基础数学专业研究生培养方案.docx
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基础数学专业研究生培养方案
数学（0701）研究生培养方案
一、培养目标
本学科培养德、智、体全面发展，在基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论等领域具有坚实的专业理论基础、独立从事科学研究能力或较强实际工作能力的高层次一流数学人才。
学位获得者有能力承担高等院校、科研机构的教学、科研工作，或企事业单位的研发和管理工作。
二、研究方向
1、基础数学
（1）代数
（2）图论
（3）拓扑学
（4）常微分方程
（5）偏微分方程
（6）泛函分析
（7）调和分析与逼近论
（8）复分析
（9）数理逻辑与数学基础
（10）数论
（11）微分几何学
2、计算数学
（1）线性与非线性规划
（2）应用数值代数及并行计算
（3）偏微分方程数值解法
（4）应用软件
（5）管理和决策的数值方法
3、概率论与数理统计
（1）估计与检验的方法与理论及随机规划
（2）时间序列分析
（3）排队论
4、应用数学
（1）反应及扩散系统的理论及数值方法
（2）动力系统：
微分动力系统、哈密顿动力系统
（3）常微分方程
（4）偏微分方程
（5）流体力学中的数学理论
5、运筹学与控制论
（1）大系统优化问题的理论、方法和应用
（2）人工神经网络在优化问题中的应用
（3）多目标决策
（4）模糊数学方法在决策分析中的应用
（5）智能算法
（6）最优化控制问题的数值方法
三、招生对象
1、硕士研究生:
应届本科毕业生、已获学士学位或具有同等学历的在职人员，参加全国硕士生统一考试合格，并经复试合格者；或获得推荐免试的保研生，并经复试合格者。
2、博士研究生:
应届硕士毕业生、已获硕士学位或具有同等学力的在职人员，经我系博士生招生“申请-考核”制考核合格者；或硕士中期考核优良，经数学系推荐研究生院批准提前攻博的硕-博连读生；或获得推荐免试保研的直博生，并经复试合格者。
四、学习年限
1、硕士研究生:
三年
2、提前攻博生:
五年
3、博士研究生:
基本学制三年
五、课程设置
（一）硕士阶段
1、本学科准予毕业并获得硕士学位需修满32学分，非本学科及同等学力入学者为36学分。
2、A类课程即公共基础课7学分，包括：
中国特色社会主义理论与实践研究（2学分，必修）；自然辩证法概论、马克思主义与社会科学方法论、马克思主义原著选读（以上三门任选一门，1学分）；硕士生英语（4学分，必修）。
3、B类课程即公共学位课程8学分,包括：
现代分析、基础代数。
4、C类课程即专业学位课程9-12学分；其中，基础数学、应用数学专业要在以下课程中选三门：
代数拓扑、微分拓扑、流形与几何、偏微分方程、同调代数、紧黎曼曲面、动力系统、代数几何、代数数论、交换代数、数学的思想方法；计算数学、运筹与控制、概率论与数理统计专业要在以下课程中任选三门：
概率论、多元迭代分析、数值代数、随机过程、偏微分方程、偏微分方程数值方法、数理统计基础、数学的思想方法。
5、D类课程即选修课程4-7学分，其中跨二级学科选修课程至少一门。
课程类型
课程名称
编号
授课教师或团队
学分
课程类别
课程简介
（300字左右）
B
现代分析
0701B01
钟承奎
4
转型期课程
本课程是硕士研究生分析学的基础课程，内容主要包括抽象测度与抽象积分，局部紧拓扑空间上的Borel测度与Riesz表示定理，Lp空间，复测度与Riesz表示定理，对称重排，Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，Fourier变换，以及Sobolev空间等。
通过该课程的学习，使学生对现代分析的思想和方法有了基本的了解与掌握，为进一步学习泛函分析，偏微分方程以及调和分析奠定了基础，对其他方向的研究生，如计算数学，应用数学方向上的研究生也会有很大的帮助。
