人教版数学A选修12 第2章 212 演绎推理.docx

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人教版数学A选修12第2章212演绎推理

2.1.2　演绎推理

1．理解演绎推理的意义．（重点）

2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．（难点）

3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．（易混点）

[基础·初探]

教材整理　演绎推理

阅读教材P30～P32的内容，完成下列问题．

1．演绎推理

（1）含义：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．

（2）特点：

由一般到特殊的推理．

2．三段论

一般模式

常用格式

大前提

已知的一般原理

M是P

小前提

所研究的特殊情况

S是M

结论

根据一般原理，对特殊情况做出的判断

S是P

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）演绎推理一般模式是“三段论”形式．（　　）

（2）演绎推理的结论是一定正确的．（　　）

（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．（　　）

【解析】　

（1）正确．演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论．

（2）错误．在演绎推理中，只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的．

（3）错误．演绎推理是由一般到特殊的推理．

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）×

[小组合作型]

把演绎推理写成三段论的形式

　将下列演绎推理写成三段论的形式．

（1）一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；

（2）三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；

（3）菱形的对角线互相平分；

（4）通项公式为an＝3n＋2（n≥2）的数列{an}为等差数列．

【精彩点拨】　首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．

【自主解答】　

（1）一切奇数都不能被2整除．（大前提）

75不能被2整除．（小前提）

75是奇数．（结论）

（2）三角形的内角和为180°.（大前提）

Rt△ABC是三角形．（小前提）

Rt△ABC的内角和为180°.（结论）

（3）平行四边形的对角线互相平分．（大前提）

菱形是平行四边形．（小前提）

菱形的对角线互相平分．（结论）

（4）数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．（大前提）

通项公式an＝3n＋2，n≥2时，

an－an－1＝3n＋2－[3（n－1）＋2]＝3（常数）．（小前提）

通项公式为an＝3n＋2（n≥2）的数列{an}为等差数列．（结论）

1．三段论推理的根据，从集合的观点来讲，若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.

2．演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其结论一定是正确的．

[再练一题]

1．把下列推断写成三段论的形式．

（1）三段论：

“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是（　　）

A．①　　B．②　　

C．①②　　D．③

（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．

【解析】　

（1）大前提为①，小前提为③，结论为②.

【答案】　D

（2）两个角是对顶角，则这两个角相等，（大前提）

∠1和∠2是对顶角，（小前提）

∠1和∠2相等．（结论）

演绎推理的应用

　如图219所示，D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：

DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．

图219

【精彩点拨】　用三段论的模式依次证明：

（1）DF∥AE；

（2）四边形AEDF为平行四边形；（3）DE＝AF.

【自主解答】　

（1）同位角相等，两直线平行，（大前提）∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，（小前提）所以DF∥AE.（结论）

（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）

DE∥BA且DF∥EA，（小前提）

所以四边形AFDE为平行四边形．（结论）

（3）平行四边形的对边相等，（大前提）

DE和AF为平行四边形的对边，（小前提）

所以ED＝AF.（结论）

1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．

2．数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．

[再练一题]

2．已知：

在如图2110所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝DC＝AB，AC和BD是它的对角线．

图2110

求证：

AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.

【证明】　大前提：

等腰三角形的两底角相等；

小前提：

△ADC是等腰三角形，DA，DC是两腰；

结论：

∠1＝∠2.

大前提：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；

小前提：

∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角；

结论：

∠1＝∠3.

大前提：

等于同一个量的两个量相等；

小前提：

∠2和∠3都等于∠1；

结论：

∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.

同理可证BD平分∠ABC.

[探究共研型]

合情推理与演绎推理的综合应用

探究1　我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？

类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．

【提示】　如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．

探究2　若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．

【提示】　由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝

其前n项和公式Sn＝

探究3　设f（x）＝

，先分别求f（0）＋f

（1），f（－1）＋f

（2），f（－2）＋f（3），然后归纳出一个一般结论，并给出证明．

【提示】　f（0）＋f

（1）＝

＋

＝

＋

＝

＋

＝

.

