幅相频率特性精.docx
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幅相频率特性精
5.2幅相频率特性(Nyquist图)
开环系统的幅相特性曲线是系统频域分析的依据,掌握典型环节的幅相特性是绘制开环
系统幅相特性曲线的基础。
在典型环节或开环系统的传递函数中,令s=j‘,即得到相应的频率特性。
令-■由小
到大取值,计算相应的幅值A(■)和相角:
(■),在G平面描点画图,就可以得到典型环节或开环系统的幅相特性曲线。
图5-8比例环节的
幅相频率特性
5.2.1典型环节的幅相特性曲线
1.比例环节
比例环节的传递函数为
G(s)=K
(5-22)
其频率特性为
G(「)=KjO=Ke
A(尸G(j)=K
()—G(j)=0
(5-23)
态正弦响应的振幅是输入信号的K倍,且响应与输入同相位2■微分环节
微分环节的传递函数为
G(s)=s
(5-24)
其频率特性为
(5-25)
微分环节的幅值与•■成正比,相角恒为90。
当=0>■--时,幅相特性从G
5-9曲线②所示。
积分环节的幅值与••成反比,相角恒为-90。
当>:
:
时,幅相特性从虚轴-r:
处出发,沿负虚轴逐渐趋于坐标原点,如图4■惯性环节
惯性环节的传递函数为
(5-28)
1
G(S)b
其频率特性为
(5-29)
申(国)=-arctanT®’
当,=0时,幅值A()=1,相角VH0;当•可以证明,惯性环节幅相特性曲线疋圆。
如图5-10所示。
证明如下:
将式(5-32)代入式(5-30)整理后可得
图5-10惯性环节的极点分布和幅相特性曲线
式(5-33)表明:
惯性环节的幅相频率特性符合圆的方程,圆心在实轴上1/2
处,半径为1/2。
从式(5-31)还可看出,X为正值时,Y只能取负值,这意味着曲线限于实轴的下方,只是半个圆。
例5-1已知某环节的幅相特性曲线如图5-11所示,当输入频率=1的正弦信号时,该环节稳态响应的相位迟后30,试确定环节的传递函数
解根据幅相特性曲线的形状,可以断定该环节传递函数形式为
惯性环节是一种低通滤波器,低频信号容易通过,而高频信号通过后幅值衰减较大。
对于不稳定的惯性环节,其传递函数为
1
G(s)=
Ts—1
其频率特性为
11
(5-34)
1A®)_22I
G(j■)1T■
T+jT怕茁
=—180"+arctariPq
当•.=0时,幅值A(J=1,相角「(•)=180;当川二二时,A(.)=0,
(■)=-90。
图5-12不稳定惯性环节的极点分布和幅相特性
分析s平面复向量s-5(由P1=1「T指向s二「)随」增加时其幅值和相角的变化规律,可以确定幅相特性曲线的变化趋势。
如图5-12(a)、(b)所示。
可见,与稳定惯性环节的幅相特性相比,不稳定惯性环节的幅值不变,但相角不同。
6.二阶振荡环节
二阶振荡环节的传递函数为
式中,「n=1丁为环节的无阻尼自然频率;•为阻尼比,0:
「:
:
:
1。
相应的频率
特性为
(5-41)
特性的形状与•值有关,当•值分别取0.4、0.6和0.8时,幅相曲线如图5-14所示。
ks=[0.40.60.8];om=10;
fori=1:
3
num=om*om;
den=[12*ks(i)*omom*om];
nyquist(num,den);axis('square');holdon;end
(1)
谐振频率'r和谐振峰值Mr
由图5-14可看出,■值较小时,随.=0r变化,G(j■)的幅值A(-)先增加然后再逐渐衰减直至0。
A(・J达到极大值时对应的幅值称为谐振峰值,记
为Mr,对应的频率称为谐振频率,记为-r。
以下推导Mr、•十的计算公式,因为
其频率特性为
”A®)(同稳定环节)
不稳定二阶振荡环节的相角从一360连续变化到-180。
不稳定振荡环节的极点分布与幅相曲线如图5-16所示。
(3)由幅相曲线确定G(s)
例5-2由实验得到某环节的幅相特性曲线如图5-17所示,试确定环节的
传递函数G(s),并确定其-,r、Mr。
解根据幅相特性曲线的形状可以确定G(s)的形式
G(S)・2YJ
其频率特性为
将图中条件A(0)=2代入式(5-45)得K=2
将:
:
(5)=-90代入式(5-46)得'n=5
K
A—)"代入式(5-45)有厂3
G(s)
_2疋52
50
212
s亠25s亠5
3
2
s3.33s25
由式(5-43)
由式(5-44)m——1=1=冬2
2^Jl-¥1J"Y8
2汉—和1--!
