c（n,m）表示.
c（n,m）=p（n,m）/m!
=n!
/（（n-m）!
*m!
）；c（n,m）=c（n,n-m）;
3.其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p（n,r）/r=n!
/r（n-r）!
.
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,…nk这n个元素的全排列数为n!
/（n1!
*n2!
*...*nk!
）.
k类元素海类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c（m+k-1,m）.
排列的计算公式：
第一位的可能性X第二位的可能性X....X第N位的可能性
例如
5个人排队,第三个人的位置不变，那么第一位置的可能性是4,第二位置的可能性是3,第三位置的可能性是1,第四位置的可能性是2,第五位置的可能性是1,那么共有5X4X1X2X仁40种
组合的公式：
我举例来说吧
第一规则：
从五个事物里取三种事物组合与从五个事物里取二种事物组合是相同的
第二种规则：
从五个事物里取三种事物组合的组合数
（5X4X3）十（3X2X1）
从五个事物里取二种事物组合的组合数
（5X4）-（2X1）
从十里取八与从十里取二相同1
（10X9X8X7…取几个数就依次乘几个数）-（8的阶乘）备注:
8阶乘就是从8依次乘到1
数学补差（4）计数原理
1.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A.81B.64C.12D.14
2.5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有
A3▲典3A5典2典3典2典3典1典1典3
A.A3B.4A3C.AA3A3D.A2A3A2A3A3
3.a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数
是A.20B•16C•10D•6
4•现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是
A•男生2人女生6人B•男生3人女生5人C•男生5人女生3人D•男生6人女生2人.
6•（12x）5（2x）的展开式中x3的项的系数是A.120B•120C•100D•100
—2
7•.X4展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是
X
A•180B•90C•45D.360
8•由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有
A•
60个
B.48个C•36个D•
24个
9•3张不同的电影票全部分给
10个人,每人至多一张
则有不同分法的种数是
A•
1260
B•120
C.240D.720
10•n
N且n
55,则乘积
（55n）（56n）L（69
n）等于
A•
A^5n
69n
B.A；；
inC•A55n
D.A14n
11•从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为
A•120B•240C•280D.60
12•把（.3ix）10把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是
A・135B・135C•360、3iD•360.3i
14•不共面的四个定点到面的距离都相等，这样的面共有几个A・3B•4C•6D•7
15•4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法•
16•在（1X2）20展开式中，如果第4r项和第r2项的二项式系数相等，则r,
17•在1,2,3，…,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这
样的四位数有个.
18•用1,4,5,x四个不同数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288,则
x=.
19.n个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？
20•已知集合S1,0,1,P1,2,3,4，从集合S,P中各取一个元素作为点的坐标，可作
出不同的点共有个•
21.（X1）（X1）2（X1）3（X1）4（X1）5的展开式中的X3的系数是
22.A1,2,3,4,5,6,7,8,9，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为.
23.8张椅子排成，有4个人就座，每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种?
24.0.9915的近似值（精确到0.001）是多少？
25.7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头：
（2）甲不排头，也不排尾：
（3）甲、乙、丙三人必须在一起：
（4）甲、乙之间有且只有两人：
（5）甲、乙、丙三人两两不相邻：
（6）甲在乙的左边（不一定相邻）：
（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序：
（8）甲不排头，乙不排当中：
26.
已知（2
、3x）50a0a1X
a2x2L
a50x,其中a0,a1,a2L,a5°是常数，计算
（a。
a2a4
La50）（a1a3
a5L
a49）
15、8640
1530
16、4,C20X
17、840
18、2
n
19、2
20、23
21、15
22、105
23、480
24、0.956
25•解：
（1）甲固定不动，其余有A720，即共有A720种；
（2）甲有中间5个位置供选择，有A5，其余有A720，即共有a5a6"3600种;
（3）先排甲、乙、丙三人，有A33，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当
于5人的全排列，即A，则共有A5A33720种；
22
（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有人，甲、乙可以交换有A2，
把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，
贝U共有960种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有A4，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排
334
这五个空位，有A，则共有Aj^A；1440种；
（6）不考虑限制条件有阳，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
1
即—A2520种；
2
（7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A4,留下三个空位，甲、乙、丙
三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A840
（8）不考虑限制条件有A；,而甲排头有A,6，乙排当中有A，这样重复了甲排头，
乙排当中a5一次，即A2A（6A3720
6.解：
设f（x）
（2
、、3x）50，令x1，得a。
a1
a2La50（2
3）50
令x
1,
得a°a1a?
La5°
（2
3）50
（a0a2
a4
La50）（a1a3a5
L
a49）
（a。
aia2La5°）（a）6a?
La5。
）（2.3）50（2,3）501
n
128,
4.已知x2-展开式中的二项式系数的和比（3a2b）7展开式的二项式系数的和大
x
n
求X2-展开式中的系数最大的项和系数量小的项•
X
n
5.
