相交线与平行线3答案.docx
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相交线与平行线3答案
相交线与平行线（3）答案
一、典例精析
1．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有 3 个．
解答：
解：
AB∥CD，AC⊥BC，则图中与∠CAB互余的角有3个，∠CBA，∠BCD，和∠CBA的对顶角．
2．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（ ）
A．
4对
B．
8对
C．
12对
D．
16对
解答：
解：
直线AB、CD被EF所截有2对同旁内角；
直线AB、CD被GH所截有2对同旁内角；
直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；
直线CD、GH被EF所截有2对同旁内角；
直线GH、EF被CD所截有2对同旁内角；
直线AB、EF被GH所截有2对同旁内角；
直线AB、GH被EF所截有2对同旁内角；
直线EF、GH被AB所截有2对同旁内角．
共有16对同旁内角．故选D．
3．如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°
求征：
AB∥EF．
解答：
解：
过C点作CG∥AB，过点D作DH∥AB，则CG∥DH，
∵∠B=25°，∴∠BCG=25°，
∵∠BCD=45°，∴∠GCD=20°，
∵CG∥HD，∴∠CDH=20°，
∵∠CDE=30°，∴∠HDE=10°
∴∠HDE=∠E=10°，
∴DH∥EF，
∴DH∥AB，
∴AB∥EF．
点评：
此题考查平行线的判定和性质，辅助线是常见的作法，证明过程注意选用有用的条件作为证明的依据．
4．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，试比较∠EDF与∠BDF的大小，并说明理由．
解答：
解：
∠EDF=∠BDF．
∵CE⊥AB于E，DF⊥AB于F
∴DF∥CE（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠BDF=∠BCE（两直线平行，同位角相等），∠FDE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）
又∵AC∥ED，
∴∠DEC=∠ACE（两直线平行，内错角相等），
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠ECB（角平分线的定义），
∴∠EDF=∠BDF（等量代换）．
5．探究：
（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明为什么吗？
（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与CD有什么位置关系？
请证明；
（3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？
请证明；
（4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？
（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？
（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？
解答：
解：
（1）过E作EF∥AB，
则∠B=∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．
（2）若∠B+∠D=∠E，由EF∥AB，∴∠B=∠BEF，
∵∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D，
∴∠D=∠DEF，∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（3）若将点E移至图b所示位置，过E作EF∥AB，
∴∠BEF+∠B=180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF=180°，
∠E+∠B+∠D=360°；
（4）∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，
∵∠D+∠E=∠BFD，
∴∠D+∠E=∠B；
（5）∵AB∥CD，∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D；
（6）由以上可知：
∠E1+∠E2+…+∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn﹣1+∠D；
二、综合运用
6．如图所示，已知AB∥CD，EF交AB于M交CD于F，MN⊥EF于M，MN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND= 20° ．
解答：
解：
∵∠BME=110°，
∴∠AMF=∠BME=110°，
∵MN⊥EF于M，
∴∠NMF=90°，
∴∠AMN=∠AMF﹣∠NMF=110°﹣90°=20°，
∵AB∥CD，
∴∠MND=∠AMN=20°．
故答案为：
20°．
7．如图，若直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠3=90°，∠4=115°，那么∠3= 65° ．
分析：
由∠1+∠3=90°，∠2﹣∠3=90°，可得∠1+∠2=180°，则可得出a∥b，根据同旁内角互补即可得出答案．
解答：
解：
∵∠1+∠3=90°，∠2﹣∠3=90°，∴∠1+∠2=180°，
∴∠1的对顶角+∠2=180°，
∴a∥b，∴∠3+∠4的对顶角=180°，
∵∠4=115°，∴∠3=180°﹣∠4=65°，
故答案为：
65°．
8．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= 40 度．
分析：
过点F作EF∥AB，由平行线的性质可先求出∠3与∠4，再利用平角的定义即可求出∠α．
解答：
解：
如图，过点F作EF∥AB，∴∠1+∠3=180°．
∵∠1=100°，∴∠3=80°．
∵AB∥CD，∴CD∥EF，
∴∠4+∠2=180°，∵∠2=120°，
∴∠4=60°．
∴∠α=180°﹣∠3﹣∠4=40°．
故应填40．
9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是 40或140 度．
解答：
解：
当两个角是同位角时，则另一个角也等于40°；
若两个角是同旁内角时，则另一个角是140°．
故应填：
40或140．
10．（2014•泰山区模拟）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ）
A．
∠1=∠3
B．
∠2=∠3
C．
∠4=∠5
D．
∠2+∠4=180°
分析：
根据平行线的判定定理：
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
解答：
解：
A、根据内错角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意；
C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
故选：
B．
11．已知线段AB=10cm，点A，B到直线l的距离分别为6cm，4cm．符合条件的直线l有（ ）