基础代数
0701B02
黄兆泳
4
转型期课程
本课程是大学本科阶段《抽象代数》的延伸，目的是为了使学生了解和掌握范畴理论的一些基本概念和方法以及一些重要模类的基本性质。
范畴理论是代数学中的一个重要分支，其中的许多概念和方法有助于我们对数学整体的理解。
对范畴理论的研究，导致了大量新观点和新问题的提出，它们不仅在范畴理论本身是重要的，同时还在不同的具体范畴中提出了新的研究课题。
这一点对于模范畴更为典型，而后者又反过来促进了范畴理论的发展。
本课程主要介绍一些重要模类，如：
Artin模，Noether模，投射模，内射模和平坦模等的定义和基本性质，介绍正向极限与反向极限的定义和性质；讲述一般范畴和函子以及加法范畴与Abel范畴这两个重要且基本的范畴的概念和基本性质。
C
流形与几何
070101C03
梅加强
4
转型期课程
本课程的目的是介绍微分流形和现代几何学的基础概念，为从事现代数学和现代理论物理学研究者提供现代几何的入门知识和方法。
先修课程为点集拓扑、泛函分析等。
本课主要介绍微分流形上的微积分以及流形的几何性质和拓扑性质，主要内容包括：
微分流形的定义，子流形，单位分解，切空间和切向量场，Frobenius可积性定理及其应用，向量丛和张量丛，微分形式，带有边界的流形，Stokes积分公式，黎曼几何的基本概念，活动标架法，Lie群和齐性空间基础，主丛及其联络，DeRham上同调，Gauss-Bonnet-Chern公式，Chern-Weil理论。
通过本课程学习，使学生初步掌握微分流形的基本概念和现代几何学研究的基本技巧，从几何、拓扑和整体分析这三个方面了解现代几何研究的基本手法，为深入学习黎曼几何或几何分析等打下扎实基础。
代数拓扑
070101C01
于立
4
专业核心课程
代数拓扑是一门利用代数的工具来研究空间的拓扑性质（即在连续变形下的保持不变的性质）的学科。
本课程的目的是通过介绍代数拓扑学的基本理论和典型例子，让学生初步掌握这门学科的基本思想和方法，并提高学生的空间想象能力和数形结合的能力。
另外，这门课能让学生从一些新的角度重新审视以往学过的一些数学知识，有助于提高学生的数学成熟性。
具体来说，这门课的理论内容主要分为三个部分：
基本群、复叠空间和同调论。
利用这些理论我们将给出一些著名的拓扑学定理的证明，如Brouwer不动点定理、Ulam-Borsuk定理、毛球定理等。
微分拓扑
070101C02
于立、谭亮
4
专业核心课程
本课程的目的是通过对微分流形上一些典型的几何对象和拓扑学对象的介绍，让学生初步掌握用分析学的方法解决流形上的拓扑学的问题。
在理论介绍的同时培养学生独立思考和发现问题的能力。
这门课将为学生以后学习微分几何等其它学科打下基础。
本课程要求学生已经具备微积分和点集拓扑的基本知识。
同调代数
070101C04
丁南庆
4
专业核心课程
本课程主要介绍同调代数中的基础知识和基本概念，讲授内容包括：
范畴与函子，自然变换，范畴的等价，同态函子与张量积函子，模的直积与直和，正向极限与反向极限，推出与拉回，投射模，内射模，平坦模，诺特环，半单环，vonNeumann正则环，同调函子，导出函子，同态函子的导出函子Ext,张量积函子的导出函子Tor,模的投射、内射与平坦维数，环的左（右）整体维数与弱整体维数。
最后，简单介绍相对同调代数中的一些基本概念和主要结果。
紧黎曼曲面
070101C05
梅加强
3
专业核心课程
本课程的目的是介绍黎曼曲面上的几何、拓扑和分析基础，为复流形、复几何与代数几何的学习提供基础和预备知识。
通过本课程的学习可使学生掌握复分析、复几何和拓扑学的基本手法，感受现代数学之美。
本课程主要内容包括：
黎曼曲面的定义，调和函数和梯度估计，Harnack原理，Riemann映照定理，Perron方法，单值化定理，因子和线丛，Hodge定理，Riemann-Roch定理及其应用，Abel-Jacobi定理，层和层的上同调，线丛的Hermite几何，上同调的对偶定理和消没定理，线丛的Chern类。
