pascal递归算法noip竞赛材料.docx
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pascal递归算法noip竞赛材料
信息学竞赛―――递归算法
一个过程（或函数）直接或间接调用自己本身,这种过程（或函数）叫递归过程（或函数）.递归程序包含递归和递推两个过程，这两个过程又都是根据一个递推公式进行的。
一般来说，能够用递归解决的问题应该满足以下三个条件
①需要解决的问题可以化为一个或多个子问题来求解，而这些子问题的求解方法与原来的问题完全相同，只是在数量规模上不同；
②递归调用的次数必须是有限的；
③必须有结束递归的条件（边界条件）来终止递归。
例1、楼梯共有N阶台阶，上楼可以以一步上一个台阶，也可以一步上二个台阶。
编一个程序计算上N阶台阶，共有多少种走法？
programstair（input,output）;
vars,n:
integer;
functionf（n:
integer）:
integer;
begin ifn<3thenf:
=n
elsef:
=f（n-1）+f（n-2）;
end;
begin
readln（n）;
s:
=f（n）;
writeln（'s=',s）;
end.
例2、骨牌铺法
有1*n的一个长方形，用一个1＊1、1＊2、1＊3的骨牌铺满方格。
例如当n=3时为1＊3的方格。
此时用1＊1，1＊2，1＊3的骨牌铺满方格，共有四种铺法。
图4.4.3列出了四种铺法。
●
●
●
●
●
●
●
●
●
输入n（0<=n<=30） 输出 铺法总数
分析:
这道题可以采用猜测法，从具体的n=1,2,3,......开始，列举出结果，根据列举的部分结果进行猜测，推导出公式。
这个猜测推导过程留给读者完成。
问题是：
这种方法中“猜”和“凑”的成分比较多，容易出错。
我们不妨采用组合数学常用的待定系数进行归纳和推导。
设推导公式如下：
f（n）=a*f（n-1）+b*f（n-2）+c*f（n-3）+d*f（n-4）+....（a,b,c,d...是常系数）
即1＊n的长方形的铺法由全部（a种）1＊（n-1）的长方形铺法总数加上全部（b种）1*（n-2）的长方形的铺法总数加上全部（c种）1*（n-3）的长方形的铺法总数......注意排除重复情况。
（1）将n格分成1格和n-1格，计算f（n-1）的系数a。
右端1格的铺法有一种（a）。
显然，在一格中只有一种铺法，即f（n-1）的系数a=1。
●
●
（2）将n格分成2格和n-2格，计算f（n-2）的系数b。
右端2格的铺法有两种（b）。
由图可见，（b）的铺法包含在（a）的铺法中，而（c）的铺法不同于（a），因此f（n-2）的系数b=1。
（3）将n格分成3格和n-3格，计算f（n-3）的系数c。
右端3格的铺法有两种（图4.4.5）。
由图可见，（d）（e）（f）的铺法都可以归结到1格或2格中去，只有1*3的铺法（g）属于新的，因此f（n-3）的系数c=1。
将n格分成n-x格和x格（4<=x<=n-4）的情况都是重复的，因此不再讨论。
由此得出：
f
（1）=1,f
（2）=2,f（3）=4,
f（n）=f（n-1）+f（n-2）+f（n-3） （n>=5）
程序：
varn:
integer;
functionf（i:
integer）:
longint;
begin
ifiin[1..2]
thenf:
=i
elseifi=3
thenf:
=4
elsef:
=f（I-1）+f（I-2）+f（I-3）;
end;
begin
readln（n）;writeln（f（n））;
end.
