数的积分

§7.8三角函数的有理式的积分

§7.9简单无理函数的积分

§7.10二项微分式的积分

§7.11关于积分问题的一些补充说明

第八章定积分

§8.1曲边梯形的面积·变力所作的功

§8.2定积分的概念

§8.3定积分的简单性质·中值定理

§8.4牛顿一莱布尼兹公式

§8.5用换元法计算定积分

§8.6用分部积分法计算定积分

§8.7定积分的近似公式

§8.8广义积分

第九章定积分的应用

§9.1平面图形的面积

§9.2体积

§9.3曲线的弧长

§9.4定积分在物理、力学上的应用

第二篇数学分析（续）

第十章级数

Ⅰ常数项级数

10.1无穷级数概念

10.2无穷级数的基本性质收敛的必要条件10.3正项级数收敛性的充分判定法

10.4任意项级数绝对收敛

10.5广义积分的收敛性

Ⅱ函数项级数

10.7函数项级数的一般概念

10.8一致收敛及一致收敛级数的基本性质Ⅲ幂级数

10.9幂级数的收敛半径

10.10幂级数的运算

10.11泰勒级数

10.12初等函数的展开式

10.13泰勒级数在近似计算上的应用

10.14复变量的指数函数尤拉公式

第十一章富里哀级数

11.1三角级数三角函数系的正交性

11.2尤拉-富里哀公式

11.3富里哀级数

11.4偶函数及奇函数的富里哀级数

11.5函数展开成正弦或余弦级数

11.6任意区间上的富里哀级数

第十二章多元函数的微分法及其应用12.1一般概念12.2二元函数的极限及连续性12.3偏导数

12.4全增量及全微分

12.5方向导数

12.6复合函数的微分法

12.7隐函数及其微分法

12.8空间曲线的切线及法平面12.9曲面的切平面及法线

12.10高阶偏导数

12.11二元函数的泰勒公式

12.12多元函数的极值

12.13条件极值—拉格朗日乘数法则

第十三章重积分

13.1体积问题二重积分

13.2二重积分的简单性质中值定理13.3二重积分计算法

13.4利用极坐标计算二重积分13.5三重积分及其计算法

13.6柱面坐标和球面坐标

13.7曲面的面积

13.8重积分在静力学中的应用

第十四章曲线积分及曲面积分

14.1对坐标的曲线积分

14.2对弧长的曲线积分

14.3格林（Green）公式

14.4曲线积分与路线无关的条件14.5曲面积分

14.6奥斯特罗格拉特斯基公式

第十五章微分方程

15.1一般概念

15.2变量可分离的微分方程

15.3齐次微分方程

15.4一阶线性方程

15.5全微分方程

15.6高阶微分方程的几个特殊类型15.7线性微分方程解的结构

15.8常系数齐次线性方程

15.9常系数非齐次线性方程

15.10尤拉方程

15.11幂级数解法举例

15.12常系数线性微分方程组