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完整word版接触力学报告

摘要：

通过接触力学基本知识的分类，理解和掌握；总结了关于Hertz接触理论处理两个球体的接触，球体及刚性圆柱体和弹性半空间的接触等一系列经典问题的方法；并对Hertz接触-有限元分析方法进行了简单的介绍以及讨论了Hertz理论的局限性。

最后对撞击问题进行了较为系统的分类，并给出撞击问题的实例，从简单到复杂，即从弹性，弹塑性，粘弹性做了，做了一个简单的模型，并给出了主要分析步骤和计算方法。

关键词：

接触力学，Hertz理论，撞击

1．基本概念的介绍

1.1.按接触物体的材料性质分类

1.1.1弹性物体的接触这是最广泛的一类接触问题，是弹性理论的一大类专门性问题,已研究得相当成熟研究对象是弹性物体与弹性物体相接触，刚性物体与弹性物体相接触。

1.1.2粘弹性物体的接触多研究线性粘弹性物体的接触应力和应变是线性关系但这种关系和时间、速率相关，所以是粘弹性物体它包括弹性物体和粘弹性物体的接触，刚性物体和粘弹性物体的接触。

1.1.3塑性物体的接触主要研究材料屈服后的接触，当然是非线性的应变同应力的本构关系比较复杂包括刚性物体同塑性物体的接触、弹塑性同时存在、纯塑性等问题。

1.1.4可变形固体同液体的接触这类问题往往以流体力学为主，液体载荷影响可变形物体的应力分布有关线性弹性接触的文献最丰富，解决的问题也最多尽管如此，这类问题与弹性理论的其他专门可题有共同特性，对于它们的研究还在继续发展。

1.2.按空间分类

1.2.1半平面问题大多数情况是冲头或称为压块，压头与弹性半平面的边界直线相接触冲头可能是刚性的或者弹性的。

1.2.2半空间问题两个接触的物体各占据半个无限空间或者，半空间的冲头压在半无限空间的边界平面上接触区域是一个小面积。

1.2.3空间的接触问题这类问题研究得还不多。

1.3.按接触面的光洁度分类

1.3.1Hertz接触：

假定接触面是绝对光滑的，曲面是连续变化的

1.3.2非Hertz接触：

实际的物体都不是绝对光滑的，表面有小峰和谷带，因而有摩擦,有峰顶的塑性区。

1.4.按理论力学的方法分类

1.4.1静力学接触问题：

大多数解决了的问题属于静力学接触问题或称静力平衡问题。

1.4.2带运动学的接触问题：

轴在轴承中的转动滚动轴承车轮同路面的滚动接触车轮在钢轨上的滚动既有滚动，还有横向移动，有前后的错动，有陀螺运动，有很轻微的蠕滑，它们附带地引起接触面的硬化、起层延展和磨损。

1.4.3动力学的接触问题：

碰撞（冲击）接触，碰撞连带着弹性波，敲击发出声音许多乐器的演奏，体育运动中的拳击。

1.5.按接触物体的几何形状分类

物体的几何形状十分繁多可以列举的有冲头问题。

二次曲面问题，Hertz问题,条带问题，半无限基础问题,板、壳同其他形状物体的接触问题,楔形体问题,环状体问题,多连通域问题,成组物体的问题,等等,以及它们之间的组合。

2.接触力学分析方法

2.1.经典的接触力学接触问题

经典的接触力学接触问题大都是数学上的混合边值问题，积分方程是接触力学的主导方程当接触物体的边界不连续，有各种类型的间断点，或者接触区域内存在特别的端点时，这些点可能成为奇点,于是方程便是奇异积分方程由于边界有不同的部分而得到双积分方程、三积分方程或多积分方程，比较好解决的是平面内的双积分方程求解积分方程可使用积分变换，例如，Fourier，Abel等的积分变换对于平面接触问题可使用复变函数法可把解式表成特殊函数的多项式可使用位势函数来帮助求解，等等，总之，凡是使用经典的数学工具来解决问题的都归入经典的接触问题，或者称为经典的接触力学经典接触力学所解决问题的范围十分有限，因为它只能应付一部分几形状规则的物体但它给出的结果很漂亮，是封闭的解析解,能够抓住物理本质，所以这个领域仍然在迅速地、卓有成效地向前发展。

2.2.非经典的接触力学分析方法

非经典的接触力学最近多年蓬勃兴起的，用其他数学工具求解的接触问题,都属于非经典的接触理论领域随着数值解法的兴起和发展，出现了大量的著作,几乎能够解一切接触问题当然并非每个接触问题都很容易解决,需要进行艰苦的研究有限元法和边界元法的出现,电子计算机和控制论的应用,开辟了广阔的大地与数值方法相配合的，有各类变分法。

