三家函数公式全.docx
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三家函数公式全
同角三角函数的基本关系
倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
平方关系：
平常针对不同条件的常用的两个公式
一个特殊公式
（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）
证明：
（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2sin[（θ+a）/2]cos[（a-θ）/2]*2cos[（θ+a）/2]sin[（a-θ）/2]
=sin（a+θ）*sin（a-θ）
坡度公式
我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，
即i=h/l,坡度的一般形式写成l:
m形式，如i=1:
5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a（叫做坡角），那么i=h/l=tana.
锐角三角函数公式
正弦：
sinα=∠α的对边/∠α的斜边
余弦：
cosα=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：
tanα=∠α的对边/∠α的邻边
余切：
cotα=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
正切
tan2A=（2tanA）/（1-tan^2（A））
三倍角公式
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）
cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）
tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）
三倍角公式推导
sin（3a）
=sin（a+2a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sina）+（1-2sina）sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cosa-1）cosa-2（1-cos^a）cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sina）
=4sina[（√3/2）-sina]
=4sina（sin60°-sina）
=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]
=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa（cosa-3/4）
=4cosa[cosa-（√3/2）^2]
=4cosa（cosa-cos30°）
=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}
=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]
=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
现列出公式如下：
sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/（1-tanα）cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα
可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用，包括在一些图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sinα=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）cos3α=4cosα-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）tan3α=tan（α）*（-3+tan（α）^2）/（-1+3*tan（α）^2）=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）
半角公式
sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
万能公式
sinα=2tan（α/2）/[1+tan（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan&s（α/2）]
其他
sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0
四倍角公式
sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1））cos4A=1+（-8*cosA^2+8*cosA^4）tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）
五倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
六倍角公式
sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinA^2））cos6A=（（-1+2*cosA）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））tan6A=（-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/（-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）
七倍角公式
sin7A=-（sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））cos7A=（cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））tan7A=tanA*（-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/（-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）
八倍角公式
sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*（-8*sinA^2+8*sinA^4+1））cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）
九倍角公式
sin9A=（sinA*（-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））cos9A=（cosA*（-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）
十倍角公式
sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*（-20*sinA^2+5+16*sinA^4））
cos10A=（（-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））
tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/（-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）
N倍角公式
根据棣美弗定理，（cosθ+isinθ）^n=cos（nθ）+isin（nθ）
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c
考虑n为正整数的情形：
cos（nθ）+isin（nθ）=（c+is）^n=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…+C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…=>比较两边的实部与虚部
实部：
cos（nθ）=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…i*
（虚部）：
i*sin（nθ）=C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…
对所有的自然数n：
1.cos（nθ）：
公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。
2.sin（nθ）：
（1）当n是奇数时：
公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示。
（2）当n是偶数时：
公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是cosθ）的一次方无法消掉。
（例.c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*（c^2）^2=c*（1-s^2）^2）
半角公式
tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）
sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2
cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2
tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））
半角公式
两角和公式
两角和公式
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）
cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）
cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）
三角和公式
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
和差化积公式
sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）
积化和差
sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2
双曲函数
sha=[e^a-e^（-a）]/2
cha=[e^a+e^（-a）]/2
tha=sinh（a）/cosh（a）
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
cot（-α）=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
tan（π-α）=-tanα
cot（π-α）=-cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）=-sinα
cos（2π-α）=cosα
tan（2π-α）=-tanα
cot（2π-α）=-cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
tan（π/2+α）=-cotα
cot（π/2+α）=-tanα
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
tan（π/2-α）=cotα
cot（π/2-α）=tanα
sin（3π/2+α）=-cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=-cotα
cot（3π/2+α）=-tanα
sin（3π/2-α）=-cosα
cos（3π/2-α）=-sinα
tan（3π/2-α）=cotα
cot（3π/2-α）=tanα
（以上k∈Z）
A·sin（ωt+θ）+B·sin（ωt+φ）=
√{（A+2ABcos（θ-φ）}·sin{ωt+arcsin[（A·sinθ+B·sinφ）/√{A^2+B^2+2ABcos（θ-φ）}}
√表示根号,包括{……}中的内容
三角函数的诱导公式（六公式）
公式一：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
公式二：
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
公式三：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
公式四：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
公式五：
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
公式六：
tanA=sinA/cosA
tan（π/2+α）=－cotα
tan（π/2－α）=cotα
tan（π－α）=－tanα
tan（π+α）=tanα
诱导公式记背诀窍：
奇变偶不变，符号看象限
万能公式
万能公式
sinα=2tan（α/2）/[1+（tan（α/2））]
cosα=[1-（tan（α/2））]/[1+（tan（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-（tan（α/2））]
其它公式
三角函数其它公式
（1）（sinα）^2+（cosα）^2=1（平方和公式）
（2）1+（tanα）^2=（secα）^2
（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2
证明下面两式，只需将一式,左右同除（sinα）^2，第二个除（cosα）^2即可
（4）对于任意非直角三角形，总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证：
A+B=π-C
tan（A+B）=tan（π-C）
（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时，该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）
（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc（a）=1/sin（a）
sec（a）=1/cos（a）
（seca）^2+（csca）^2=（seca）^2（csca）^2
幂级数展开式
sinx=x-x^3/3!
+x^5/5!
-……+（-1）^（k-1）*（x^（2k-1））/（2k-1）!
+……x∈R
cosx=1-x^2/2!
+x^4/4!
-……+（-1）k*（x^（2k））/（2k）!
+……x∈R
arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……（|x|<1）
arccosx=π-（x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……）（|x|<1）
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……（x≤1）
无限公式
sinx=x（1-x^2/π^2）（1-x^2/4π^2）（1-x^2/9π^2）……
cosx=（1-4x^2/π^2）（1-4x^2/9π^2）（1-4x^2/25π^2）……
tanx=8x[1/（π^2-4x^2）+1/（9π^2-4x^2）+1/（25π^2-4x^2）+……]
secx=4π[1/（π^2-4x^2）-1/（9π^2-4x^2）+1/（25π^2-4x^2）-+……]
（sinx）x=cosx/2cosx/4cosx/8……
（1/4）tanπ/4+（1/8）tanπ/8+（1/16）tanπ/16+……=1/π
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……（x≤1）
和自变量数列求和有关的公式
sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin（nx/2）sin（（n+1）x/2）]/sin（x/2）
cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos（（n+1）x/2）sin（nx/2）]/sin（x/2）
tan（（n+1）x/2）=（sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx）/（cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx）
sinx+sin3x+sin5x+……+sin（2n-1）x=（sinnx）^2/sinx
cosx+cos3x+cos5x+……+cos（2n-1）x=sin（2nx）/（2sinx）
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