计算方法练习题与答案.docx
《计算方法练习题与答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法练习题与答案.docx（39页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
计算方法练习题与答案
练习题与答案
练习题一
练习题二
练习题三
练习题四
练习题五
练习题六
练习题七
练习题八
练习题答案
练习题一
一、是非题
1.
x*
–12.0326作为x的近似值一定具有
6位有效数字，且其误差限
1
104
（
）
2
。
2.
对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
（
）
3.
一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
（
）
x2
4.
1
（
）
用
2近似表示cosx产生舍入误差。
5.
3.14和
3.142作为
的近似值有效数字位数相同。
（）
二、填空题
3
4
9
y12
2
3
1.
为了使计算
x1
x1
x1的乘除法次数尽量少，应将该
表达式改写为；
2.
x*
–0.003457是x舍入得到的近似值，它有
位有效数字，误差限
为
，相对误差限为
；
3.
误差的来源是
；
4.
截断误差为
；
5.
设计算法应遵循的原则是
。
三、选择题
1．x*
–0.026900作为x的近似值，它的有效数字位数为（）。
（A）7；
（B）3；
（C）不能确定
（D）5.
2．舍入误差是（
）产生的误差。
（A）只取有限位数（B）模型准确值与用数值方法求得的准确值
（C）观察与测量（D）数学模型准确值与实际值
3．用1+x近似表示ex所产生的误差是（
）误差。
（A）.模型
（B）.观测
（C）.截断
（D）.舍入
*
1
2
．用
2
表示自由落体运动距离与时间的关系式
（g为重力加速度），st是在
4s=
gt
时间t内的实际距离，则sts*是（
）误差。
（A）.舍入
（B）.观测
（C）.模型
（D）.截断
5．1.41300作为2的近似值，有（）位有效数字。
（A）3；（B）4；（C）5；（D）6。
四、计算题
22
1．3.142，3.141，7分别作为的近似值，各有几位有效数字？
2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为
多少？
3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：
1
1
x,|x|
1
1
1
dt|x|
1
x
（1）1
2x
1
x
，
（2）x
1
t2
（3）ex
1,
|x|1，
（4）ln（
x2
1x）x
1
1
4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=2gt2，g为重力加速度。
现设g是精确的，而对t有0.1秒的测量误差，证明：
当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
5*.采用迭代法计算
7，取
x0
2
xk
1
1
（xk
7
）
2
xk
k=0,1,
⋯,
若xk是7的具有n位有效数字的近似值，求证
xk1是
7的具有2n位有效
数字的近似值。
练习题二
一、是非题
1.
单点割线法的收敛阶比双点割线法低。
（
）
2.
牛顿法是二阶收敛的。
（
）
3.
求方程x3
x10在区间[1,2]内根的迭代法总是收敛的。
（
）
4.
迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。
（
）
5.求非线性方程f（x）=0根的方法均是单步法。
（）
二、填空题
1.1.用二分法求非线性方程f（x）=0在区间（a,b）内的根时，二分n次后的误差
限为；
1.
2.
设f（x）可微,求方程x
f（x）的牛顿迭代格式是
；
2.
3.
用二分法求方程x3
x
10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区
间为
，要求准确到10
3，则至少应二分
次；
3.
4.
（x）x
（x2
5），要使迭代格式xk1
（xk）局部收敛到x*
5，则
的取值范围是
；
4.
5.
求方程x3
x4
0根的单点割线法是
，其收敛阶为
；
双点割线法是
，其收敛阶为
。
三、计算题
1.用二分法求方程x2x10的正根，使误差小于0.05。
2.求方程x3
x2
10在x01.5附近的一个根，将方程改写为下列等价形
式，并建立相应迭代公式。
x
1
1
xk1
1
1
（1）
x2
2
，迭代公式
xk；
1
（2）
x
3
1
x
2
，迭代公式
xk1
1
xk23
；
x
2
1
xk1
1
xk
1；
（3）
x
1
，迭代公式
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似值。
3.用牛顿切线法求5的近似值。
取x02,计算三次，保留三位小数。
4.用割线法求方程x3
3x1
0的在x0
1.5附近的一个根，精确到小数点
后第二位。
四*、证明题
已知方程f（x）0，试导出求根公式
xk1
2f（xk）f（xk）
xk
2
f（xk）f（xk）
2[f（xk）]
并证明：
当x*是方程f（x）0的单根时，公式是3阶收敛的。
练习题四
一、是非题
3
1
1
A
2
5
3
．矩阵
1
2
5
具有严格对角优势。
（
）
1
3
1
1
A
1
5
3
2．
1
2
5
是弱对角优势矩阵。
（）
3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。
（）
4．||M
||1是迭代格式x（k1）
Mx（k）