通过本课程学习，使学生初步掌握黎曼曲面的基本概念和一维复流形上的几何分析基本技巧，了解几何概念，分析和拓扑方法的综合运用，为今后的深入学习复微分几何或复代数几何打下扎实基础。
代数几何
070101C07
郭学军、纪庆忠
4
专业核心课程
本课程主要讲授代数几何的基本理论和基本方法，包括两部分内容：
第一部分是概型的基本概念和性质；第二部分是概型的上同调。
该课程旨在培养学生抽象思维和逻辑推理能力以及初步的科研能力，通过本课程的学习，要求学生掌握概型的一般性质，基变换、正规概型、约化概型、分离射，本证设，模层，除子，射映态射，平谈太射和光滑太射，凝聚层；层的上同调，仿射和投射概型的上同调，Cech上同调，Serre对偶定理，Kahler微分、曲线的除子理论。
多元迭代分析
070102C02
黄震宇
4
专业核心课程
多元迭代分析是研究生数学系计算数学和优化运筹专业的一门专业基础课。
这门课程对于学生加深理论基础的学习，增强基本技能的训练，提高数学修养和业务素质，有着重要作用。
本课程以多元微积分为基础，主要内容为多元迭代分析的理论和应用。
本课程的教学目的是：
一、使学生对迭代思想与方法有较深刻的认识，学习科学的思想方法，以利于计算数学理论和算法的培养与形成。
二、使学生掌握多元迭代分析的基本知识、基本理论与基本技能，提高抽象思维、逻辑推理与算法构造的能力。
三、使学生对计算数学中相关内容有较深刻的理性认识，能深入浅出地处理好这些内容的内在联系。
本课程要求学生已修过大学本科学习中的计算方法，高等代数和数值分析等课程。
数值代数
070102C03
王征宇
4
专业核心课程
数值线性代数（简称数值代数）是研究线性代数问题的数值算法的一门学科。
这里的线性代数问题包含，例如，线性方程组的求解，矩阵特征问题等等。
我们知道，求解一个数学问题的实际途径是计算它的数值解，对问题离散化（有限化）、线性化就会产生线性代数问题。
求解线性代数问题，实际的方法就是对其研发运行于数字计算机上的算法，这正是数值代数的研究内容。
数值代数是工程计算的非常重要的基础组成部分，需要我们深入学习掌握。
数值代数课程从数值的角度分析线性代数问题、介绍数值算法、阐明算法思想、分析算法性状与实施细节。
偏微分方程数值方法
070102C04
武海军
4
专业核心课程
本课程以椭圆方程为例，介绍偏微分方程的多种数值离散方法及其基本理论与程序实现。
内容包括：
椭圆型方程的有限差分法；有限元方法及其收敛性理论；有限元多重网格法；内罚（连续和间断）有限元方法；界面问题的非匹配界面罚有限元方法。
概率论
070103C01
王立洪、宋玉林
4
专业核心课程
概率论是研究随机现象的一门数学分支。
《高等概率论》是现代概率论的数学基础，其主要目的是使用公理化手段把概率论纳入严格的数学体系。
与本科阶段学习的直观性强的概率论相比，高等概率论具有内容抽象、应用广泛、推理严谨、结论明确等特征。
本课程主要包含三部分内容：
（1）测度论--介绍一般可测空间中的测度与积分；
（2）现代概率论基础--介绍独立性、条件期望、正则条件概率及鞅等基本概念及性质；（3）极限理论—介绍测度的各种收敛性、大数定律及中心极限定理。
通过本课程的学习，一方面学会利用测度论的观点和方法分析概率论中的一些重要问题；另一方面掌握条件期望、鞅、独立增量过程等基本概念和重要结果，为概率论理论的后续学习打下基础。
随机过程
070103C02
戴万阳
4
专业核心课程
本课程的教学目的是使学生掌握随机过程的基本理论与方法，希望学生在修本课程之前能掌握一定概率论与测度论的基本知识。
本课程主要介绍随机过程的基本理论与方法，包括一般随机过程的定义,存在定理，流域与停时，鞅过程的定义、性质、分解与极限定理等，离散与连续时间
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