（2）给出命题：
若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
[解析]
（1）根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．
（2）原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f（x）的图象不过第四象限，则函数y＝f（x）是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
[答案]
（1）C
（2）C
[方法技巧]
1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项
（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．
（2）若命题有大前提，需保留大前提．
2．判断四种命题真假的方法
（1）利用简单命题判断真假的方法逐一判断．
（2）利用四种命题间的等价关系：
当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]下列命题中为真命题的是（ ）
A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点
C．互相包含的两个集合相等
D．空集是任何集合的真子集
解析：
选C A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．
2．[考点二]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（ ）
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
解析：
选D 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0”．
3．[考点二]命题“若△ABC有一个内角为
，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题（ ）
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：
选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为
”，它是真命题．故选D.
4．[考点二]有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中为真命题的是________（填写所有真命题的序号）．
解析：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.
答案：
①②③
突破点
（二） 充分条件与必要条件
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．充分条件与必要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒/
p
p是q的必要不充分条件
p⇒/
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒/q且q⇒/p
2.充分条件与必要条件和集合的关系
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
p是q的充分不必要条件
AB
p是q的必要不充分条件
BA
p是q的充要条件
A＝B
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
充分条件与必要条件的判断
[例1]
（1）（2016·四川高考）设p：
实数x，y满足x＞1且y＞1，q：
实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2）（2016·天津高考）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（ ）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
[解析]
（1）∵
∴x＋y＞2，即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/p．故p是q的充分不必要条件．
（2）当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．
[答案]
（1）A
（2）C
[方法技巧]
充分、必要条件的三种判断方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断．
（2）集合法：
根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
充分条件与必要条件的应用
[例2]
（1）命题“对任意x∈[1,2），x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．a≥1B．a>1
C．a≥4D．a>4
（2）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[解析]
（1）命题可化为∀x∈[1,2），a≥x2恒成立．
∵x∈[1,2），∴x2∈[1,4）．
∴命题为真命题的充要条件为a≥4.
∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.
（2）由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
解得0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[答案]
（1）D
（2）[0,3]
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数的思路方法
根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式（组），然后通过解方程或不等式（组）求出参数的值或取值范围．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]（2017·长沙四校联考）“x>1”是“log2（x－1）<0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 由log2（x－1）<0得01”是“log2（x－1）<0”的必要不充分条件，选B.
2．[考点二]已知“x>k”是“
<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞）B．[1，＋∞）
C．（2，＋∞）D．（－∞，－1]
解析：
选A 由
<1，得
－1＝
<0，解得x<－1或x>2.因为“x>k”是“
<1”的充分不必要条件，所以k≥2.
3．[考点一]（2017·太原模拟）“已知命题p：
cosα≠
，命题q：
α≠
”，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 若cosα≠
，则α≠2kπ±
（k∈Z），则α也必然不等于
，故p⇒q；若α≠
，但α＝－
时，依然有cosα＝
，故q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件．
4．[考点二]已知p：
x>1或x<－3，q：
x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（－∞，1]
C．[－3，＋∞）D．（－∞，－3）
解析：
选A 设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.
5．[考点一]已知函数f（x）＝
＋a（x≠0），则“f
（1）＝1”是“函数f（x）为奇函数”的________条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写）
解析：
若f（x）＝
＋a是奇函数，
则f（－x）＝－f（x），
即f（－x）＋f（x）＝0，
∴
＋a＋
＋a
＝2a＋
＋
＝0，
即2a＋
＝0，∴2a－1＝0，
即a＝
，f
（1）＝
＋
＝1.
若f
（1）＝1，即f
（1）＝
＋a＝1，
解得a＝
，
所以f（x）＝
＋
，f（－x）
＝
＋
＝－
－
＝－f（x），
故f（x）是奇函数．
∴“f
（1）＝1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件．
答案：
充要
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.（2014·新课标全国卷Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：
f′（x0）＝0；q：
x＝x0是f（x）的极值点，则（ ）
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：
选C 设f（x）＝x3，f′（0）＝0，但是f（x）是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p，则q是一个假命题，由极值的定义可得若q，则p是一个真命题．故选C.
2．（2012·新课标全国卷）下面是关于复数z＝
的四个命题：
p1：
|z|＝2；p2：
z2＝2i；p3：
z的共轭复数为1＋i；p4：
z的虚部为－1.
其中的真命题为（ ）
A．p2，p3B．p1，p2
C．p2，p4D．p3，p4
解析：
选C ∵复数z＝
＝－1－i，∴|z|＝
，z2＝（－1－i）2＝（1＋i）2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．
[课时达标检测]基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖
一、选择题
1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（ ）
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：
选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
2．“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 若（2x－1）x＝0，则x＝
或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出（2x－1）x＝0.故“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
3．“a<0，b<0”的一个必要条件为（ ）
A．a＋b<0B．a－b>0
C.
>1D.
<－1
解析：
选A 若a<0，b<0，则一定有a＋b<0，故选A.
4．已知命题p：
“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是（ ）
A．命题p的逆命题是“若xB．命题p的逆命题是“若x<2ab，则xC．命题p的否命题是“若xD．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”
解析：
选C 命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x5．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选A f（x）是定义在R上的奇函数可以推出f（0）＝0，但f（0）＝0不能推出函数f（x）为奇函数，例如f（x）＝x2.故选A.
6．原命题p：
“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．4
解析：
选C 当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．
7．“a＝2”是“函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选A “a＝2”可以推出“函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞）上为增函数”，但反之不能推出．故“a＝2”是“函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞）上为增函数”的充分不必要条件．
8．（2017·杭州模拟）已知条件p：
x＋y≠－2，条件q：
x，y不都是－1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 因为p：
x＋y≠－2，q：
x≠－1，或y≠－1，所以綈p：
x＋y＝－2，綈q：
x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p
綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
9．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
10．（2017·烟台诊断）若条件p：
|x|≤2，条件q：
x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞）B．（－∞，2]
C．[－2，＋∞）D．（－∞，－2]
解析：
选A p：
|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆（－∞，a]，即a≥2.
11．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A．①和②B．②和③
C．③和④D．②和④
解析：
选D 只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．
12．直线l：
y＝kx＋1与圆O：
x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 当k＝1时，l：
y＝x＋1，由题意不妨令A（－1,0），B（0,1），则S△AOB＝
×1×1＝
，所以充分性成立；当k＝－1时，l：
y＝－x＋1，也有S△AOB＝
，所以必要性不成立．
二、填空题
13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
解析：
“a＋b＋c＝3”的否定是“a＋b＋c≠3”，“a2＋b2＋c2≥3”的否定是“a2＋b2＋c2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：
若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3.
答案：
若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
14．有下列几个命题：
①“若a>b，则
>
”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－2其中真命题的序号是________．
解析：
①原命题的否命题为“若a≤b，则
≤
”，假命题．②原命题的逆命题为：
“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．
答案：
②③
15．已知p（x）：
x2＋2x－m>0，若p
（1）是假命题，p
（2）是真命题，则实数m的取值范围为________．
解析：
因为p
（1）是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p
（2）是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8）．
答案：
[3,8）
16．已知α：
x≥a，β：
|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：
α：
x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：
|x－1|<1，∴0答案：
（－∞，0]
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