排列组合题以及公式.docx

1、排列组合题以及公式排列与组合的共同点是从 n个不同的元素中，任取 m (men)个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组， 因此有序”与无序”是区别排列与组合的重要标志下面通过实例来体会排列与组合的区别.【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数.(1) 高二年级学生会有11人：每两人互通一封信，共通了多少封信？ 每两人互握了 一次手，共握了多少次手？(2) 高二数学课外活动小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？(3) 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：从

2、中任取两个数求它们的商，可以有 多少个不同的商？ 从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？(4) 有8盆花：从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？ 从 中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？【思考与分析】 (1)由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列； 由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题其他类似分析.解：(1 )是排列问题，共通了 =110 (封)；是组合问题，共需握手 =55 (次)(2) 是排列问题，共有=10X9=90 (种)不同的选法； 是组合问题，共=45 (种)不

3、同 的选法；(3) 是排列问题，共有=8X7=56 (个)不同的商； 是组合问题，共有=28 (个)不同 的积；(4) 是排列问题，共有=56 (种)不同的选法； 是组合问题，共有=28 (种)不同的选 法.【反思】区分排列与组合的关键是 有序”与无序”.排列与组合的概念与计算公式1排列及计算公式从n个不同元素中，任取 m(me n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中 取出m个元素的一个排列； 从n个不同元素中取出 m(me n)个元素的所有排列的个数， 叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)

4、= n!/(n-m)!(规定 0!=1).2组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m e n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的 一个组合；从n个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素 中取出m个元素的组合数用符号c(n ,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!) ； c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数= p(n,r)/r= n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是 n1,n2,nk这n个元素的全排列数为 n!/(n 1!* n2!*.

5、* nk!).k类元素海类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m).排列的计算公式： 第一位的可能性X第二位的可能性X . X第N位的可能性例如5个人排队,第三个人的位置不变，那么第一位置的可能性是 4,第二位置的可能性是 3,第三位置 的可能性是1,第四位置的可能性是 2,第五位置的可能性是 1,那么共有5X 4X 1 X 2 X仁40种组合的公式：我举例来说吧第一规则：从五个事物里取三种事物组合 与 从五个事物里取二种事物组合是相同的第二种规则：从五个事物里取三种事物组合的组合数(5 X 4 X 3)十(3 X 2 X 1)从五个事物里取二种事物组合的组合数(5 X 4

6、) - (2 X 1)从十里取八与从十里取二相同 1(10 X 9X 8X 7取几个数就依次乘几个数 )-(8的阶乘) 备注:8阶乘就是从8依次乘到 1数学补差(4) 计数原理1. 将3个不同的小球放入 4个盒子中，则不同放法种数有 A . 81 B . 64 C.12 D. 142.5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有A 3 典3 A 5 典2典3 典2典3 典1典1典3A . A3 B . 4A3 C . A A3 A3 D . A2 A3 A2 A3A33.a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B 16

7、C 10 D 64现有男、女学生共 8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三 科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是A 男生2人女生6人 B 男生3人女生5人C 男生5人女生3人D 男生6人女生2人.6 (1 2x)5(2 x)的展开式中 x3 的项的系数是 A.120 B 120 C 100 D 100 27 .X 4 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是XA 180 B 90 C 45 D. 3608由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000的偶数共有A 60个B. 48 个 C 36 个 D 24个9 3张不

8、同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是A 1260B 120C. 240 D. 72010 nN且n55,则乘积(55 n)(56 n)L (69n）等于A A5 n69 nB . A；in C A55 nD. A14 n11从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为A 120 B 240 C 280 D. 6012把（.3i x）10把二项式定理展开，展开式的第 8项的系数是A 135 B 135 C 360、3i D 360.3i14不共面的四个定点到面 的距离都相等，这样的面 共有几个A3 B 4 C 6 D 715 4名男生，4名女生排成一排，女生

9、不排两端，则有 种不同排法16在（1 X2）20展开式中，如果第 4r项和第r 2项的二项式系数相等，则 r ,17 在1,2,3，,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有 个.18 用1,4,5, x四个不同数字组成四位数 ，所有这些四位数中的数字的总和为 288,则x= .19.n个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？20已知集合S 1,0,1 ,P 1,2,3,4 ，从集合S,P中各取一个元素作为点的坐标 ，可作出不同的点共有 个21.(X 1) (X 1)2 (X 1)3 (X 1)4 (X 1)5的展开式中的X3的系数是 22. A

