高中数学 第二章 平面向量 23 平面向量的基本定理及坐标表示教学案 新人教A版必修4.docx

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高中数学第二章平面向量23平面向量的基本定理及坐标表示教学案新人教A版必修4

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

第1课时　平面向量基本定理

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P93～P94的内容，回答下列问题．

（1）观察教材P93图2.3－2的作图过程，思考：

如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a能否用e1，e2表示？

根据是什么？

提示：

可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．

（2）平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？

提示：

存在．

（3）两个非零向量夹角θ的取值范围是什么？

当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？

提示：

两个非零向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0°或180°.

2．归纳总结，核心必记

（1）平面向量基本定理

条件

e1、e2是同一平面内的两个不共线向量．

结论

这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

基底

不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（2）向量的夹角

条件

两个非零向量a和b

产生

过程

作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量

a与b的夹角

续表

范围

[0，π]

特殊

情况

θ＝0°

a与b同向

θ＝90°

a与b垂直，记作a⊥b

θ＝180°

a与b反向

[问题思考]

（1）0能与另外一个向量a构成基底吗？

提示：

不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．

（2）平面向量的基底是唯一的吗？

提示：

不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．

（3）如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？

为什么？

提示：

不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．

[课前反思]

（1）平面向量基本定理：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；

（2）基底：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；

（3）基向量：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；

（4）向量的夹角：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

讲一讲

1.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若试用a，b表示

[尝试解答]　如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．

用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：

一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．

练一练

1．如图所示，已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若，试用a，b为基底表示向量

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，

讲一讲

2．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？

a－b与a的夹角又是多少？

即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.

两个向量夹角的实质及求解的关键

（1）实质：

两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．

（2）关键：

求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．

练一练

2．如图，已知△ABC是等边三角形．

（1）求向量的夹角；

（2）若E为BC的中点，求向量的夹角．

解：

（1）∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝60°.

如图，延长AB至点D，使AB＝BD，

∵∠DBC＝120°，

（2）∵E为BC的中点，

∴AE⊥BC，

∴的夹角为90°.

讲一讲

3．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．

（1）平面向量基本定理唯一性的应用

设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则

（2）重要结论

　设e1，e2是平面内一组基底，

练一练

3．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：

AP∶PM＝4∶1.

所以λ－μ＝b，

即b＋c＝b.

又因为b与c不共线，所以

解得故即AP∶PM＝4∶1.

——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用．

2．本节课要重点掌握以下三个问题

（1）用基底表示向量，见讲1；

（2）求向量的夹角，见讲2；

（3）用平面向量基本定理解决相关问题，见讲3.

3．本节课的易错点有两处

（1）向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和.

（2）两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角如练2.

课下能力提升（十七）

[学业水平达标练]

题组1　用基底表示向量

1．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是（　　）

A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1

C．e1－2e2，4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e2

解析：

选C　因为4e2－2e1＝－2（e1－2e2），从而e1－2e2与4e2－2e1共线．

A.b＋cB.c－b

C.b－cD.b＋c

3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．试以a，b为基底表示向量

题组2　向量的夹角问题

4．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是（　　）

A．60°B．120°

C．30°D．150°

解析：

选A　平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.

5．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．

解析：

由题意可画出图形，如图所示．

在△OAB中，

因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，

所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，

即向量a与c的夹角为90°.

答案：

90°

解：

如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，

在Rt△OCD中，

即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.

题组3　平面向量基本定理的应用

7．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为（　　）

A．0，0B．1，1C．3，0D．3，4

解析：

选D　∵向量e1与e2不共线，

∴解得

8．在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若,其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为________．

答案：

9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________．

解析：

设e1＋e2＝ma＋nb（m，n∈R），

∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，

∴e1＋e2＝m（e1＋2e2）＋n（－e1＋e2）

＝（m－n）e1＋（2m＋n）e2.

∵e1与e2不共线，

∴∴

∴e1＋e2＝a－b.

答案：

a－b

10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.

（1）证明：

a，b可以作为一组基底；

（2）以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；

（3）若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．

解：

（1）证明：

若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，

则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）．

由e1，e2不共线，得⇒

∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．

（2）设c＝ma＋nb（m、n∈R），则

3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）

＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2.

∴⇒∴c＝2a＋b.

（3）由4e1－3e2＝λa＋μb，得

4e1－3e2＝λ（e1－2e2）＋μ（e1＋3e2）

＝（λ＋μ）e1＋（－2λ＋3μ）e2.

∴⇒

故所求λ，μ的值分别为3和1.

[能力提升综合练]

1．以下说法中正确的是（　　）

A．若a与b共线，则存在实数λ，使得a＝λb

B．设e1和e2为一组基底，a＝λ1e1＋λ2e2，若a＝0，则λ1＝λ2＝0

C．λa的长度为λ|a|

D．如果两个向量的方向恰好相反，则这两个向量是相反向量

解析：

选B　A错，a≠0，b＝0时，λ不存在．

C错，λ＜0时不成立．

D错，相反向量的模相等，故选B.

2．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于（　　）

A．a－b　　　　　　　　B．2（b－a）

C．2（a－b）D．b－a

3.已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于________．

解析：

向量a，b不能作为基底，则向量a，b共线，可设a＝λb，则则k＝1.

答案：

1

4．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若则λ＋μ＝________．

解析：

因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC，

所以BH＝1，BH＝BC.

因为点M为AH的中点，

即λ＝，μ＝，

所以λ＋μ＝.

答案：

5．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设∠PAB＝θ，向量（λ，μ∈R），若μ－λ＝1，则θ＝________．

所以－λ＋μsinθ＝1，μsinθ＝1＋λ＝μ，

所以sinθ＝1，θ＝90°.

答案：

90°

6．如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，

（1）试以b，d为基底表示；

（2）试以m，n为基底表示.

7.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.

解得所以AE―→＝a＋b.

第2课时　平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量的坐标运算

平面向量共线的坐标表示

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．

（1）在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？

提示：

唯一．

（2）在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么（x，y）与A点的坐标相同吗？

提示：

相同．

（3）如果向量也用（x，y