成都市八年级下期 平行四边形的判定 新课讲义.docx
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成都市八年级下期平行四边形的判定新课讲义
成都市八年级下期平行四边形的判定新课讲义
一、知识梳理
1、平行四边形的定义:
定义:
两组对边___________的四边形是平行四边形。
作用:
判断一个四边形是平行的四边形。
2、平行四边形的性质(从六个方面入手)
平行四边形的对边_______;
平行四边形的对边_______;
平行四边形的对角_______;
平行四边形的邻角_______;
(3)、对角线平行四边形的对角线_______
(4)、周长:
四边相加,或邻边相加的和乘以2
(5)、面积:
底乘以高,或与对角线分成的三角形有关
(6)、对称性:
一般不是轴对称图形
3、平行线的距离:
平行线之间的距离处处相等,因此在做平行四边形的高时可以根据需要灵活选择位置。
4.平行四边形的判定方法:
①两组对边分别平行
②两组对边分别相等
③一组对边平行且相等
④两组对角分别相等
⑤对角线互相平分
5.平行四边形性质的运用:
①直接运用平行四边形性质解决某些问题,如求角的度数,线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等.
②判别一个四边形为平行四边形,从而得到两直线平行.
③先判别—个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的特征去解决某些问题.
2、例题精讲
例1.
(1)根据下列条件,不能判别四边形是平行四边形的是()
A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对角分别相等的四边形
C.对角线相等的四边形 D.对角线互相平分的四边形
(2)下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD,AD∥BCB.AB=CD,AB∥CDC.AB∥CD,AD∥BCD.AB=CD,AD=BC
(3).(大庆校级模拟)下列说法中错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分B.有两对邻角互补的四边形为平行四边形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形
例2.已知:
如图,□ABCD中,点E、F在对角线上,且AE=CF.求证:
四边形BEDF是平行四边形.
例3.如图,□ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过点O交AD于E,交BC于F,G是OA的中点,H是OC的中点,求证:
四边形EGFH是平行四边形.
例4.已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,BD=8.
(1)若AC⊥BD,试求四边形ABCD的面积;
(2)若AC与BD的夹角∠AOD=
,求四边形ABCD的面积;
例5、如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=
BC,延长AB至F,使BF=AB,再延长BA至E,使AE=BA,请你判断EC与FD的位置关系,并说明理由。
例6、如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。
已知∠BAC=30º,EF⊥AB,垂足为F,连结DF。
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:
四边形ADFE是平行四边形。
例7、如图,在平行四边形ABCD中,E在AC上,AE=2EC,F在AB上,DF=2AF如果△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积。
例8、如图,已知等边△ABC的边长为8,P是△ABC内一点,PD∥AD,PF∥BC,
点D,E,F分别在AB,BC,AC,则PD+PE+PF=________
三、同步练习A组
1.如图,四边形ABCD,AC、BD相交于点O,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是,根据是.
2.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项,其中是平行四边形的是( )
A.88°,108°,88°B.88°,104°,108°C.88°,92°,92°D.88°,92°,88°
3.如图,过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的□AEMG的面积
与□HCFM的面积
的大小关系是()
A.
>
B..
<
C.
=
D.2
=
4.如图,四边形ABCD中,AD=BC,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E、F,AF=CE.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
5.已知如图:
在□ABCD中,延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF,则线段AC与EF是否互相平分?
说明理由.
6.如图,在□ABCD的各边AB、BC、CD、DA上,分别取点K、L、M、N,使AK=CM、BL=DN,求证:
四边形KLMN为平行四边形.
7.如图,在□ABCD中,点E、F在对角线AC上,并且OE=OF.
(1)OA与OC,OB与OD相等吗?
(2)四边形BFDE是平行四边形吗?
(3)若点E,F在OA,OC的中点上,你能解决上述问题吗?
B组
1.如图,在□ABCD中,∠ABC=750,AF⊥BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,则∠AED等于()
A、600B、650C、700D、750
2.(南宁)如图,在□ABCD中,AB=3,BC=5,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是()
A.3<OA<5B.2<OA<8C.1<OA<4D.3<OA<8
3.(宜宾)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为 .
4.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A做BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF.
(1)求证:
AF=CE
(2)若AC=EF,证明AF⊥AE
4.如图,□ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点,连结AN、DN、BM、CM,且AN、BM交于点P,CM、DN交于点Q,.四边形MQNP是平行四边形吗?
为什么?
5.(广东)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,BO=DO.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
6.(沈阳)已知,如图,在□ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN.
(1)求证:
△AEM≌△CFN;
(2)求证:
四边形BMDN是平行四边形.
7.(宁夏)在□ABCD中,P是AB边上的任意一点,过P点作PE⊥AB,交AD于E,连接CE,CP,已知∠A=60°.
(1)若BC=8,AB=6,当AP的长为多少时,△CPE的面积最大,并求出面积的最大值;
(2)是探究当△CPE≌△CPB时,□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系?
8.在□ABCD中,∠BAD的角平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长线于点F.
(1)在图①中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图②),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB,DG(如图③),求∠BDG的度数.
图①图②图③
平行四边形的判定作业
1.(14福州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=
BC.若AB=10,则EF的长是 .
2.(15枣庄)如图,▱ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.
(1)求证:
BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AD的长.
3.(15本溪)如图,四边形ABCD中AB∥CD,对角线AC,BD相交于O,点E,F分别为BD上两点,且BE=DF,∠AEF=∠CFB.
(1)求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC=2OE,试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
4.(15邵阳)如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=
BC,连接CD和EF.
(1)求证:
DE=CF;
(2)求EF的长.
5.(15河南模拟)如图,在▱ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.求证:
(1)△BEG≌△DFH;
(2)四边形GEHF是平行四边形.
6.(15黄冈)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.求证:
四边形ABCD为平行四边形.
7.(15遂宁)如图,▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,求证:
(1)AE=CF;
(2)四边形AECF是平行四边形.
8.(16江苏)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明:
四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
9.(16凉山州)如图,
的对角线
、
交于点
,
过点
且与
、
分别交于点
、
。
试猜想线段
、
的关系,并说明理由。
10、如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证:
四边形AECF是平行四边形.
11.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,直线PQ截梯形为两个四边形.问当P,Q同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?
12.(培优)如图,已知□ABCD,AD=a,BE∥AC,DE交AC的延长线于F点,交BE于E点.
(1)求证:
DF=FE;
(2)若AC=2CF,∠ADC=60°,AC⊥DC,求BE的长;(3)在
(2)的条件下,求四边形ABED的面积.
13.在□ABCD中,∠BAD的角平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长线于点F.
(1)在图①中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图②),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB,DG(如图③),求∠BDG的度数.
图①图②