同济大学高数上册知识点.docx
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同济大学高数上册知识点
高等数学上册复习要点
」、函数与极限
（一）函数
1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
2、反函数、复合函数、函数的运算；
3、初等函数：
幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;
4、函数的连续性与间断点；
函数f（x）在Xo连续>limf（x）f（x°）
xX0
‘第一类：
左右极限均存在.
间断点<可去间断点、跳跃间断点
<第二类：
左右极限、至少有一个不存在.
无穷间断点、振荡间断点
5、闭区间上连续函数的性质：
有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.
（二）极限
1、定义
1）数列极限
limxna
n
0,
N,
nN,
Xn
a
函数极限
limf（x）
xXo
A
0,0,
x,当0
X
X。
时，
f（x）A
左极限：
f（Xo）
lim
XXo
f（x）
右极限:
f（X0）
lim
XX0
f（x）
limf（x）
xXo
A存在
f（x°）
f（x°）
2、极限存在准则
1）夹逼准则:
1）yXnZn（nn°）
AIA
2）limylimznalimxna
厶丿nnJn
2）单调有界准则：
单调有界数列必有极限.
3、无穷小（大）量
1）定义：
若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.
2）
x~sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx
无穷小的阶：
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小
Th1
〜o（）；
Th2
〜,〜,lim一存在，
则
lim—
lim（无穷小代换）
4、
求极限的方法
1）
单调有界准则；
2）
夹逼准则；
3）
极限运算准则及函数连续性；
4）
两个重要极限：
sinx
a）lim01
7x0x
b）
lim（1
x0
丄1x
x）xlim（1-）xexx
5）
无穷小代换：
（x0）
a）
c）
（a1〜xlna）
d）ln（1x）〜x（loga（1x）〜話）
e）（1x）1~x
导数与微分
导数
函数f（x）在Xo点可导f（Xo）f（Xo）
2、几何意义：
f（Xo）为曲线yf（x）在点Xo,f（Xo）处的切线的斜率.
3、可导与连续的关系：
4、求导的方法
1）导数定义；
2）基本公式；
3）四则运算；
4）复合函数求导（链式法则）；
5）隐函数求导数；
6）参数方程求导；
7）对数求导法.
5、高阶导数
d2yddy
1）定义：
dx2dxdx
（二）微分
三、微分中值定理与导数的应用
（一）中值定理
1、Rolle罗尔定理：
若函数f（x）满足:
1）f（x）
C[a,b]；2）f（x）
D（a,b）；3）f（a）f（b）；
则
（a,b）,使f（）0.
2、Lagrange
拉格朗日中值定理*:
若函数f（x）满足：
1）f（x）
C[a,b]；2）f（x）
D（a,b）；
贝S
（a,b）,使f（b）f（a）
f（）（ba）.
3、Cauchy柯西中值定理：
若函数f（X）,F（X）满足:
1）f（x）,F（x）C[a,b]；2）f（x）,F（x）D（a,b）；）F（x）0,x（a,b）
（时使加丄
（2）洛必达法则
（3）Taylor公式
（4）单调性及极值
1、单调性判别法：
f（x）C[a,b]，f（x）D（a,b），则若f（x）0，则
f（x）单调增加；则若f（x）0，则f（x）单调减少.
2、极值及其判定定理：
a）必要条件：
f（x）在X。
可导，若X。
为f（x）的极值点，贝Sf（xo）0.
b）第一充分条件：
f（x）在xo的邻域内可导，且f（xo）0，则①若当xxo时，f（X）0，当Xxo时，f（X）0,则X。
为极大值点；②若当Xxo时，f（x）0,当xX。
时，f（x）0,则X。
为极小值点；③若在X。
的两侧f（X）不变号，则x0不是极值点.
c）第二充分条件：
f（x）在x0处二阶可导，且f（x°）0,f（Xo）0，则①若f（Xo）0，则Xo为极大值点；②若f（Xo）0，则xo为极小值点.
3、凹凸性及其判断，拐点
X1X2\f（x1）f（x2）
1）f（x）在区间I上连续，若Xi,X2I,七-，则称f（x）在
”x1x2f（x1）f（x2）
区间I上的图形是凹的；若Xi,X2I,f（——2-，则称f（X）在
区间I上的图形是凸的.
2）判定定理：
f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）上有一阶、二阶导数，则
a）若x（a,b）,f（x）0,则f（x）在［a,b］上的图形是凹的；
b）若x（a,b）,f（x）0,则f（x）在［a,b］上的图形是凸的.
3）拐点：
设yf（X）在区间I上连续，xo是f（X）的内点，如果曲线yf（x）经过点（xo,f（xo））时，曲线的凹凸性改变了，则称点（xo,f（xo））为曲线的拐点.
（五）不等式证明
1、利用微分中值定理；
2、利用函数单调性；
3、利用极值（最值）
六）方程根的讨论
1、连续函数的介值定理；
2、Rolle定理；
3、函数的单调性；
4、极值、最值；
5、凹凸性.
七）渐近线
四、不定积分
（一）概念和性质
1、原函数：
在区间I上，若函数F（x）可导，且F（x）f（x），则F（x）称为
f（x）的一个原函数.
2、不定积分：
在区间|上，函数f（x）的带有任意常数的原函数称为f（x）在区间I上的不定积分.
3、基本积分表（P188，13个公式）；
4、性质（线性性）.
）换元积分法
1、第一类换元法（凑微分）：
f[（x）]（x）dxf（u）duu（x）
2、第二类换元法（变量代换：
三角代换、倒代换、根式代换等）：
f（x）dx
f[
（t）]
（t）dtt1（x）
（三）分部积分法：
udv
uv
vdu（反对幕指三，前u后v'
（四）有理函数积分
1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、
倒代换、根式代换等）.
五、定积分
（一）概念与性质:
n
lim0f（i）Xi
i1
2、性质：
（7条）
性质7（积分中值定理）
函数f（x）在区间［a,b］上连续，则
[a,b]，使
b
b
f（x）dxf（）（ba）
a
f（x）dx
（平均值：
f（）aba）
（二）微积分基本公式（N—L公式）
x
1、变上限积分：
设（x）f（t）dt，则（x）f（x）
a
d（x）
推广：
丁（）f（t）dtf[（x）]（x）f[（x）]（x）
dx（x）
F（b）F（a）
b
2、N—L公式：
若F（x）为f（x）的一个原函数，贝Saf（x）dx
a
（三）换元法和分部积分
1、换元法：
b
f（x）dxf
a
[（t）]（t）dt
2、分部积分法：
b
udv
a
bb
uvavdu
aa
（四）反常积分
1、无穷积分
f（x）dx
a
lim
t
t
f（x）dx
a
b
f（x）dx
lim
t
b
tf（x）dx
f（x）dx
0
f（x）dx0
f（x）dx
2、瑕积分：
b
f（x）dx
a
lim
ta
b
tf（x）dx
（a为瑕点）
b
f（x）dx
a
lim
tb
t
f（x）dx
a
（b为瑕点）
两个重要的反常积分:
1）
dx
axp
2）
bdx
a（xa）q
bdx
a（bx）q
（ba）1q
1q
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