“铺砖问题”有推广价值。
例如某人走n级的楼梯，每步可以走1级、2级或3级，走完n级楼梯共有多少种走法。
这个问题的数学意义和解法与“铺砖问题”相同。
例3:
划分问题
设s是一个具有n个元素的集合s={a1,a2,…an},现将s集合划分成k个满足下列条件的子集合s1,s2，s3。
。
。
。
；
1、si<>空；
2、si∩sj=空；
3、s1∪s2∪s3….∪sn=s （1<=i,j<=k,i<>j）
则称s1,s2…sn是集合s的一个划分，它相当于把集合s中的n个元素放入k个无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空，试确定n个元素的集合放入k个无标号盒的划分数s（n,k）
【算法分析】:
例如S＝｛1，2，3，4｝，k＝3。
细心的读者稍加分析后，不难得出S有6种不同的划分方案，即划分数为6。
其方案为｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝ ｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝ ｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝ ｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝ ｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝ ｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝
如果对于任意的S集合和k值，就不能凭籍直觉和经验计算划分数和枚举划分方案了。
必须总结出一个数学规律:
设n个元素a1…an放入k个无标号盒的划分数为S（n，k）。
在配置过程中，
有两种情况:
1.设｛an｝是k个子集中的一个子集，于是把｛a1…an-1｝划分为k－1子集有S（n－1，k－1）个划分数;
2.如果｛an｝不是k个子集中的一个，即an必与其它的元素构成一个子集。
首先把{a1，…，an-1｝划分成k个子集，这共有S（n－1，k）种划分方式。
然后 再把an加入到k个子集中的一个子集中去，这有k种加入方式。
对于每一种加入方式，都使集合划分为k个子集，因此由乘法原理知，划分数共有k·ｓ（n－1，k）。
从上面的两种情况分析得出 S（n，k）＝S（n－1，k－1）+k·S（n－1，k） （n>1，k≥1）
下面，我们来确定s（n,k）的边界条件:
1.我们不可能把n个元素不放进任何一个集合中去，即ｓ（n，0）＝0;也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去，即k＞n时S（n，k）＝0。
2.把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方式数显然是1。
即
S（n,1）=1
S（n,n）=1
显然，通过上述分析可得出划分数S（n，k）的递归关系式:
S（n，k）＝S（n－1，k－1）+k·S（n－1，k） （n〉k，k≥1）
S（n，k）＝0 （n S（n，k）＝1 （k=1）或（k＝n）
按照划分数S（n，k）的递归定义,可以直接写出它的递归函数S（n,k）
functionS（n,k:
integer）ofword;
begin
if（k=0）or（k>n）then s:
=0
elseif（k=1）or（k=n）then s:
=1
else s:
=s（n-1,k-1）+k*s（n-1,k）;
end;
相似题：
m个相同的球放进n个相同的盒子（可以一个盒子放多个）有多少种不同的放法？
m个相同的球放进n个不相同的盒子（可以一个盒子放多个）有多少种不同的放法？
例4、简单的背包问题。
设有一个背包，可以放入的重量为s。
现有n件物品，重量分别为t1,t2,t3…ti…tn，ti（1≤i≤n），均为正整数。
从n件物品中挑选若干件，使得放入背包的重量之和正好为s
【输入样例】 【输出样例】
thenumberofobject:
5 number:
1weight:
1
totalweight=10 number:
3weight:
2
16275 number:
4weight:
7
【分析】尝试构造函数snap（s,n）解决本题，分析情况如下：
①、先取最后一个物品tn放入背包中，若tn=s，刚好放入包中，问题得到解决并输出（n,tn）.
②、若tn>s，则不能放入包中，还得继续挑选；若还剩物品（即n>1），问题即为从剩余的n-1件物品中选取若干个，使得他们的重量和等于s，即snap（s,n）—>snap（s,n-1）.
③、若tn1）,那么问题即可转换为从剩下的n-1件物品中选取若干件，使得他们的重量和等于包里剩下的可放入重量（s-tn）,即：
snap（s,n）—>snap（s,n-1）；而选中的tn还要看snap（s-tn,n-1）是否有解，无解的话说明先取tn不合适，就要放弃tn，在剩余的物品中开始挑选，即有snap（s,n）—>snap（s,n-1）.
