高二数学理科下学期期中试题有解析与答案.docx
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高二数学理科下学期期中试题有解析与答案
2019年高二数学理科下学期期中试题有解析与答案
期中考试理科数学试题
考试时间:
120分钟满分:
150分
第Ⅰ卷(60分)
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数为纯虚数,其中为虚数单位,则()
A.B.2C.D.3
2.函数的单调递增区间是()
A.B.C.和D.
3.若函数,则()
A.B.C.D.
4.函数是上的连续可导函数,若,则的极值点为()
A.,B.C.D.
5.曲线在处的切线方程为()
A.B.C.D.
6.某次比赛结束后,记者询问裁判进入半决赛的甲、乙、丙、丁四位参赛者谁获得了冠军,裁判给出了三条线索:
①乙、丙、丁中的一人获得冠军;②丙获得冠军;③甲、乙、丁中的一人获得冠军.若给出的三条线索中有一条是真的,两条是假的,则获得冠军的是()
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为,则点横坐标的取值范围为()
A.B.C.D.
8.下面给出了四个类比推理:
①由“若,则”类比推出“若为三个向量,
则”;②“为实数,若,则”类比推出“为复数,若”③“在平面内,三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中,四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”④“在平面内,过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中,过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”.上述四个推理中,结论正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.函数在上的图象大致是()
A.B.
C.D.
10.已知在区间上不单调,实数的取值范围是()
A.B.C.D.
11.已知偶函数对于任意的满足,(其中是函数的导函数),则下列不等式中成立的是()
A.B.
C.D.
12.设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数的最大值为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分
13.复数为虚数单位)的虚部为________
14..
15.已知函数,则的最大值是__________.
16.函数,若存在唯一的正整数,使得,则的取值范围是__________.
三.解答题:
本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.(本小题10分)已知复数.
(1)若,求;
(2)若在复平面内复数对应的点在第一象限,求的取值范围.
18.(本小题12分)
(1)已知且,求证:
,中至少有一个小于2.
(2)已知,,求证:
19.(本小题12分)
已知函数(为实数).
(I)若在处有极值,求的值;
(II)若在上是增函数,求的取值范围.
20.(本小题12分)
已知数列满足,且.
(1)计算、、的值,由此猜想数列的通项公式;
(2)用数学归纳法对你的结论进行证明.
21.(本小题12分)
已知函数.
(Ⅰ)求证:
当时,函数在上存在唯一的零点;
(Ⅱ)当时,若存在,使得成立,求的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点,求证:
.
高二年级理科参考答案
一.选择题
1.C
2.D
【解析】?
.
令f′(x)>0?
?
3故f(x)在(?
3,1)上单调递增。
故选:
D.
3.C
【解析】由题意,所以,故选C.
4.D
【解析】因为,所以当时,,函数单调递增;当时,,;因此是极值点。
当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递增,因此不是极值点,应选答案D。
5.A
【解析】;所以所求切线为
故选A
6.A
【解析】分析:
从②入手,讨论真假两种情况,进而可得甲为冠军.
详解:
若②是真的,那么①也是真的,不成立;
若②不是真的,即丙不是冠军,那么甲、乙、丁必有一人是冠军,所以③为真,则①为假,可知冠军为甲.故选A.
7.D【解析】由,得,由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为可知,曲线在点处切线的斜率的取值范围为,设点横坐标为,则,解得,即点横坐标的取值范围为,故选.
8.B
9.A
【解析】,
由可得:
,即函数在区间上是增函数,在区间和区间上是减函数,观察所给选项,只有A选项符合题意.
10.D
【解析】
试题分析:
因为函数在区间上不单调,所以在上有零点,即,所以,故选D.
11.D
【解析】
构造函数在为增函数,故选D.
12.A
【解析】由题意,可得,由
(1)得,解得或(舍去),代入
(2)得,,构造,则在上单调递减,在上单调递增,即的最小值为,所以的最大值为,故选A.
二.填空题
13.1
14.
【解析】解:
15.
【解析】详解:
函数,
设,函数在
故当t=时函数取得最大值,此时
16.
【解析】令,.则..因为存在唯一的正整数,使得,即.作出和的图象,如图所示,其中过定点.
由图可知,只有时满足.因为,,所以由图可知有.解得.
三.解答题
17.解:
(1)时
时
(2)
18
(1)证明:
假设都不小于2,则
即
这与已知矛盾,故假设不成立,从而原结论成立.
(2)[证明] ∵->1,a>0,∴0,只需证>1,只需证1+a-b-ab>1,只需证a-b-ab>0,即>1.即->1.这是已知条件,所以原不等式成立.
19.解:
由已知得的定义域为
又……3分
由题意得
……5分
(II)解:
依题意得
对恒成立,……7分
……9分
的最大值为
的最小值为……11分
又因时符合题意
为所求
20.
(1),;
(2)证明见解析.
试题解析:
⑴,猜想:
.
(2)①当时,,结论成立;
②假设当时,结论成立,即,
则当时,,
即当时,结论也成立,
由①②得,数列的通项公式为.
21.【解析】(Ⅰ)函数,定义域为,,
由,所以,则函数在单调递增,
又,,函数在上单调递增,
所以函数在上存在唯一的零点.
(Ⅱ)由(Ⅰ),,,
当时,,在单调递增,
当时,,在单调递减,]
则在时取最大值,且最大值为.
“存在,使得成立”等价于“时,”,所以,即,
令,,则在单调递增,且,
所以当时,,当时,,
即的取值范围为.
22.【解析】
(1),
①若,所以在上单调递增;
②若,解,得,或,
解,得,
此时在上单调递减.
在上单调递增,在上单调递增.
综上,当时,在上单调递增,
当时,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递增.
(2)由
(2)知时,存在两个极值点,且是方程的两根,所以,所以,
令,
所以在上单调递减,所以,
所以