A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
解答：
解：
在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分，所以符合条件的直线l有3条，故选C．
12．已知：
如图所示，直线a，b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°．其中能判定a∥b的是（ ）
A．
①③
B．
②④
C．
①③④
D．
①②③④
分析：
在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
解答：
解：
①∵∠1=∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
②∵∠3=∠6，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．
③∵∠4+∠7=180°，
∵∠4=∠6（对顶角相等），
∴∠6+∠7=180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
④同理得，a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．故选D．
13．（2000•荆门）如图所示，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（ ）
A．
6个
B．
5个
C．
4个
D．
2个
考点：
平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
由AB∥EF得∠FEG=∠1，由EG∥DB可得∠DBG=∠1；设BD与EF相交于点P，由AB∥EF得到∠FPB=∠DBG=∠1，∠DPE=∠DBG=∠1，又AB∥DC可以得到∠CDB=∠DBG=∠1，由此得到共有5个．
解答：
解：
∵AB∥EF，∴∠FEG=∠1，
∵EG∥DB，∴∠DBG=∠1，
设BD与EF相交于点P，
∵AB∥EF，∴∠FPB=∠DBG=∠1，∠DPE=∠DBG=∠1，
∵AB∥DC，
∴∠CDB=∠DBG=∠1．
∴共有5个．故选B．
14．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．
分析：
由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠4=180°所以∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3=∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．
解答：
证明：
∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠2=∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠3（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
15．如图，已知∠1十∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF．求证：
BC平分∠DBE．
（15）
（14）
（17）
解答：
证明：
∵∠1十∠2=180°，∠1+∠EBD=180°，
∴∠2=∠EBD，∴AE∥CF，
∴∠FDB=∠DBE，∠BAD=∠ADF，
又∵∠BAD=∠BCD，∴∠BCD=∠ADF，∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA=
∠FDB=
∠DBE，
∴BC平分∠DBE．
16．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是 垂直 ．
解答：
解：
∵a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环．∴（2002﹣1）÷4=500余1，
故答案为：
垂直．
17．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 24 对．
分析：
一条直线与另3条直线相交（不交于一点），有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有3条线段.4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4=12条线段．每条线段两侧各有一对同旁内角，可知同旁内角的总对数．
解答：
解：
∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，
∴共有3×4=12条线段．
又∵每条线段两侧各有一对同旁内角，
∴共有同旁内角12×2=24对．故答案为：
24．
18．如图，已知l1∥l2，AB⊥l1，∠ABC=130°，则∠α= 40° ．
解答：
解：
过点B作EF∥l1∥l2∵EF∥l1∥l2，AB⊥l1∴∠ABF=90°
∵∠ABC=130°
∴∠FBC=40°
∵EF∥l1∥l2∴∠FBC=∠α=40°
故答案为：
40°
19．如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是 40° ．
解答：
解：
辅助线延长PM、EG交于点K，PM延长线交AB于点L．如图：
∵AB∥CD，∴∠ALM=∠LND=50°；
∴∠MKG=∠BFG+∠ALM=80°．
∵∠HMN=30°，∴∠HMK=150°；
∵∠FGH=90°，
∴∠GHM=360°﹣∠HMK﹣∠MKG﹣∠MGH=360°﹣150°﹣80°﹣90°=40°．
20．如图，D、G是△ABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有（ ）
A．
4对
B．
5对
C．
6对
D．
7对
解答：
解：
由DE∥BC，可得∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∠EDC=∠DCB，
由GH∥DC，可得∠BDC=∠BGH，∠HGD=∠ADC，∠DCB=∠GHB，
∵∠EDC=∠DCB，∠DCB=∠GHB，∴∠EDC=∠BHG，
∴题中共有7对相等的角．故选D．
21．如图，若AB∥CD，则（ ）
A．
∠1=∠2+∠3
B．
∠1=∠3﹣∠2
C．
∠1+∠2+∠3=180°
D．
∠l﹣∠2+∠3=180°
解答：
解：
延长BA交EC于F，如图，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠2+∠4，
∴∠1=∠2+∠3．
故选A．
22．如图：
已知AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（ ）
A．
180°
B．
270°
C．
360°
D．
450°
解答：
解：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
同理∠DCE+∠CEF=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°；
又∵EH⊥CD于H，
∴∠HEF=90°，
∴∠BAC+∠ACE+∠CEH=∠BAC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF=360°﹣90°=270°．