同理f（－1）＋f

（2）＝

，f（－2）＋f（3）＝

.

由此猜想：

当x1＋x2＝1时，f（x1）＋f（x2）＝

.

证明：

设x1＋x2＝1，

则f（x1）＋f（x2）＝

＋

＝

＝

＝

＝

.

故猜想成立．

　如图2111所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．

（1）求证：

O为△BCD的垂心；

（2）类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．

图2111

【精彩点拨】　

（1）利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的重心．

（2）先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．

【自主解答】　

（1）证明：

∵AB⊥AD，AC⊥AD，

∴AD⊥平面ABC，

∴AD⊥BC，

又∵AO⊥平面BCD，

∴AO⊥BC，

∵AD∩AO＝A，

∴BC⊥平面AOD，

∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，

∴O为△BCD的垂心．

（2）猜想：

S

＋S

＋S

＝S

.

证明：

连接DO并延长交BC于E，

连接AE，BO，CO，

由

（1）知AD⊥平面ABC，

AE⊂平面ABC，

∴AD⊥AE，又AO⊥ED，

∴AE2＝EO·ED，

2＝

·

，

即S

＝S△BOC·S△BCD.

同理可证：

S

＝S△COD·S△BCD，S

＝S△BOD·S△BCD.

∴S

＋S

＋S△ABD＝S△BCD·（S△BOC＋S△COD＋S△BOD）＝S△BCD·S△BCD＝S

.

合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.

[再练一题]

3．已知命题：

“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝

（n∈N*）也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？

并证明你的结论.【导学号：

81092016】

【解】　类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：

若数列{an}是等差数列，则数列bn＝

也是等差数列．

证明如下：

设等差数列{an}的公差为d，则bn＝

＝

＝a1＋

（n－1），

所以数列{bn}是以a1为首项，

为公差的等差数列．

1．演绎推理中的“一般性原理”包括（　　）

①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验．

A．①②B．①③

C．②③D．①②③

【解析】　演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”“定义、定理、公理等”．

【答案】　A

2．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三

（1）班有55人，

（2）班有54人，（3）班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人

C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

D．在数列{an}中，a1＝1，an＝

（n≥2），通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式

【解析】　A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．

【答案】　A

3．用三段论证明命题：

“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理（　　）

A．大前提错误B．小前提错误

C．推理形式错误D．是正确的

【解析】　这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．

【答案】　A

4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：

大前提：

________________________________________________________；

小前提：

________________________________________________________；

结论：

___________________________________________________________.

【答案】　一次函数的图象是一条直线

函数y＝2x＋5是一次函数

函数y＝2x＋5的图象是一条直线

5．用三段论的形式写出下列演绎推理．

（1）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；

（2）y＝cosx（x∈R）是周期函数．

【解】　

（1）因为矩形的对角线相等，（大前提）

而正方形是矩形，（小前提）

所以正方形的对角线相等．（结论）

（3）因为三角函数是周期函数，（大前提）

而y＝cosx（x∈R）是三角函数，（小前提）

所以y＝cosx（x∈R）是周期函数．（结论）

学业分层测评

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．下面几种推理中是演绎推理的为（　　）

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：

金属都可导电

B．猜想数列

，

，

，…的通项公式为an＝

（n∈N＋）

C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π

D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（x－a）2＋（y－b）2＋（z－c）2＝r2

【解析】　A，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理．

【答案】　C

2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：

a＜b.

证明：

∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的（　　）

A．大前提B．小前提

C．结论D．三段论

【解析】　结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．

【答案】　B

3．“因为对数函数y＝logax是增函数（大前提），而y＝

x是对数函数（小前提），所以y＝

x是增函数（结论）．”上面推理错误的是（　　）

A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提都错导致结论错

【解析】　大前提y＝logax是增函数错误，当0

【答案】　A

4．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为（　　）

A．三角形的中位线平行于第三边

B．三角形的中位线等于第三边的一半

C．EF为中位线

D．EF∥CB

【解析】　三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论，本题中指：

三角形的中位线平行于第三边，故选A.

