高中数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题及答案.docx

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高中数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题及答案

高中数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题及答案

高二数学函数的单调性与函数的奇偶性苏教版

【本讲教育信息】

一.教学内容：

函数的单调性与函数的奇偶性

二.教学目标：

（1）理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题。

（2）掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题。

三.教学重点：

函数单调性的判断和函数单调性的应用。

函数奇偶性的定义及应用。

四.教学难点：

函数单调性与奇偶性的运用。

五.知识归纳：

（一）概念

1.函数单调性的定义：

对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当时，都有，则说在这个区间上是增函数；⑵若当时，都有，则说在这个区间上是减函数.

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2.函数奇偶性的定义：

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=

f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。

3.奇偶函数的性质：

（1）定义域关于原点对称；

（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；

4.为偶函数.

5.若奇函数的定义域包含，则.

（二）主要方法：

1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2.判断函数的单调性的方法有：

（1）用定义；

（2）用已知函数的单调性；

（3）利用函数的导数.

3.注意函数单调性的应用；

4.判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；

5.牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；

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6.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：

，。

7.设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.

【典型例题】

例1.判断下列各函数的奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）.

解：

（1）由，得定义域为，关于原点不对称

为非奇非偶函数。

（2）由得定义域为

为偶函数

（3）当时，，则，

当时，，则，

综上所述，对任意的，都有，为奇函数.

例2.

（1）求函数的单调区间；

（2）已知若试确定的单调区间和单调性.

解：

（1）单调增区间为：

单调减区间为，

（2），，

令，得或，令，或

单调增区间为；单调减区间为

例3.已知函数对一切，都有

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（1）求证：

是奇函数；

（2）若，用表示。

解：

（1）显然的定义域是，它关于原点对称。

在中，

令，得，令，得

，即

是奇函数.

（2）由，及是奇函数，

得。

例4.

（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为。

（2）（《高考计划》考点3“智能训练第4题”）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则（）

例5.设，是上的偶函数。

（1）求的值；

（2）证明在上为增函数。

解：

（1）依题意，对一切，有

即

对一切成立，则

（2）设，则

由

得，

即，在上为增函数。

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例6.已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时。

（1）求证：

是偶函数；

（2）在上是增函数；

（3）解不等式。

解：

（1）令，得

，令，得，

是偶函数。

（2）设

则

即，

在上是增函数。

（3），

∵是偶函数，不等式可化为

又∵函数在上是增函数

解得：

，

即不等式的解集为。

例7.函数在上是增函数，求的取值范围。

分析：

由函数在上是增函数可以得到两个信息：

①对任意的总有；

②当时，恒成立。

解：

∵函数在上是增函数

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对任意的有

即

得

即

∵，要使恒成立，只要；

又∵函数在上是增函数，，

即，综上的取值范围为.

另解：

（用导数求解）令，函数在上是增函数

在上是增函数，，

，且在上恒成立，得。

例8.设为实数，函数，。

（1）讨论的奇偶性；

（2）求的最小值。

解：

（1）当时，，此时为偶函数；

当时，，

此时函数既不是奇函数也不是偶函数.

（2）①当时，函数，

若，则函数在上单调递减

函数在上的最小值为；

若，函数在上的最小值为，且.

②当时，函数，

若，则函数在上的最小值为，且；

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若，则函数在上单调递增

函数在上的最小值为

综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是。

【模拟试题】

1.下面四个结论：

①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR），其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.函数F（x）=（1+2/（2x-1））f（x）（x0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）（）

A.是偶函数B.是奇函数

C.既是奇函数，又是偶函数D.非奇非偶函数

3.已知函数f（x）=x2+lg（x+），若f（a）=M，则f（-a）等于（）

A.M-2a2B.2a2-MC.2M-a2D.a2-2M

4.若对正常数m和任意实数x，等式成立，则下列说法正确的是（）

A.函数是周期函数，最小正周期为2m

B.函数是奇函数，但不是周期函数

C.函数是周期函数，最小正周期为4m

D.函数是偶函数，但不是周期函数

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5.已知f（x）是定义在R上的偶函数，它在上递减，那么一定有（）

A.B.

C.D.

6.已知y=f（x）是偶函数，且在上是减函数，则f（1－x2）是增函数的区间是（）

A.B.C.D.

7.函数y=loga|x+1|在（－1，0）上单调递减，则y在（－，－1）上是（）

A.由负到正单调递增B.由正到负单调递减

C.单调递减且恒为正数D.时增时减

8.设函数f（x）=（a0），求a的取值范围，使函数f（x）在区间[0，+）上是单调函数。

9.函数y=的递减区间是

10.函数y=lncos（）的递减区间是

11.函数y=loga（2-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是

12.设奇函数f（x）在[0，+）上是增函数，若对于任意实数x，不等式f（kx）+f（x-x2-2）0恒成立，求实数k的取值范围。

13.已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。

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①证明：

；

②求的解析式；

③求在上的解析式。

14.甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（单位：

千米/小时）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元。

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

【试题答案】

1.A2.A3.B4.C5.B6.D7.A

8.当a1时，f（x）递减；

当01时，存在两点x1=0，x2=2a/（1-a2），f（x1）=f（x2）=1，故无单调性。

9.（－，－3）

10.[6kp-3p/4，6kp+3p/4]kZ

11.（1，2）

12.－2-12-1

13.解：

∵是以为周期的周期函数

又∵是奇函数，，

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②当时，由题意可设，

由得，，

③∵是奇函数，，

又知在上是一次函数

可设，而，

，当时，，

从而当时，，故时，

当时，有，

当时，，

14.解：

（1）由已知汽车从甲地到乙地所用时间为全程运

输成本为故所求函数及其定义域为v都是正数，故有，S，ab，）依题意（2，并且v＞0－＞由于vv0，v

即＞又S0，所以

y取最小值时，则当v=c

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