3\<3J
7.二阶复合微分环节
二阶复合微分环节的传递函数为
2
G(s)=T2s22Ts2—1
频率特性为
2;—
(,)=arctan
1
I2灼n
图5-18二阶复合微分环节的零点分布及幅相特性
不稳定二阶复合微分环节的频率特性为
CO2*0
Gj)=y
A(J二
(J=360-arctan
S-J«l
—
J
0\
r
2
2
42'
图5-19不稳定二阶复合微分环节的幅相特性
2
-'n
~2
零点分布及幅相特性曲线如图5-19所示
8.延迟环节
延迟环节的传递函数为
G(s)二
其幅相特性曲线是圆心在原点的单位圆所示),••值越大,其相角迟后量越大。
5.2.2开环系统的幅相特性曲线
如果已知开环频率特性G(j■),可令••由小到大取值,算出A()和:
(-)相应值,在G平面描点绘图可以得到准确的开环系统幅相特性。
实际系统分析过程中,往往只需要知道幅相特性的大致图形即可,并不需要绘出准确曲线。
可以将开环系统在s平面的零极点分布图画出来,令s=j•沿虚轴变化,当冷=0》:
:
时,分析各零极点指向的复向量的变化趋势,就可以概略画出开环系统的幅相特性曲线。
概略绘制的开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素:
(1)开环幅相曲线的起点(「=0)和终点(「八)。
(2)开环幅相曲线与实轴的交点
设^:
g时,G(j)的虚部为
lm[G(「g)]=0(5-47)
或
称*,g为相角交界频率,开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为
(3)开环幅相曲线的变化范围(象限、单调性)
例5-3单位反馈系统的开环传递函数G(s)为
丄
T2
T2
1「
G(s)=—vKv
s("十1)(丁25+1)ss+丄
分别概略绘出当系统型别v=0,1,2,3时的开环幅相特性。
解讨论v=1时的情形。
在s平面中画出G(s)的零极点分布图,如图5-21(a)所示。
系统开环频率特性为
T1T2
在s平面原点存在开环极点的情况下,为避免•=0时G(j)相角不确定,
我们取s二j•=j0作为起点进行讨论。
(0■到0距离无限小,如图5-21所示。
)
—I+1
s-山j00州=090'
11
s-p2=j0A2:
20、
11“
S-必=j0A3乙30
T2T2
K3
G(j0)=-i二二/90
ilA
id
除1=90夕卜,2,;:
3均由0连续增加,分别趋向于90
s「pi二j:
:
_0二Ai£1-:
:
.90
1
jA2—'2
Ti
由此可以概略绘出G(j■)的幅相曲线如图5-21(b)中曲线G1所示。
同理,讨论v=0,2,3时的情况,可以列出表5-2,相应概略绘出幅相曲线分别如图5-21(b)中G°,G2,G3所示。
表5-2例5-3结果列表
V
Gj)
G(j0")
Gj)
零极点分布
0
G°(jco)=K
(jT^+1)(jT2⑷+1)
KN0,
0/-180=
之
I
-.K
G1(jCO)=
j©(jT^+1)(jT2⑷+1)
叱—90:
0也-270:
IE丿
JL
圈-l/T.
II
K
G2(jcc)=2
(jo)2(jT^+1)(jT^+1)
-180
0£-360=
l-S|J
L
in
K
G3(jco)3
(jc)3(jT^+1)(jT^+1)
叱-270:
0三-450:
J'
5M
当系统在右半s平面不存在零、极点时,系统开环传递函数般可写为
(nm)
K®1心1),1)
sW「s+1)(T2s+1)…(TyS+1)
开环幅相曲线的起点G(j0)完全由K,确定,而终点G(产)则由n-m来确定
+u=0时
G(jO)l"90・"0时
G(产)=0・-90(n-■m)
而」=0•,二过程中G(j)的变化趋势,可以根据各开环零点、极点指向s二「的矢量之模、相角的变化规律概略绘出。
例5-4已知单位反馈系统的开环传递函数为
Gg:
k(1+2s)s2(0.5s1)(s1)
试概略绘出系统开环幅相曲线
解系统型别v=2,零点一极点分布图如图5-22(a)所示。
显然
(1)起点Gk(jO)-;-180
(2)终点Gk(j:
J=0.-270
(3)
与坐标轴的交点
图5-22极点一零点分布图与幅相特性曲线
概略幅相曲线如图5-22(b)所示