（2）X、匸1的展开式奇数项的二项式系数之和为128,
则求展开式中二项式系数最大项。
第一章计数原理
（数学选修2--3）
［综合训练B组］
一、选择题
二、填空题
［提高训练C组］
一、选择题
4•设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为「则£的
20
15
16
21
值为A.
B.
C.
D.
128
128
128
128
5•若（2x
3）4
ao
a1x
2
a?
x
3
a3x
a4x，则（a。
a2a4）（印a3）的值为
A.1
B.
1
C.
0
D.
2
二、填空题
2•在△AOB的边OA上有5个点，边0B上有6个点，加上0点共个点，以这12个点为顶点的三角形有个.
2222
5•若C3C4CsLCn363,则自然数n.
三、解答题
1.6个人坐在一排10个座位上，问⑴空位不相邻的坐法有多少种?
（2）4个空位只有3个相邻
的坐法有多少种?
（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？
2•有6个球,其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？
数学选修2-3第一章计数原理［基础训练A组］
一、选择题
1•B每个小球都有4种可能的放法，即44464
1221
2•C分两类：
（1）甲型1台，乙型2台：
C4C5;
（2）甲型2台，乙型1台：
C4C5
c；c5c：
c；70
5235
A，若甲，乙两人都站中间有A3A3,A
二、填空题
34
1•
（1）10C510；
（2）5C55；（3）14
4444
2.8640先排女生有A，再排男生有A，共有AA8640
3.4800既不能排首位，也不能排在末尾，即有a4，其余的有A，共有a4A5480
4•1890Tr,G0x10r（3）r，令10r6,r4兀90怎1890x6
15304r1r1152、151530
5•4,C20xC20C20,4r1r120,r4,T16C20（X）C20X
2222
6•840先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有A，其余的A7,共有AA7840
4
7•2当x0时，有A24个四位数，每个四位数的数字之和为145x
24（145x）288,x2；当x0时，288不能被10整除，即无解
325314
8•11040不考虑0的特殊情况，有C5C5A512000,若0在首位，则C5C4A4960,
ClcfA"C；c4a41200096011040
三、解答题
1•解：
（1）①是排列问题，共通了A：
110封信；②是组合问题，共握手C；55次。
22
（2）①是排列问题，共有A1090种选法；②是组合问题，共有C1045种选法。
22
（3）①是排列问题，共有A56个商；②是组合问题，共有C828个积。
334这五个空位，有A，则共有A5A41440种；
（6）不考虑限制条件有阳，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
即-A72520种；
2
（7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A，留下三个空位，甲、乙、丙
三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A；840
（8）不考虑限制条件有A,而甲排头有A6，乙排当中有A6，这样重复了甲排头,乙排当中A5一次，即A；2A6A53720
2x14
43
3•解：
⑴A2X1140Ax
x3
xN
（2x1）2x（2x1）（2x2）140x（x1）（x2）
56x为展开式中
当r3,或5时，展开式中的系数最小，即T256x7,T6
的系数最小的项。
25
5.解：
（1）由已知得CnCnn7
（2）由已知得c：
CnC5...128,2n1128,n8，而展开式中二项式
系数最大项是T41C；（xJX）4（丄）470x4^x2。
幼x
6•解：
设
f（x）
（2
、.3x），令x1，得a°
a〔a：
La50（2
3）50
令
x
1,
得a°a1a?
La5°
（2-.3）50
（a。
a2
a4
La50）（a1a3a5
La。
"2
（a。
a1
a2
L*50）（%a1a?
L
a50）（2
、、3）50（2..
3）501
数学选修2-3第一章计数原理［综合训练B组］
一、选择题
1.C个位a2，万位A3,其余A，共计A2A3A336
3
2.D相当于3个元素排10个位置，Ao720
3.B从55n到69n共计有15个正整数，即扁n
4.A从c,d,e,f中选2个，有C：
把a,b看成一个整体，则3个元素全排列，A
共计竄A36
12
5.A先从5双鞋中任取1双，有C5，再从8只鞋中任取2只，即C8，但需要排除
212
4种成双的情况，即C84，则共计C5（C84）120
6.DT8G70（、、3i）3（x）7360.3ix7，系数为360、、3i
r2nr,1、r2nrr2n2r
7.ATr1C2n（2x）（）2C2nX，令2n2r2,rn1
2x
则22C21n1224,C；n156,n4，再令82r
2,r
5,T6
4
14
x
31010
8.D（1x）（1x）（1x）
x3（1x）10（C10
Cw）x5
207x5
二、填空题
2n
每个人都有通过或不通过
2种可能，共计有2
2...
