金山中学九年级上数学竞赛试题6含答案.docx

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金山中学九年级上数学竞赛试题6含答案

2018年第一学期金山中学九年级数学竞赛试题（6）

一、选择题：

1、已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3

2、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36º，CD是角平分线，则△DBC的面积与△ABC面积的比值是（　　）

（A）（B）（C）（D）

3、某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：

同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．

如果令其中i=1，2，…，50；j=1，2，…，50．则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（）

（A）+…+…+

（B）+…+…+

（C）++…+

（D）++…+

4、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=，那么AC的长等于（　　）

（A）12　（B）16（C）　（D）

5、当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）

（A）－1.（B）1.（C）0.（D）2007.

6、设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是（）

（A）等腰三角形.（B）锐角三角形.（C）钝角三角形.（D）直角三角形.

7、设分式不是最简分数，那么正整数n的最小值可能是（）

（A）84　　（B）68　　（C）45　　（D）115

二、填空题：

1、已知对于任意正整数n，都有，则．

2、按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为．

3、在锐角三角形ABC中，∠A=50º，AB＞BC，则∠B的取值

　范围是　　　　．

4、已知A，B，C，D四人的体重均为整数千克，其中A最轻，其次是B，C，D，以他们中的每两人为一组称得的体重如下（单位：

千克）：

45，　49，　54，　55，　60，　64．则D的体重为千克

5、如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB=6cm，AC=4cm，∠A=60°，则AD的长为cm．

6．设…，为实数，且满足

…=…=…=…=…=1，

则的值是．

7．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．

8．正整数M的个位上的数字与数的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于．

9、若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是_______.

10、已知：

，则的值

为.

三、解答题：

1、已知二次函数的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且．

（1）求该二次函数的解析表达式；

（2）将一次函数y=x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．

2、设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.

3、如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：

∠=∠.

4、有40组CASIO卡片，每组均由C，A，S，I,O五张卡片按C,A,S,I,O顺序由上而下叠放而成，现将这40组卡片由上至下叠放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三章丢掉，把第四张放在最底层，…，如此继续下去，直至最后只剩下一张卡片。

（1）在上述操作过程中，当只剩88张卡片时，一共丢掉了多少张卡片S？

（2）最后一张卡片是哪一组的哪一张卡片？

5、甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：

先在三张纸片上各写三个正整数p，q，r，使p

经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问p，q，r分别是哪三个正整数？

为什么？

参考答案

一、1、答：

（D）．

解：

设是它们的一个公共实数根，则

，，．

把上面三个式子相加，并整理得．

因为，所以．于是

．

故选（D）．

2、答案：

C

解：

如图所示，易证AD=DC=BC，△CDB∽△ABC．

所以　，，．

可解得　．

所以　=．

3、答案：

C

解：

由题意得C正确．

4、答案：

B

解：

在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，则

△OGC≌△OAB，所以OG=OA=，

∠AOG=90°，所以△AOG是等腰直角三角形，AG=，

所以AC=16．

5、【答】C.

解因为，

即当分别取值，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；

而当时，.

因此，当分别取值，，，…，，，，…，，，

时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）.

6、【答】D.

解由题意可得即

所以，，因此，

所以△是直角三角形.故选（D）.