【答案】　A

5．已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.

其中正确的命题个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

【解析】　①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.

【答案】　B

二、填空题

6．以下推理过程省略的大前提为________．

因为a2＋b2≥2ab，

所以2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab.

【解析】　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：

若a≥b，则a＋c≥b＋c.

【答案】　若a≥b，则a＋c≥b＋c

7．命题：

“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”．学生小夏这样证明：

设a，b与面α分别相交于A，B，连接A，B，

∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α，①

∴a⊥AB，b⊥AB，②

∴a∥b.③

这里的证明有两个推理，即：

①⇒②和②⇒③.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．

【解析】　②⇒③时，大前提错误，导致结论错误．

【答案】　②⇒③

8．“如图2112，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：

∠ACD>∠BCD”．

图2112

证明：

在△ABC中，

因为CD⊥AB，AC>BC，①

所以AD>BD，②

于是∠ACD>∠BCD③

则在上面证明的过程中错误的是________（填序号）．

【解析】　由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．

【答案】　③

三、解答题

9．用三段论证明通项公式为an＝cqn（c，q为常数，且cq≠0）的数列{an}是等比数列．

【证明】　设an＋1，an是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列（大前提），

因为

＝

＝q（常数）（小前提），

所以{an}是等比数列（结论）．

10．已知a>0且函数f（x）＝

＋

是R上的偶函数，求a的值．

【解】　由于f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x）对x∈R恒成立，即

＋

＝

＋

，所以

＋a·2x＝

＋

，整理得

（2x－2－x）＝0，必有a－

＝0.又因为a>0，所以a＝1.

[能力提升]

1．下面是一段“三段论”推理过程：

若函数f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f′（x）>0恒成立．因为f（x）＝x3在（－1,1）内可导且单调递增，所以在（－1,1）内，f′（x）＝3x2>0恒成立．以上推理中（　　）

A．大前提错误B．小前提错误

C．结论正确D．推理形式错误

【解析】　f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f′（x）≥0恒成立，故大前提错误，选A.

【答案】　A

2．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（　　）

A．自然数集B．整数集

C．有理数集D．无理数集

【解析】　A错，因为自然数集对减法不封闭；B错，因

为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法（除数不等于零）四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．

【答案】　C

3．若f（a＋b）＝f（a）f（b）（a，b∈N*），且f

（1）＝2，则

＋

＋…＋

＝________.

【解析】　∵f（a＋b）＝f（a）f（b）（a，b∈N*）（大前提）．

令b＝1，则

＝f

（1）＝2（小前提）．

∴

＝

＝…＝

＝2（结论），

∴原式＝

＝2018.

【答案】　2018

4．在同一平面内，若P，A，B三点共线，则对于平面上任意一点O，有

＝λ

＋μ

，且λ＋μ＝1.对这个命题证明如下：

【证明】　因为P，A，B三点共线，所以

＝m

，即

－

＝m（

－

），整理得

＝（1－m）

＋m

，因为（1－m）＋m＝1，所以λ＋μ＝1.

请把上述结论和证明过程类比到空间向量．

【解】　类比到空间向量，所得结论为：

在空间中，若P，A，B，C四点共面，则对于空间中任意一点O，有

＝x

＋y

＋z

，且x＋y＋z＝1.对这个命题证明如下：

证明：

因为P，A，B，C四点共面，

所以

＝λ

＋μ

，

即

－

＝λ（

－

）＋μ（

－

），

整理得

＝（1－λ－μ）

＋λ

＋μ

，

因为（1－λ－μ）＋λ＋μ＝1，

所以x＋y＋z＝1.