10、 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为 .23. 8张椅子排成，有4个人就座，每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种 ? 24. 0.9915的近似值(精确到 0.001)是多少？25.7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？(1)甲排头：(2 )甲不排头，也不排尾：(3 )甲、乙、丙三人必须在一起 ：(4 )甲、乙之间有且只有两人 ：(5 )甲、乙、丙三人两两不相邻 ：(6) 甲在乙的左边(不一定相邻) ：(7) 甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序 ：(8) 甲不排头，乙不排当中：26 .已知(2、3x)50 a0 a

11、1Xa2x2 La50x ,其中a0, a1, a2 L , a5是常数，计算(a。a2 a4L a50 ) (a1 a3a5 La49)15、 864015 3016、 4, C20 X17、 84018、 2n19、220、 2321、 1522、 10523、 48024、 0.95625解：(1)甲固定不动，其余有 A 720，即共有 A 720种；(2) 甲有中间5个位置供选择，有 A5，其余有 A 720，即共有a5a6 3600种;(3) 先排甲、乙、丙三人，有 A33，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于5人的全排列，即 A，则共有A5A33 720种；22(4)从甲、

12、乙之外的 5人中选2个人排甲、乙之间，有 人，甲、乙可以交换有 A2，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于 4人的全排列，贝U共有960种；(5) 先排甲、乙、丙之外的四人，有 A4，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排33 4这五个空位，有 A，则共有AjA； 1440种；(6) 不考虑限制条件有 阳，甲在乙的左边(不一定相邻)，占总数的一半，1即A 2520 种；2(7) 先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有 A4 ,留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即 A 840(8) 不考虑限制条件有 A；,而甲排头有A,6，乙排当中有 A，这样重复了

13、甲排头，乙排当中a5 一次，即 A 2A(6 A 37206.解：设 f(x)(2、3x)50，令 x 1，得 a。a1a2 L a50 (23)50令x1 ,得 a a1 a? L a5(23)50(a0 a2a4L a50) (a1 a3 a5La49)(a。ai a2 L a5)(a)6 a? L a5。)(2 .3)50(2 ,3)50 1n128,4 .已知x2 - 展开式中的二项式系数的和比 (3a 2b)7展开式的二项式系数的和大xn求X2 -展开式中的系数最大的项和系数量小的项 Xn5. (2) X、匸 1 的展开式奇数项的二项式系数之和为 128,则求展开式中二项式系数最大项

14、。第一章计数原理（数学选修2-3）综合训练B组一、 选择题二、 填空题提高训练C组一、选择题4设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为则的20151621值为A.B.C.D.1281281281285 若(2x,3)4aoa1x2a?x3a3xa4x，则（a。 a2 a4） （印 a3）的值为A. 1B.1C.0D.2二、 填空题2 在 AOB的边OA上有5个点，边0B上有6个点，加上0点共个点，以这12个点为顶 点的三角形有 个.2 2 2 25若 C3 C4 Cs L Cn 363,则自然数 n .三、 解答题1. 6个人坐在一排10个座位上，问空位不相邻的坐法

15、有多少种 ?（2） 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?（3） 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种 ？2 有6个球,其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种 不同的排法？数学选修2-3 第一章计数原理基础训练A组一、选择题1 B 每个小球都有4种可能的放法，即 4 4 4 6412 2 12 C 分两类：(1)甲型1台，乙型2台：C4C5 ; (2)甲型2台，乙型1台：C4C5c；c5 c：c； 705 2 3 5A，若甲，乙两人都站中间有 A3 A3 , A二、填空题3 41 (1) 10 C5 10 ； (2) 5 C5 5 ； (3) 1444 4 42.