f收敛的必要条件。
（）
*
5.逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。
（）
3x1
5x2
1
1.解方程组
x1
2x2
0
的雅可比迭代格式（分量形式）为
，该迭代矩阵的谱半径
（B1）
；
3x1
5x2
1
2.解方程组x1
2x2
0的高斯—赛德尔迭代格式（分量形式）
为
，迭代矩阵B2
，该迭代矩阵
的谱半径（B2）
；
3.幂法的迭代公式为
；
4*．QR算法是用来求
矩阵的全部特征值的一种方法。
5*．雅可比方法是用来求
矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换
方法。
三、选择题
1.解方程组Ax
b的迭代格式x（k1）
Mx（k）
f收敛的充要条件是（）
（A）||A||1；
（B）||M||1；
（C）（A）
1；
（D）（M）1。
2．幂法的收敛速度与特征值的分布（
）
（A）有关；
（B）无关；
（C）不一定。
3．幂法是用来求矩阵（）特征值及特征向量的迭代法。
（A）按模最大；（B）按模最小；
（C）任意一个；（D）所有的。
4．解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是（）
（A）0
1；
（B）0
1；
（C）0
2；
（D）02。
5．反幂法是用来求矩阵（
）特征值及特征向量的迭代法。
（A）按模最大；
（B）按模最小；
（C）任意一个；
（D）所有的。
四、计算题
1．用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性方程组
3x1x35
x13x2x31
x1x24x38
取x（0）（0,0,0）T，列表计算三次，保留三位小数。
2．用高斯—赛德尔迭代法解线性方程组
3x1x35
x1
3x2
x3
1
x1
x2
4x3
8
取x（0）
（0,0,0）T
，列表计算三次，保留三位小数。
4
0
0
A
1
2
1
3．用幂法求矩阵
0
1
2按模最大特征值及相应特征向量，列表
计算三次，取x（0）
（1,1,1）T
，保留两位小数。
4*．取1.46，用松弛法解线性方程组
2x1
x2
1
x1
2x2
x3
0
x2
2x3
x4
1
x3
4x4
0
取x（0）
（0,0,0）T
，列表计算三次，保留三位小数。
4
1
0
A
1
2
1
5*．用雅可比方法求实对称矩阵
0
1
1
的特征值及相应特征向量（按四
位小数计算，
0.1）。
2
1
0
A
1
3
1
6*．用QR算法求矩阵
0
1
4
的全部特征值。
练习题五
一、是非题
1.
在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。
（）
（x
x1）（x
x2）
2.
（x0
x1）（x0
x2）表示节点x0处的二次插值基函数。
（）
3.牛顿插值多项式的优点是：
在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次
插值的结果。
（
）
4.
在拉格朗日插值中，插值节点
x0,x1,,xn必须按顺序排列。
（
）
5.
利用等距节点的牛顿插值公式计算
x0附近的f（x），用后插公式。
（
）
二、填空题
1.
已知n
3，则三次插值基函数l2（x）=_____________________。
n
li（x）______
2.
n+1个节点的拉格朗日插值基函数
li（x）的和i0
。
3.
已知f（x）
x4
，取节点xkk（k
0,1,2,⋯），用线性插值求
f（2.1）的近似
值，其计算公式f（2.1）P1（2.1）________________。
4.______________插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函数值而
且取已知导数值。
5.已知f（
1）2,f（0）1,f
（2）
3,则f[1,0]
__________________，
f[0,2]___________，f[1,0,2]
__________，牛顿二次插值多项式
N2（x）
。
三、选择题
x
x1
．函数x0
x1表示线性插值（
）点的基函数.
1
（A）x0；
（B）y0；
（C）x1
（D）y1。
2
．过点
（1,1）,（0,3）,（2,4）
的二次插值多项式
p2（x）
中
x
2
的系数为（）.
（A）–0.5
（B）0.5
（C）2
（D）-2
3．给定互异的节点x0,x1,,xn,p（x）是以它们为插值节点的插值多项式，则
p（x）是一个（
）.
（A）.
n+1次多项式
（B）.n次多项式
（C）.次数小于n的多项式
（D）.次数不超过n的多项式
（
）
3
x
99
506
7
差商
f[1,2,2
2
100
4．fx
x
x
2]（）
（A）0
（B）-3
（C）50
（D）-7
5．对于次数不超过n的多项式f（x）,它的n次插值多项式p（x）为（）.
（A）任意n次多项式（B）任意不超过n次的多项式
（C）f（x）本身（D）无法确定
四、计算题
1.已知f
（1）2,f
（1）3,f
（2）4,求f（x）的牛顿插值多项式N2（x），及
f（1.5）的近似值，取三位小数。
2.证明：
若f（x）二阶连续可微，则对于f（x）的以x0,x1为节点的一次插值多项式P1（x），插值误差
（x1
x0）
2
f（x）
f（x）P（x）
max
1
8
x0xx1
3.设f（x）x4
2x
1，利用拉格朗日插值余项求以
-1，0，1，2为插值节点
的三次插值多项式。
4*．已知函数yf（x）的数据f
（1）y0,
f
（2）y1,
f
（1）m0，用基函数法求f
（x）的二次插值多项式H2（x）使H2
（1）
y0,H2
（2）
y1,H2
（1）m0.