故选B．
23．如图，AB∥EF，∠C=90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．
β=α+γ
B．
α+β+γ=180°
C．
α+β﹣γ=90°
D．
β+γ﹣α=180°
考点：
平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
解答：
解：
延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1=90°﹣α；△EHD中，∠2=β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1=∠2，
∴90°﹣α=β﹣γ，即α+β﹣γ=90°．
故选：
C．
三．拓广探索
24．如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：
∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系？
用式子表示并证明．
解答：
解：
∠HOP=∠AGF﹣∠HPO，
过点O作OM∥CD，如图，
则∠AGF=∠HOM，∠HPO=∠POM，
∠HOP=∠HOM﹣∠POM，
∴∠HOP=∠AGF﹣∠HPO．
25．如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．证明：
β=2α
分析：
此题的关键是过点C作AB的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°，∠B+∠C+∠D=360°，即可证明．
解答：
证法1：
∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图1）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）
又∵CF∥ED，
∴∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠1+∠BCD+∠2=360°（周角定义）
∴β=2α（等量代换）
证法2：
∵AB∥ED，
∴α=∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图2）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B+∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又∵CF∥ED，
∴∠2+∠D=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∴β=∠B+∠C+∠D=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°，
∴β=2α（等量代换）
26．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．
（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；
（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；
（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？
（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？
考点：
平行线；相交线．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出．
从画出的图形中归纳规律即可得到答案．
解答：
解：
（1）如图1所示；交点共有6个，
（2）如图2，3．
（3）当n=6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4，
当n=21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5，
当n=15时，如图6，
（4）当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：
①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这是交点最少，
②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多，
③设交点个数为n，则0≤n≤21，
点评：
此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形归纳规律．
27．如图，直线CB∥OA，∠C=∠A=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：
∠OFC的值是否随之发生变化？
若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？
若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
考点：
平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；平移的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠EOB=
∠AOC，代入数据即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOA，从而得到∠OBC=∠FOB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFC=2∠OBC，从而得解；
（3）设∠AOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可．
解答：
解：
（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣120°=60°，
∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB=
∠AOC=
×60°=30°；
（2）∠OBC：
∠OFC的值不会发生变化，为1：
2，
∵CB∥OA，
∴∠OBC=∠BOA，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠OBC=∠FOB，
∴∠OFC=∠OBC+∠FOB=2∠OBC，
∴∠OBC：
∠OFC=1：
2；
（3）当平行移动AB至∠OBA=45°时，∠OEC=∠OBA．
设∠AOB=x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=x，
∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+30°，
∠OBA=180°﹣∠A﹣∠AOB=180°﹣120°﹣x=60°﹣x，
∴x+30°=60°﹣x，
∴x=15°，
∴∠OEC=∠OBA=60°﹣15°=45°．
点评：
本题考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，图形较为复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．
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