新教材人教B版高中数学必修第二册全册各章节知识点考点及解题方法规律提炼汇总.docx

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人教B必修第二册全册知识点汇总

第四章指数函数、对数函数与幂函数 2

4.1　指数与指数函数 2

4.1.1　实数指数幂及其运算 2

4.1.2　指数函数的性质与图像 5

4.2　对数与对数函数 14

4.2.1　对数运算 14

4.2.2　　对数运算法则 17

4.2.3　对数函数的性质与图像 20

4.3　指数函数与对数函数的关系 27

4.4　幂函数 31

4.5　增长速度的比较 35

4.6　函数的应用

（二） 39

第五章统计与概率 43

5.1　统计 43

5.1.1　数据的收集 43

5.1.2　数据的数字特征 50

5.1.3　数据的直观表示 56

5.1.4　用样本估计总体 63

5.3　概率 67

5.3.1　样本空间与事件 67

5.3.2　事件之间的关系与运算 70

5.3.3　古典概型 74

5.3.4　频率与概率 78

5.3.5　随机事件的独立性 80

5.4　统计与概率的应用 84

第六章平面向量初步 87

6.1　平面向量及其线性运算 87

6.1.1　向量的概念 87

6.1.2　向量的加法 91

6.1.3　向量的减法 95

6.1.4　数乘向量 99

6.1.5　向量的线性运算 102

6.2　向量基本定理与向量的坐标 105

6.2.1　向量基本定理 105

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 108

6.2.3　平面向量的坐标及其运算 110

6.3　平面向量线性运算的应用 115

第四章指数函数、对数函数与幂函数

4.1　指数与指数函数

4.1.1　实数指数幂及其运算

知识点

n次方根

（1）定义：

给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xn＝a__，则x称为a的n次方根．

（2）表示：

n为奇数

n为偶数

a∈R

a＞0

a＝0

a＜0

x＝____

x＝__±__

0

不存在

根式

（1）当有意义时，称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．

（2）性质：

①（）n＝__a__；②＝

分数指数幂的意义

正分数

指数幂

n为正整数，有意义，且a≠0时，规定a＝____

正分数，a＝__（）m__＝

负分数

指数幂

s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝____

无理数指数幂

当a＞0且t是无理数时，at是一个确定的__实数__．

实数指数幂的运算法则（a＞0，b＞0，r，s∈R）

（1）aras＝__ar＋s__．

（2）（ar）s＝__ars__．

（3）（ab）r＝__arbr__．

题型

n次方根的概念及相关问题

典例剖析

　典例1　

（1）求使等式＝（3－a）成立的实数a的取值范围；

（2）设－3＜x＜3，求－的值．

[分析]　

（1）利用＝|a|进行讨论化简．

（2）利用限制条件去绝对值号．

[解析]　

（1）＝

＝|a－3|，

要使|a－3|＝（3－a）成立，

需解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3]．

（2）原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，

∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－（x－1）－（x＋3）＝－2x－2；当1≤x＜3时，原式＝（x－1）－（x＋3）＝－4．

∴原式＝

规律方法：

1.对于，当n为偶数时，要注意两点：

（1）只有a≥0时才有意义；

（2）只要有意义，必不为负．

2．当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．

根式与分数指数幂的互化

典例剖析

　典例2　

（1）用根式表示下列各式：

a；a；a－；

（2）用分数指数幂表示下列各式：

；；．

[分析]　利用分数指数幂的定义求解．

[解析]　

（1）a＝；a＝；a－＝＝．

（2）＝a；＝a＝a2；＝＝a－．

规律方法：

根式与分数指数幂互化的规律

（1）根指数化为,分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．

（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．

有理（实数）指数幂的运算法则的应用

典例剖析

　典例3　化简：

（1）（5x－y）··（其中x＞0，y＞0）；

（2）0.064－－0＋[（－2）3]－＋16－0.75；

（3）32＋×27－；

（4）（1＋）[（－－1）－2（）]＋（）1－×（）1＋．

[分析]　利用幂的运算法则计算．

[解析]　

（1）原式＝·x－＋（－1）＋·y＋－＝x－y．

（2）原式＝0.4－1－1＋（－2）－4＋2－3

＝－1＋＋＝．

（3）32＋×27－＝32＋×（33）－＝32＋×3－＝32＋－＝32＝9．

（4）（1＋）[（－－1）－2（）]＋（）1－×（）1＋

＝（1＋）[（＋1）－2·（）]＋（）1－＋1＋

＝（1＋）[（＋1）－2×（）×]＋（）2

＝（1＋）·[（＋1）－1·（）]＋2

＝（）＋2＝2＋2．

规律方法：

指数幂的一般运算步骤是：

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．

易错警示

典例剖析

　典例4　化简（1－a）[（a－1）－2·（－a）]．

[错解]　原式＝（1－a）（a－1）－1·（－a）＝－（－a）．

[辨析]　误解中忽略了题中有（－a），即－a≥0，a≤0，则[（a－1）－2]≠（a－1）－1．

[正解]　∵（－a）存在，∴－a≥0，故a－1＜0，原式＝（1－a）·（1－a）－1（－a）＝（－a）．

4.1.2　指数函数的性质与图像

第1课时　指数函数的性质与图像

知识点

指数函数

函数__y＝ax__称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．

思考：

（1）为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1?