实变函数法，泛函分析法，解析几何范围内的逻辑代数法还有集函数和群论的应用。

3．Hertz接触理论

3.1.Hertz接触的一般假定:

（1）接触系统由两个相互接触的物体组成，它们间不发生刚体运动；

（2）接触物体的变形是小变形，接触点可以预先确定，接触或分离只在两物

体可能接触的相应点进行；

（3）应力、应变关系取线性；

（4）接触表面充分光滑；

（5）不考虑接触面的介质（如润滑油）、不计动摩擦影响。

3.2.经典弹性接触问题

3.2.1.球体和弹性半空间的接触

图1球体和弹性半空间的接触

一个半径为R的球体在一个弹性半空间上压出的凹痕深度为d，若产生的接触区域的半径为

，则作用力F为

式中

E1,E2分别为是接触体的弹性模量，ν1，ν2是泊松比。

3.2.2.两个球体的接触

图2两个球体的接触

若给定两个球体的半径为R1和R2,定义R为

则接触区域的压力分布为

式中

.

对于ν=0.33，最大剪应力发生在表面下

位置。

3.2.3.两个相同半径的圆柱体交叉接触

图3两个相同半径的交叉圆柱体的接触

该接触等同于一个半径为R的球体和一个平面的接触（见上）。

3.2.4.刚性圆柱体和弹性半空间的接触

图4刚性圆柱体和弹性半空间的接触

一个刚性圆柱体压在一个弹性半空间上，产生的压力分布可写为

式中

凹痕的深度和法向力的关系可表述为

3.2.5.刚性圆锥体和弹性半空间的接触

图5刚性圆锥体和弹性半空间的接触

一个刚性圆锥体和一个弹性半空间作用时，压痕的深度和接触直径的关系为

式中θ为圆锥侧面和平面的夹角，则压力分布为

在圆锥顶尖应力有个对数奇点。

总作用力为

3.2.6.两个中心轴平行的圆柱体间的接触

图6两个中心轴平行的圆柱体间的接触

两个中心轴平行的圆柱体接触时，作用力与压痕深度成线性比例关系：

次关系式曲率半径完全没有关系。

接触半径可用通常的关系式来描述：

与两个球体的接触一样，式中

最大压力为

3.3.Hertz接触-有限元分析

随着计算机技术的发展、有限元法的成熟以及大型有限元商业软件的面世，使得接触分析的数值算法成为可能。

数值分析方法已成功地用于解决接触问题。

在机械工程中经常遇到接触问题，如滚珠轴承中滚珠与坐圈的接触，两个啮合齿轮在齿面上的接触，车轮与轨道的接触。

又如嵌入式硬度测试机测量材料的接触后的塑性变形、刃型支承、桥梁支座等，都涉及到接触问题。

接触问题是一种高度非线性行为，在处理和计算中存在两个较大的难点：

一，在求解问题之前，不知道接触区域。

随载荷、材料、边界条件和其他因素的不同。

表面之间是接触还是分开是未知的，并且还可能是突然变化的。

二，大多数的接触问题需要考虑摩擦，摩擦效应可能是混乱的，所以摩擦使问题的收敛性变得困难。

除了上面两个难点外，许多接触问题还必须涉及到多物理场影响，如接触区域的热传导、电流等，更增加了求解的难度。

接触问题一般分为两种基本类型:

刚体——柔体的接触，柔体——柔体的接触。

在刚体——柔体的接触问题中，接触面的一个或多个被当作刚体。

与它接触的变形体相比，有大得多的刚度。

一般情况下，一种软材料和一种硬材料接触时，可以假定为刚体——柔体的接触，许多金属成型问题归为此类接触。

基本步骤：

1.建立模型，并划分网格

2.识别接触对

3.定义刚性目标面

4.定义柔性接触面

5.设置单元关键字和实常数

6.定义/控制刚性目标面的运动

7.给定必须的边界

8.定义求解选项和载荷步

9.求解接触问题，并查看结果

但是，实际工程中的很多接触问题并不满足赫兹理论的条件。

例如，接触面间存在摩擦时的滑动接触，两物体间存在局部打滑的滚动接触，因表面轮廓接近而导致较大接触面尺寸的协调接触，各向异性或非均质材料间的接触，弹塑性或粘弹性材料间的接触，物体间的弹性或非弹性撞击，受摩擦加热或在非均匀温度场中的两物体的接触等。