7、解：

设d是（n-13）与5n+6的一个公约数，则d︱（n-13）,d︱（5n+6）,∴d︱,

∴d︱71,∵71是质数，∴d=71,∵d︱（n-13）,∴n-13≥71,∴n≥84,n的最小值是84，选（A）

二、1、答：

．

解：

当≥2时，有

，

，

两式相减，得，

所以

因此

．

2、答案：

解：

作如图所示的辅助线，易知小正方形的边长是，故所求周长为．

3、答案：

40º＜∠B＜80°

解：

如图，当BC最短时，∠ABC＝40º，现以B为圆心，AB长为半径画弧交直线AC于点C1，当BC1长等于AB时，

∠ABC1＝80º，所以40º＜∠B＜80º．

4、答案：

35

解：

∵A＋B=45，……①

A＋C=49，……②

C＋D=64，

B＋D=60，

②－①，得C－B=4，则B＋C=B＋（B＋4）=2×B＋4为偶数．

在54千克与55千克中，只有54为偶数，∴B=25，∴D=35．

5、答案：

解：

由S△ABC=S△ABD+S△ADC，得

=．

解得AD=．

6．答案：

1，或

解：

由已知，…=1，…=1，

解得．

所以，或．

7．答案：

解：

设甲跑完x条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x厘米，

乙走了厘米，于是

解得．因x是整数，所以x=8，

即经过==秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．

答案：

36

8.解：

的个位数字是7，

所以可设，其中k是m位正整数，则．

由条件N=4M，得=，即．

当m=5时，k取得最小值17948．所以T=179487，它的各位数字之和为36．

9、___17____.

解设，，则，两式相减得

，因为101是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.

所以

10、解：

由已知条件知，，，，于是有

，

所以

=

=3

11、解：

。

把边长为1的等边三角形分成大小相同的16个小正三角形，其边长为，

由抽屉原理知，至少有2个点落在同一个三角形中，则这两点距离不超过，故的最大值是。

三、1、解：

（1）由B（0，4）得，c=4．G与x轴的交点A（，0），

由条件，得，所以=，即A（，0）．

所以解得所求二次函数的解析式为．

（2）设图象L的函数解析式为y=x+b，因图象L过点A（，0），

所以，即平移后所得一次函数的解析式为

y=．

令=，

解得，．

将它们分别代入y=，

得，．

所以图象L与G的另一个交点为C（，9）．

如图，过C作CD⊥x轴于D，则

S△ABC=S梯形BCDO-S△ACD-S△ABO

==15．

2、解因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为

由题意，，即，即

由题意知，，且上式对一切实数恒成立，所以

所以或

3、证明设与交于点，∵//，

∴△∽△，∴,

∴.…………………………………5分

又∵//，∴△∽△，∴,

∴.………………………………10分

故………………………………

又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC

∴∠ANF＝∠EDM.

又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.

∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.………

4、解：

（1）40组CASIO卡片共计200张，将200张卡片由上至下依次编号为：

1，2，3，…，200，由操作法则知，当丢掉100张卡片时剩下卡片编号为2，4，6，…，200，若再丢掉12张卡片，涉及的卡片有24张，编号为2，4，6，…，48，丢掉12的卡片为2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，其中被丢掉的卡片S有两张（编号为18，38）。

丢掉100张卡片时，有20张卡片S，所以当只剩88张卡片时，以供丢掉了22张卡片S。

（2）若只有128张卡片（），则最后一张被丢掉的是编号为128的卡片。

∵128＜200＜256，当丢掉72张卡片时，涉及卡片共144张，在剩下的128张卡片中，最后一张的编号为144。

144＝5×28＋4，∴最后一张卡片为第29组的第四张卡片I。

5、每一轮中三人得到的糖块数之和为，

设他们共分n轮，则①。

因为39=1×39=3×13，且，否则拿到纸片p的人得到的糖块总数为0，与已知矛盾，

所以n=3或n=13。

由于每个人所得的糖块总数是他拿到纸片上的数的总和减去np，由丙的情况得到9=18－np，

所以，p≥1，所以，只有n=3，所以p=3。

把n=3，p=3代入①式得到：

，

又乙得到的糖块总数为10，最后一轮得到（r－3）块，得r－3≤10，r≤13。

若r≤12，则乙最后一轮拿到的纸片为r，所得糖块数为r－p≤9，这样乙必定要在前两轮中再抽得一张q或r，这样乙得到的糖块总数一定大于等于，这与乙得到的糖块数为10矛盾。

所以r>12。

因为12

综上得，，。

甲、乙、丙三人在三轮中抽得的纸片上数字如下表：

轮次

甲

乙

丙

第一轮

r=13

p=3

q=6

第二轮

r=13

p=3

q=6

第三轮

r=3

r=13

q=6