【参考程序】
Constm=10;
vart:
array[1..m]ofinteger;
x,y,i:
integer;f:
boolean;
functionsng（x:
integer）:
integer;{判断s-t[n]的三种情况}
begin
ifx>0thensng:
=1
elseifx=0thensng:
=0
elsesng:
=-1;
end;
functionsnap（s,n:
integer）:
boolean;{判断是否有解}
begin
casesng（s-t[n]）of
0:
beginwriteln（‘number:
’n:
4,‘weight:
’,t[n]:
4）;snap:
=true;end;
1:
beginifn>1thenifsnap（s-t[n],n-1）=truethen
beginwriteln（‘number:
’n:
4,‘weight:
’,t[n]:
4）; snap:
=true;end
elsesnap:
=snap（s,n-1）
elsesnap:
=false
end;
-1:
ifn>1thensnap:
=snap（s,n-1）elsesnap:
=false
end;
end;
begin
writeln（‘thenumberofobject:
’）;readln（y）；
writeln（‘totalweight=’）;readln（x）;
fori:
=1toydoread（t[i]）;readln；{数据输入}
f:
=snap（x,y）; {x:
weight,y:
number}
ifnot（f）thenwriteln（‘notfound’）;
end.
例5、输出n个元素的无重复的全排列。
N个元素有n！
种不同排列。
分析：
1个元素直接输出；
2个元素有两种排列，如（ab）（ba）;
3个元素以（abc）为例，有：
abc
acb
bac
bca
cba
cab
分析这些排列，一个简单的算法是：
（1）a后随（bc）的所有排列
（2）b后随（ac）的所有排列
（3）c后随（ba）的所有排列
上面
（2）是将
（1）中的a、b互换位置；上面（3）是将
（1）中的a、c互换位置。
这里意味着可以用循环的方法来重复执行“交换位置，后随剩余序列的所有的排列”；而对剩余序列可以再使用这个方法，这就成了递归调用，后随的元素没有时，就到了递归的边界。
对于n个元素a=（a1a2…ak…an）,设过程prem（a,k,n）是求a的第k到n个元素的全排列，设swap（a,k,I）是将a的第k个元素和第i个元素对换，i=k,…,n。
programexp1_7;
vara:
string;k,n:
integer;
procedureswap（vara:
string;k,i:
integer）;
vart:
char;
begin t:
=a[k];a[k]:
=a[i];a[i]:
=t;
end;
procedureperm（a:
string;k,n:
integer）;
vari:
integer;
begin
ifk=nthenwriteln（a）
elsefori:
=ktondo begin swap（a,k,i）;perm（a,k+1,n）; end
end;
begin
readln（a）;n:
=length（a）;perm（a,1,n）;
end.
例6、2的幂次方表示
任何一个正整数都可以用2的幂次方表示.例如：
137=2^7+2^3+2^0。
同时约定次方用括号来表示，即a^b可表示为a（b）。
由此可知，137可表示为：
2（7）+2（3）+2（0），进一步：
7=2^2+2+2^0 （2^1用2表示）；3=2+2^0；所以最后137可表示为：
2（2
（2）+2+2（0））+2（2+2（0））+2（0）。
又如：
1315=2^10+2^8+2^5+2+1；所以1315最后可表示：
2（2（2+2（0））+2）+2（2（2+2（0）））+2（2
（2）+2（0））+2+2（0）
输入：
正整数（n≤20000）
输出：
符合约定的n的0，2表示（在表示中不能有空格）
【分析】：
递归法
2的幂次方由高幂向低幂分解
1. 计算最接近n（小于n）的2的次幂e
2e≤n<2e+1 设x=2e。
2.从e开始按照次幂递减的方向分解（0≤i≤e）设x1—项数。
若n≥x，则分解出x=2i的2幂次方表示：
⑴若x1>0（非第一项），则输出’+’；
⑵分析次幂i
i=0，输出2（0）； {递归边界}
i=1，输出2；
i>1，输出2（i的2幂次方表示） {递归}
⑶准备分解下一项
x1←x1+1；n←n-x；
x←xdiv2；（无论n是否大于等于n）
由此得出算法：
proceduresolve（n：
word）；
var e，i，x1：
byte；
x：
word；
begin
x←16384；e←14； {214<20000<215}
whilex>ndo {计算最接近n（小于n）的x=2e}
begin x←xdiv2；e←e-1 end；{while}
x1←0；
fori←edownto0do {逐位分解2的幂次i}
begin
ifn≥x thenbegin {若能分解x=2i}
