成都市八年级下期 平行四边形的判定 新课讲义.docx

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成都市八年级下期平行四边形的判定新课讲义

成都市八年级下期平行四边形的判定新课讲义

一、知识梳理

1、平行四边形的定义：

定义：

两组对边___________的四边形是平行四边形。

作用：

判断一个四边形是平行的四边形。

2、平行四边形的性质（从六个方面入手）

平行四边形的对边_______；

平行四边形的对边_______；

平行四边形的对角_______；

平行四边形的邻角_______；

（3）、对角线平行四边形的对角线_______

（4）、周长：

四边相加，或邻边相加的和乘以2

（5）、面积：

底乘以高，或与对角线分成的三角形有关

（6）、对称性：

一般不是轴对称图形

3、平行线的距离：

平行线之间的距离处处相等，因此在做平行四边形的高时可以根据需要灵活选择位置。

4.平行四边形的判定方法：

①两组对边分别平行

②两组对边分别相等

③一组对边平行且相等

④两组对角分别相等

⑤对角线互相平分

5.平行四边形性质的运用：

①直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数，线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等．

②判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．

③先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．

2、例题精讲

例1．

（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是（）

A．一组对边平行且相等的四边形　B．两组对角分别相等的四边形

C．对角线相等的四边形　　　　D．对角线互相平分的四边形

（2）下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（　）

A．AB=CD，AD∥BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB∥CD，AD∥BCD．AB=CD，AD=BC

（3）．（大庆校级模拟）下列说法中错误的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

例2．已知：

如图，□ABCD中，点E、F在对角线上，且AE＝CF．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

例3．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，求证：

四边形EGFH是平行四边形．

例4.已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．

（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；

（2）若AC与BD的夹角∠AOD=

，求四边形ABCD的面积；

例5、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=

BC,延长AB至F，使BF=AB，再延长BA至E，使AE=BA，请你判断EC与FD的位置关系，并说明理由。

例6、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。

已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：

四边形ADFE是平行四边形。

例7、如图，在平行四边形ABCD中，E在AC上，AE=2EC,F在AB上，DF=2AF如果△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积。

例8、如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AD,PF∥BC,

点D,E,F分别在AB,BC,AC，则PD+PE+PF=________

三、同步练习A组

1．如图，四边形ABCD，AC、BD相交于点O，若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是,根据是.

2．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（　）

A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°

3.如图，过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的□AEMG的面积

与□HCFM的面积

的大小关系是（）

A.

＞

B..

＜

C.

=

D.2

=

4．如图，四边形ABCD中，AD=BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AF=CE．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

5.已知如图：

在□ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？

说明理由.

6.如图，在□ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，求证：

四边形KLMN为平行四边形.

7.如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，并且OE=OF．

（1）OA与OC，OB与OD相等吗？

（2）四边形BFDE是平行四边形吗？

（3）若点E，F在OA，OC的中点上，你能解决上述问题吗？

B组

1.如图，在□ABCD中,∠ABC=750，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED等于（）

A、600B、650C、700D、750

2.（南宁）如图，在□ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（）

A.3＜OA＜5B.2＜OA＜8C.1＜OA＜4D.3＜OA＜8

3.（宜宾）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为　　．

4.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A做BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF.

（1）求证：

AF=CE

（2）若AC=EF，证明AF⊥AE

4.如图，□ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q，.四边形MQNP是平行四边形吗？

为什么？

5.（广东）已知:

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO=DO.求证：

四边形ABCD是平行四边形.

6.（沈阳）已知，如图，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N,连接DM，BN.

（1）求证：

△AEM≌△CFN；

（2）求证：

四边形BMDN是平行四边形.

7.（宁夏）在□ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE，CP，已知∠A=60°.

（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值；

（2）是探究当△CPE≌△CPB时，□ABCD的两边AB与BC应满足什么关系?

8.在□ABCD中，∠BAD的角平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.

（1）在图①中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图②），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE,分别连接DB，DG（如图③），求∠BDG的度数.

图①图②图③

平行四边形的判定作业

1．（14福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=

BC．若AB=10，则EF的长是　　　　　　．

2．（15枣庄）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：

BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．

3．（15本溪）如图，四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD相交于O，点E，F分别为BD上两点，且BE=DF，∠AEF=∠CFB．

（1）求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AC=2OE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

4．（15邵阳）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=

BC，连接CD和EF．

（1）求证：

DE=CF；

（2）求EF的长．

5．（15河南模拟）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：

（1）△BEG≌△DFH；

（2）四边形GEHF是平行四边形．

6．（15黄冈）已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE．求证：

四边形ABCD为平行四边形．

7．（15遂宁）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：

（1）AE=CF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

8.（16江苏）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．

（1）证明：

四边形ACDE是平行四边形；

（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．

9.（16凉山州）如图，

的对角线

、

交于点

，

过点

且与

、

分别交于点

、

。

试猜想线段

、

的关系，并说明理由。

10、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证：

四边形AECF是平行四边形.

11.已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

12.（培优）如图,已知□ABCD，AD=a,BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.

（1）求证：

DF=FE；

（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；（3）在

（2）的条件下，求四边形ABED的面积.

13.在□ABCD中，∠BAD的角平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.

（1）在图①中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图②），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE,分别连接DB，DG（如图③），求∠BDG的度数.

图①图②