初中数学7-9年级因式分解12种方法.docx

初中数学7-9年级因式分解12种方法.docx

《初中数学7-9年级因式分解12种方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学7-9年级因式分解12种方法.docx（5页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初因式分解12种方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：

1提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.

例1、分解因式x-2x-x

x-2x-x=x（x-2x-1）

2应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.

例2、分解因式a+4ab+4b

a+4ab+4b=（a+2b）

3分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a（m+n）+b（m+n）,又可以提出公因式m+n,从而得到（a+b）（m+n）

例3、分解因式m+5n-mn-5m

m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n

=（m-5m）+（-mn+5n）

=m（m-5）-n（m-5）

=（m-5）（m-n）

4十字相乘法

对于mx+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）

例4、分解因式7x-19x-6

分析：

1-3

72

2-21=-19

7x-19x-6=（7x+2）（x-3）

5配方法

对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.

例5、分解因式x+3x-40

解x+3x-40=x+3x+（）-（）-40

=（x+）-（）

=（x++）（x+-）

=（x+8）（x-5）

6拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.

例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）

=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）

=（c+b）（c-a）（a+b）

7换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.

例7、分解因式2x-x-6x-x+2

2x-x-6x-x+2=2（x+1）-x（x+1）-6x

=x[2（x+）-（x+）-6

令y=x+,x[2（x+）-（x+）-6

=x[2（y-2）-y-6]

=x（2y-y-10）

=x（y+2）（2y-5）

=x（x++2）（2x+-5）

=（x+2x+1）（2x-5x+2）

=（x+1）（2x-1）（x-2）

8求根法

令多项式f（x）=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）

例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6

令f（x）=2x+7x-2x-13x+6=0

通过综合除法可知,f（x）=0根为,-3,-2,1

则2x+7x-2x-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）

9图象法

令y=f（x）,做出函数y=f（x）的图象,找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）

例9、因式分解x+2x-5x-6

令y=x+2x-5x-6

作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2

则x+2x-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）

10主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.

例10、分解因式a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）

分析：

此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列

a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）=a（b-c）-a（b-c）+（bc-cb）

=（b-c）[a-a（b+c）+bc]

=（b-c）（a-b）（a-c）

11利用特殊值法

将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.

例11、分解因式x+9x+23x+15

令x=2,则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值

则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.

例12、分解因式x-x-5x-6x-4

分析：

易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.

设x-x-5x-6x-4=（x+ax+b）（x+cx+d）

=x+（a+c）x+（ac+b+d）x+（ad+bc）x+bd

所以解得

则x-x-5x-6x-4=（x+x+1）（x-2x-4）