5*．要给出f（x）ex在区间[-2,2]上的等距节点函数表，用分段三次Hermite插值求ex的近似值，要使误差不超过108，问函数表的步长h应为多少？
xi
6.已知的f（x）函数表
f（xi）
（1）求f（x）的二次插值多项式；
（2）用反插值求x，使f（x）=0。
114
245
练习题六
一、判断题
1．在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。
（
）
2．向前差分与向后差分不存在等量关系。
（
）
3．已知观察值（xi,yi）（i0,1,2,⋯,n），用最小二乘法求得的拟合多项式其次
数为n
次。
（
）
4．利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公
式的类型。
（
）
5．数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。
（
）
二、填空题
1．已知某函数的二阶向前差分
2f1为
0.15,则其二阶向后差分
2f3
为
_______。
2．利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的
t，其计算公
式为t=____________。
3．已知函数y
f（x）在[a,b]上的n
1个节点xi处的函数值yi，则其三次样条插
值函数s（x）满足的条件为________________________。
．已知
（xi,yi）i
1,2,
⋯,30），其线性拟合的正规方程组为_________。
（
4
y
x
（xi,yi）
b
做变换_____________后为线性
．用形如
ax
的非线性拟合数据
5
拟合y=a
bx。
三．选择题
1.（）是利用函数的值求自变量的值。
（A）三次样条插值
（B）反插值
（C）分段插值
（D）爱尔米特插值
2．记iyi
yi*,i
1,2,
n,最小二乘法原理要求下列哪个为最小（）
n
n
n
max
2
i
（B）i
i
i
i
（A）1in
1
（C）i1
（D）i1
3．当线性方程组满足（
）时称为超定方程组。
（A）（A）未知数的个数等于方程的个数
（B）（B）未知数的个数大于方程的个数
（C）（C）未知数的个数小于方程的个数
（D）（D）未知数的个数与方程的个数大小任意
4．x*是超定方程组Axb的最小二乘解的充分必要条件是（）.
（A）x*是ATAx
ATb的解
（B）x*是AATx
ATb的解
（C）x*是ATx
bT的解
（D）三者都不对
Pn（x）
1
dn
2
n
n
n!
dx
n[（x
1）]
．勒让德多项式
2
是（
）
5
（A）小于n次的多项式
（B）等于n次的多项式
（C）大于n次的多项式
（D）小于等于n次的多项式
四、计算题
1．已知函数yf（x）的函数表如下,解答下列问题
xi
f（xi）
（1）列出相应的差分表；
（2）分别写出四次牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式；
（3）用三次插值多项式求f（0.04）和f（0.32）的近似值。
2．已知f（1.3）14.8,f（1.6）17.4,f（2.4）18.5,f（3.1）20.0，按最小二乘原
理求一次多项式拟合上述数据。
3x1
2x2
2
4x1
5x2
3
3．求超定方程组
2x1
x2
11
的最小二乘解。
xi
2
1
0
1
2
4．已知观察值
yi
y0
y1
y2
y3
y4
利用f（x）的二次拟合多项式
p2（x）,求f
（0）的近似值。
5．用形如yalnx
b的函数拟合下列数据
xi
f（xi）
练习题七
一、填空题
1.已知
f
（1）
1.
1
f
（2）
1.2
，
f（3）
1.5
，则三点式高斯求积公式为
，
3
f（x）dx
3
（
），用抛物线求积公式求得
f（x）dx
（
）。
1
1
2.
已知f0
3，f
0.5
4，f
1
3，则用三点式可求得
f（0）
（
），f
（0.5）
（
），f
（1）
（
），且f（x）
（
）。
b
f（x）dx
C2[a,b]时,
3.
复合梯形求积公式为a
（
），当f（x）
其余项Rn（f）
（
）。
4.数值积分代数精确度的定义是（
）。
b
n
f（x）dx
Akf（xk）
5.
求积公式a
k0
的代数精度以（
）求积公式为最高，具
有（
）次代数精度，其节点称为（
）点。
二、选择题
1.
求积公式研究的误差为（
）。
A.观测误差
B.模型误差
C.舍入误差
D.截断误差
b
a
2.
已知在[a,b]上，f
（x）
2，且f（x）
C2[a,b]，步长h
n，则复合梯
形求积公式的误差限为（
）。
（b
a）3
（b
a）3
A.
6
B.
6
b
ah2
h3
C.
6
D.6
3.梯形公式、抛物线公式及n阶NC求积公式的代数精度分别至少为（）。
A.1,2,nB.2,3,nC.1,3,nD.1,4,n+1
4.
数值微分的二点公式中，其误差限为（
），其中hx1x0
x0
x1。
A．O（h2）
h
f（
）
B.
2
hf
（）
D.
hmax
f（x）
C.2
2x0xx1
升级会员 