2（n个2）2n
60
四个整数和为奇数分两类:
奇三偶或三奇一偶，即
c5c4c；c4
60
23
c3c4a;
23，其中
（1,1）重复了一次
n1,k
51
（x
1）
x
5
的通项为
C；（x丄）5「
（1）r,其中（x
x
r
的通项为
c5
5r
rx
2r
，所以通项为
（1）grX
5r2r
2r
rt
，当r
2
5时，r0,
1时，r2，得常数为
得常数为1；
30
30；当
（20）（
1）
3时，r
51
得常数为20；
41863件次品，或4件次品,
5
15原式（x1）[1（x1）]
1（x1）
c43c46
41
C4C46
4186
（x1）（x1）6
（x1）6中含有
x4的项是
2424
C6x
（1）15x，所以展开式中的x
的系数是15
105直接法：
分三类，在4个偶数中分别选
C4C5C4C5C4C5105；间接法：
2个，3个，4个偶数,
c9c5c：
c4
其余选奇数,
105
三、解答题
1•解：
AUB中有元素710413
333
G；C；C；286201
265。
2
2.解：
（1）原式（C100
C100）A01
3
C3A3—a31
101101A3101
A
（2）原式
3444
C3C：
C4C6
C：
L
444
Cl1Cl0Cl1
330。
C：
C：
LC10
L
C40
g3,G：
330
（3）
原式
cm
cm
m
Cn
1cm1
m
Cn
1
Cnm1
m
Cn
cm11
m
Cn
证明：
左边
n!
mn!
（n
m
1）n!
mn!
（n
m）!
（n
m1）!
（n
m1）!
Cl30
C；
LCio
M昭右边
就是展开式中的常数项。
另一方法：
原式（.匚-）6,T4C[
（1）320
丿x|
当顶点在第三象限时,
ha02
a0,2a0,即b0，则有A4种;
共计有C；C；A24种。
6•解：
把4个人先排，有A，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位
242
当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有A：
所以共计有A4A5480种。
数学选修2-3第一章计数原理［提高训练C组］
n!
cn!
r
1.B6,n34,n7
（n3）!
（n4）!
4!
2.D男生2人，女生3人，有C30C20；男生3人，女生2人，有C30C20
22222
3.A甲得2本有C6，乙从余下的4本中取2本有C4，余下的C2，共计C6C4
4.B含有10个元素的集合的全部子集数为S210，由3个元素组成的子集数
6.D分三种情况：
（1）若仅T7系数最大，则共有13项，n12；
（2）若T7与T6系数相
等且最大，则共有12项，n11;（3）若T7与T8系数相等且最大，则共有14项,
C42
n13，所以n的值可能等于11,12,13
四个点分两类:
1
（1）三个与一个，有C4；
（2）平均分二个与二个，有
1
共计有C4复数abi,（a,bR）为虚数，则a有10种可能，b有9种可能，共计90种可能
二、填空题
1.9分三类：
第一格填2，则第二格有A3，第三、四格自动对号入座，不能自由排列;
第一格填3，则第三格有A3，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；
第一格填4，则第撕格有A3，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；
共计有3A39
165C；2C；C；165
180,30a0,C6C6C5
180
b0,a6"
30
Tr14（旦）9「（
x
3r
〔令竺93,r8
2
13
28
9
a
16
Co
3631,C：
C：
c；LC；364,
5!
C；
C；
364,n13
m!
（5m）!
0.956
0.9915（10.009）5
8.2设f（x）（1
令x0，得
三、解答题
1•解：
6个人排有
6!
m!
（6
2x）n,
a。
1,
7!
m）!
10m!
（7m）!
，m
2,C8nCs
0.00910
令x1，得
23m42
28
（0.009）123
a°a1a?
a71a0
6人排好后包括两端共有
0.045
0.000810.956
a7（1
2）71
“间隔”可以插入空位
14个空位各不相邻有C74种坐法;
24个空位2个相邻，另有2个不相邻有C；C；种坐法；
34个空位分两组，每组都有2个相邻，有C；种坐法.
综合上述,应有A66（C74C17C62C72）118080种坐法。
2．解：
分三类：
若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有A4424；
若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C32A4236；
若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C31A4112；
所以有24361272种。
3．解：
（12x）5（13x）4（2x1）5（3x1）4
[（2x）5C51（2x）4...][（3x）4C41（3x）3...]
5443
（32x580x4...）（81x4108x3...）
（2592x98180x832108x8...）
2592x93024x8...
4．解：
32n28n99n18n9（81）n18n9
Cn018n1C1n18nLCnn1182Cnn18Cnn118n9
64（Cn018n1C1n18n2LCnn11）8（n1）18n9
M64（记MC：
®1C；i8n2LC：
；）
5．证明：
Cn02Cn13Cn2...（n1）Cnn
QM为整数，64M能被64整除.
2nn2n1
6•解:
（C37Cn，nl^J^7n，n23n400
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