16、 8640 先排女生有 A，再排男生有 A，共有 A A 86403. 480 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有 a4，其余的有 A，共有a4 A5 4804 1890 Tr , G0x10r( 3)r，令 10 r 6, r 4兀 90怎 1890 x615 30 4r 1 r 1 15 2、15 15 305 4, C20x C20 C20 ,4r 1 r 1 20, r 4,T16 C20 ( X ) C20X22 2 26 840先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有 A，其余的A7 ,共有A A7 84047 2 当x 0时，有 A 24个四位数，每个四位数的数字之和为 1 4

17、5 x24(1 4 5 x) 288, x 2 ；当x 0时，288不能被10整除，即无解32 5 3 1 48 11040 不考虑0的特殊情况，有C5C5 A5 12000,若0在首位，则C5C4 A4 960,ClcfA C；c4a4 12000 960 11040三、解答题1 解：(1)是排列问题，共通了 A： 110封信；是组合问题，共握手 C； 55次。2 2(2) 是排列问题，共有 A10 90种选法；是组合问题，共有 C10 45种选法。2 2(3) 是排列问题，共有 A 56个商；是组合问题，共有 C8 28个积。 3 3 4 这五个空位，有 A，则共有 A5A4 1440种；

18、(6) 不考虑限制条件有 阳，甲在乙的左边(不一定相邻)，占总数的一半，即-A7 2520 种；2(7)先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有 A，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即 A； 840(8)不考虑限制条件有 A,而甲排头有 A6，乙排当中有A6，这样重复了甲排头, 乙排当中A5 一次，即 A； 2A6 A5 37202x 1 44 33 解： A2X1 140 Axx 3x N (2x 1)2x(2x 1)(2 x 2) 140x(x 1)(x 2)56 x为展开式中当r 3,或5时，展开式中的系数最小，即 T2 56x7,T6的系数最

19、小的项。2 55.解：(1)由已知得Cn Cn n 7 (2)由已知得c： Cn C5 . 128,2n 1 128 ,n 8，而展开式中二项式系数最大项是 T4 1 C；(xJX)4(丄)4 70x4x2。幼x6 解：设f(x)(2、.3x)，令 x 1，得 aa a：L a50 (2,3)50令x1 ,得 a a1 a? L a5(2 -.3)50(a。a2a4L a50) (a1 a3 a5L a。2(a。a1a2L *50)(% a1 a? La50) (2、3)50(2 .3)50 1数学选修2-3 第一章计数原理综合训练B组一、选择题1. C 个位a2，万位A3,其余A，共计A2A

20、3A3 3632. D 相当于3个元素排10个位置，Ao 7203.B 从55 n到69 n共计有15个正整数，即 扁n4. A 从c,d,e, f中选2个，有C：,把a,b看成一个整体，则 3个元素全排列， A共计竄A 361 25.A 先从5双鞋中任取1双，有C5，再从8只鞋中任取2只，即C8，但需要排除2 1 24种成双的情况，即C8 4，则共计C5(C8 4) 1206. D T8 G70(、3i)3( x)7 360.3ix7，系数为 360、3ir 2n r , 1、r 2n r r 2n 2r7. A Tr 1 C2n(2x) ( ) 2 C2nX ，令 2n 2r 2, r n

21、 12x则 22C21n1 224,C；n1 56, n 4，再令 8 2r2,r5,T6414x3 10 108. D (1 x )(1 x) (1 x)x3(1 x)10 (C10Cw)x5207 x5二、填空题2n每个人都有通过或不通过2种可能，共计有22 .2(n 个 2) 2n60四个整数和为奇数分两类:奇三偶或三奇一偶，即c5c4 c；c46023c3c4a;23，其中(1,1)重复了一次n 1,k51(x1)x5的通项为C；(x 丄)5( 1)r,其中(xxr的通项为c55 rrx2r，所以通项为 (1)grX5 r 2r2rr t，当r25 时，r 0 ,1时，r 2，得常数为

22、得常数为 1 ；3030 ； 当(20)(1)3时，r51得常数为 20 ；4186 3件次品，或4件次品,515 原式(x 1)1 (x 1)1 (x 1)c43c464 1C4C464186(x 1) (x 1)6,(x 1)6中含有x4的项是2 4 2 4C6x ( 1) 15x，所以展开式中的x的系数是15105 直接法：分三类，在 4个偶数中分别选C4 C5 C4 C5 C4 C5 105 ；间接法：2个，3个，4个偶数,c9 c5 c：c4其余选奇数,105三、解答题1解：AUB中有元素7 10 4 133 3 3G； C； C； 286 20 1265 。22.解：(1)原式(C