（2）指数函数的解析式有什么特征？

提示：

（1）①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．

②如果a＜0，例如f（x）＝（－4）x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．

③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．

（2）①a＞0，且a≠1，②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．

指数函数的图像和性质

0＜a＜1

a＞1

图像

定义域

实数集R

值域

__（0，＋∞）__

性质

过定点__（0,1）__

是__减__函数

是__增__函数

思考：

（1）对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝x，y＝x，…，为什么一定过点（0,1）?

（2）对于指数函数y＝ax（a＞0且a≠1），在下表中，？

处y的范围是什么？

底数

x的范围

y的范围

a＞1

x＞0

？

x＜0

？

0＜a＜1

x＞0

？

x＜0

？

提示：

（1）当x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点（0,1）．

（2）

底数

x的范围

y的范围

a＞1

x＞0

y＞1

x＜0

0＜y＜1

0＜a＜1

x＞0

0＜y＜1

x＜0

y＞1

题型

指数函数的概念

典例剖析

　典例1　

（1）函数y＝（a2－3a＋3）·ax是指数函数，则a的值为__2__．

（2）指数函数y＝f（x）的图像经过点（π，e），则f（－π）＝____．

[分析]　

（1）根据指数函数解析式的特征列方程求解．

（2）设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f（－π）．

[解析]　

（1）由题意得a2－3a＋3＝1，

即（a－2）（a－1）＝0，

解得a＝2或a＝1（舍）．

（2）设指数函数为y＝ax（a＞0且a≠1），

则e＝aπ，所以f（－π）＝a－π＝（aπ）－1＝e－1＝．

规律方法：

1.判断一个函数是指数函数的方法

（1）把握指数函数解析式的特征：

①底数a＞0，且a≠1；

②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．

（2）有些函数需要对解析式变形后判断，如y＝＝x是指数函数．

2．求指数函数解析式的步骤

（1）设指数函数的解析式f（x）＝ax（a＞0且a≠1）．

（2）利用已知条件求底数A．

（3）写出指数函数的解析式．

指数函数的图像问题

典例剖析

　典例2　

（1）函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图像可能是（　D　）

（2）要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝x的图像（　A　）

A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位

C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位

[分析]　

（1）要注意对a进行讨论，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论判断．

（2）先对解析式变形，再进行判断．

[解析]　

（1）函数y＝x＋a单调递增．

由题意知a＞0且a≠1．

当0＜a＜1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1；

当a＞1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D．

（2）因为y＝23－x＝x－3，

所以y＝x的图像向右平移3个单位得到y＝x－3，

即y＝23－x的图像．

规律方法：

1.函数图像问题的处理技巧

（1）抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．

（2）利用图像变换，如函数图像的平移变换（左右平移、上下平移）．

（3）利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．

2．指数型函数图像过定点问题的处理策略

求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图像所过的定点．

指数函数的定义域、值域问题

典例剖析

　典例3　

（1）当x＞0时，函数f（x）＝（a2－1）x的值域为（1，＋∞），则实数a的取值范围是（　D　）

A．（－，－1）∪（1，） B．（－1,1）

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞） D．（－∞，－）∪（，＋∞）

（2）函数y＝5的定义域为____．

[分析]　

（1）根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得．

（2）根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．

[解析]　

（1）当x＞0时，函数f（x）＝（a2－1）x的值总大于1，则底数a2－1＞1，a2＞2，所以|a|＞，所以实数a的取值范围是（－∞，－）∪（，＋∞）．

（2）要使函数y＝5有意义，则2x－1≥0，所以x≥.所以函数y＝5的定义域为．

规律方法：

函数y＝af（x）定义域、值域的求法

（1）定义域：

形如y＝af（x）形式的函数的定义域是使得f（x）有意义的x的取值集合．

（2）值域：

①换元，令t＝f（x）；

②求t＝f（x）的定义域x∈D；

③求t＝f（x）的值域t∈M；

④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．

提醒：

（1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．

（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．

易错警示

典例剖析

　典例4　若函数f（x）＝ax－1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．

[错解]　∵函数f（x）＝ax－1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，∴，∴a＝．

故实数a的值为．

[辨析]　误解中没有对a进行分类讨论．

[正解]　当a＞1时，函数f（x）＝ax－1在[0,2]上是增函数，

由题意可知，，解得a＝.当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax－1在[0,2]上是减函数，

由题意可知，，此时a无解．综上所述，a＝．

第2课时　指数函数的性质与图像的应用

知识点

底数与指数函数图像的关系

（1）由指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）