4．撞击

4.1.碰撞

相互运动的物体相遇，在极短的时间内，通过相互作用，运动状态发生显著变化的过程叫碰撞。

4.2.碰撞的分类

4.2.1弹性碰撞：

在弹性力的作用下，系统内只发生机械能的转移，无机械能的损失，称完全弹性碰撞。

4.2.2非弹性碰撞：

非弹性碰撞：

在非弹性力的作用下，部分机械能转化为物体的内能，机械能有了损失，称非弹性碰撞。

4.2.3完全非弹性碰撞：

在完全非弹性力的作用下，机械能损失最大（转化为内能等），称完全非弹性碰撞。

碰撞物体粘合在一起，具有相同的速度。

如图7碰撞的分类

4.3.实例分析（接触力－变形模型）

图8接触力－变形模型

我们知道撞击物的实际撞击接触情形是复杂的，并且撞击持续时间决对大于0。

更为接近实际的模型是采用连续时间动态模型。

这个方法的成功之处在于基于完善的数学模型。

通常，接触力－变形关系如下：

（1）

Fc是接触力的弹性部分，Fv是粘弹性阻尼部分，Fp是由塑性变形导致的耗散部分。

以下分别针对弹性部分，弹性塑性部分，以及弹性粘性部分进行分析介绍：

4.3.1.弹塑性接触模型

介绍接触力的弹性部分。

其中1882年Hertz关于半无限固体的弹性接触工作具有重大意义。

Johnson[1]对此理论做了很好的介绍，并于附录三p485中列举了相关公式。

Hertz理论指出了应力在接触区的分布，也给出计算法向应力和剪切应力在撞击体内的分布。

一个很常用的结论是球体－球体接触时的接触力－变形关系[1]：

（2）

其中F是撞击物和靶体之间压缩时的法向力，δ是两个球体之间的缩进，也即两个表面之间总的变形，K是取决于球体半径和材料弹性常数的常数。

4.3.2.弹塑性接触模型

对于弹塑性接触碰撞变形，可采用的局部接触模型有弹塑性剪切变形（EPS）模型、Johnson钝楔压入（BI）模型和单轴压缩（UC）模型等（参考文献）。

参照刚性圆球对弹塑性薄板的压陷，可采用Winkler弹性基础模型描述钝圆柱头刚性质量弹塑性压下矩形截面梁的过程，如图8所示。

本文采用UC模型，忽略了材料的泊松比和剪切变形。

按照接触区的变形形式的不同，接触－碰撞过程可分为:

弹性加载、塑性加载和弹性卸载3个阶段［3］。

对于理想弹塑性材料梁，如图3所示，在压下过程中令压下量为δ，压下区宽为2a，压下区长与梁同宽均为b，梁高为h，弹性模量E，屈服应力Y，钝圆柱头半径为R。

设梁上碰撞点P在惯性坐标系OXY中的Y方向坐标为YP，则本问题中的压下量δ可由下式获得。

（3）

采用UC弹塑性接触模型，则钝圆柱头刚性质量弹塑性压下矩形截面柔性梁过程中法向接触力F与压下量δ的关系可以归纳为弹性加载阶段:

（4）

塑性加载阶段:

（5）

弹性卸载阶段:

（6）

（7）

上式中

，

为局部屈服发生时的临界压下量;

为接触碰撞过程中的最大压下量。

若发生塑性加载，则卸载后残余压下量为

。

如果再次接触碰撞过程是弹性加载过程，撞击力与压下量的关系仍为式（7），m和

不变;若

，接触区将产生新的塑性压下变形，撞击力与压下量的关系将为式（5），

同时改变。

4.3.3.弹簧阻尼模型

为便于比较，将弹塑性接触模型与传统的非线性弹簧阻尼接触模型进行对比。

非线性弹簧阻尼模型描述接触－碰撞过程的方法以Hertz接触理论为基础，同时人为添加非线性阻尼项，其中阻尼项有多种描述方式。

法向接触力的表达式为

（8）

式中:

Fk为弹性恢复力，非线性阻尼力Fd用来反映碰撞过程中的能量损失。

二者的表达式为

（9）

（10）

式中:

e为恢复系数，v0为碰撞点初始相对速度。

5．收获与体会

1.对Hertz接触理的经典问题的求解以及Hertz理论的局限性有了一定程度上的认识，并对Hertz接触-有限元分析方法有了一定程度上的了解。

2.对于解决碰撞接触问题要从遵循由简到难的分析思路，比如先从完全弹性开始分析，再到弹塑性，再到粘弹性，最后到粘弹塑性。

如果有可能的话还可以考虑它们之间的耦合情况再进行建模。

3.力学有主要三个非线性：

材料，几何（应变去掉高阶项部分），接触非线性（边界非线性）。

而接触非线性在工程实际应用中是在最经常遇到的，为此要想顺利的把学到的理论知识用到实际中还要学好数值分析及有限元方法。

6．参考文献

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