ifx1>0thenwrite（’+’）； {若当前是中间项}
caseiof {根据次幂i分解x的2幂次方表示}
0：
write（’2（0）’）；
1：
write
（2）；
elsebegin
write（’2（’）；
solve（i）；
write（’）’）
end{else}
end；{case}
x1←x1+1；n←n-x {准备分解下一项x=2i-1}
end；{then}
x←xdiv2
end{for}
end；{solve}
例7、求数字的乘积根。
一个正整数的数字的乘积Ｎ的定义是：
这个整数中非零数字的乘积。
例如，整数999的数字乘积为9*9*9，即729。
729的数字乘积为7*2*9，即126。
126的数字乘积为1*2*6，即12。
12的数字乘积为1*2，即2。
一个正整数的数字乘积根Ｎ是这样得到的：
反复取该整数的数字乘积，直到得到一位数字为止。
例如，在上面的例子中数字的乘积根是2。
编写一个程序，输入一个正整数（长度不超过200位数字），输出计算其数字乘积根的每一步结果。
【分析】：
每一步得到的乘积根比它的上一步的位数要小，显然存在递归过程，
递归结束的条件是乘积根的位数等于１。
具体程序编码如下：
programex5_17;
varst:
string;
procedureinit;
beginwriteln（‘pleaseinput:
’）;readln（st）;end;
proceduremake（ss:
string）;
vara,b:
array[1..200]ofinteger;
i,j,x,code:
integer;w:
string;
begin
fillchar（a,sizeof（a）,0）;
fori:
=1tolength（ss）do {取每一位数}
val（ss[i],a[i],code）;
fillchar（b,sizeof（b）,0）;
x:
=1;b[1]:
=1;
fori:
=1tolength（ss）do {每一位非0的数相乘}
begin
forj:
=1toxdo
ifa[i]<>0thenb[j]:
=b[j]*a[i];
forj:
=1toxdo {处理进位}
begin b[j+1]:
=b[j+1]+b[j]div10;
b[j]:
=b[j]mod10;
end;
ifb[x+1]>0thenx:
=x+1;
end;
ss:
=‘’;
fori:
=xdownto1do
begin
str（b[i],w）;ss:
=ss+w;
end;
writeln（ss）;
iflength（ss）>1thenmake（ss）;
end;
begin
init;{输入数据}
writeln（st）;
make（st）;{递归处理}
readln;
end.
例8、输入N个字符，然后以倒序输出（用递归实现）。
Programdigui（input,output）;
Constn=8;
Typemat=array[1..n]ofchar;
Vari:
integer;a:
mat;
Procedureprint（i:
integer）;
begin
Ifi=nthenwrite（a[i]）
elsebeginprint（i+1）;write（a[i]）;end;
end;
Begin
fori:
=1tondoreadln（a[i]）;
i:
=1; print（i）; readln;
End.
例9、猴子选大王：
有n只猴子选大王，先从头到尾１至３报数，报到３的猴子退出，报至尾后，再从尾到头１至３报数，报到３的猴子退出…依次类推，当剩下两只猴子时，报１的为大王。
问若想当大王，应站在什么位置。
【分析】：
十只猴子１－１０编号，则出圈的次序为
猴子编号：
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
出圈次序：
３ ６ ９ ７ ２ ５ ４ １０ 剩下８和１时，８号猴子报１为大王
程序如下：
programhouzi（input,output）;
typearr=array[1..100]ofinteger;
varh:
arr;I,j,m,n:
integer;
procedurenum（vara:
arr;varn,i:
integer;m:
integer）;
var f,k,s:
integer;
begin
ifn>=3then begins:
=0;k:
=imod2;{k为１表示从头到尾，k为０表示从尾到头}
casekof
1:
forf:
=1tomdo {正向报数}
ifa[f]<>0then begin s:
=s+1;
ifs=3thenbegins:
=0;n:
=n-1;a[f]:
=0;end;
end;
0:
forf:
=mdownto1do{反向报数}
ifa[f]<>0then begin s:
=s+1;
ifs=3thenbegins:
=0;n:
=n-1;a[f]:
=0;end;
end;
end;
i:
=i+1;num（a,n,i,m）;{递归调用}
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