23、100C100 ) A013C3 A3 a3 1101 101 A 3 101A（2）原式3 4 4 4C3 C： C4 C6C： L4 4 4Cl1 Cl0 Cl1330。C：C：L C10LC40g3, G： 330(3)原式cmcmmC n1 cm1mCn1Cnm1mC ncm1 1mCn证明：左边n!m n!(nm1) n! m n!(nm)!(nm 1)!(nm 1)!Cl30C；L CioM昭右边就是展开式中的常数项。另一方法：原式(.匚-)6 , T4 C( 1)3 20丿x|当顶点在第三象限时,h a 0 2a 0,2a 0,即 b 0，则有 A4 种;共计有C；C； A 24

24、种。6 解：把4个人先排，有 A，且形成了 5个缝隙位置，再把连续的 3个空位和1个空位2 4 2当成两个不同的元素去排 5个缝隙位置，有 A：,所以共计有 A4A5 480种。数学选修2-3 第一章计数原理提高训练C组n! c n! , r1. B 6 ,n 3 4, n 7(n 3)! (n 4)! 4!2 . D 男生2人，女生3人，有C30C20 ；男生3人，女生2人，有C30C202 2 2 2 23. A 甲得2本有C6，乙从余下的4本中取2本有C4，余下的C2，共计C6C44. B 含有10个元素的集合的全部子集数为 S 210，由3个元素组成的子集数6.D 分三种情况：(1)若

25、仅T7系数最大，则共有13项，n 12 ； (2)若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n 11; (3)若T7与T8系数相等且最大，则共有14项,C42n 13，所以n的值可能等于11,12,13四个点分两类:1(1)三个与一个，有 C4 ； ( 2 )平均分二个与二个，有1共计有C4 复数a bi,(a,b R)为虚数，则a有10种可能，b有9种可能，共计90种可能二、填空题1. 9 分三类：第一格填 2，则第二格有 A3，第三、四格自动对号入座，不能自由排列;第一格填3，则第三格有A3，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填4，则第撕格有A3，第二、三格自动对号入座，不能自由

26、排列；共计有3A3 9165 C；2 C； C； 165180,30 a 0, C6C6C5180b 0,a630Tr 1 4(旦)9(x3r令竺 9 3,r 8213289a16Co363 1,C： C：c； L C； 364,5!C；C；364, n 13m !(5 m)!0.9560.9915 (1 0.009)58. 2 设 f(x) (1令x 0，得三、解答题1解：6个人排有6!m!(62x)n ,a。 1,7!m)!10 m!(7 m)!，m2,C8n Cs0.009 10令x 1，得23m 4228(0.009)1 2 3a a1 a?a7 1 a06人排好后包括两端共有0.04

27、50.00081 0.956a7 (12)7 1“间隔”可以插入空位14 个空位各不相邻有 C74 种坐法 ;24个空位2个相邻，另有2个不相邻有C；C；种坐法；34个空位分两组，每组都有2个相邻，有C；种坐法.综合上述 ,应有 A66 ( C74 C17C62 C72) 118080 种坐法。2解：分三类：若取 1个黑球，和另三个球，排 4个位置，有 A44 24；若取 2个黑球，从另三个球中选 2个排 4个位置， 2个黑球是相同的， 自动进入，不需要排列，即有 C32A42 36 ；若取 3个黑球，从另三个球中选 1个排 4个位置， 3个黑球是相同的， 自动进入，不需要排列，即有 C31A

28、41 12 ；所以有 24 36 12 72种。3解： (1 2x)5(1 3x)4 (2x 1)5(3x 1)4(2x)5 C51(2x)4 .(3 x)4 C41(3x)3 .5 4 4 3(32x5 80x4 .)(81x4 108x3 .)(2592x9 81 80x8 32 108x8 .)2592x9 3024x8 .4解： 32n 2 8n 9 9n 1 8n 9 (8 1)n 1 8n 9Cn0 18n 1 C1n 18n L Cnn 1182 Cnn 18 Cnn 11 8n 964(Cn0 18n 1 C1n 18n 2 L Cnn 11) 8(n 1) 1 8n 9M 64(记M C：1 C； i8n 2 L C：；)5证明：Cn0 2Cn1 3Cn2 . (n 1)CnnQM为整数， 64M能被64整除.2n n 2n16解:(C3 7Cn，nlJ 7n，n2 3n 40 0