九年级下册第二十七章相似三角形.docx
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九年级下册第二十七章相似三角形
《相似三角形》
本章知识结构框图
一、相似三角形与全等三角形
全等三角形
相似三角形
定义
能够完全重合的两个三角形
对应角相等,对应边成比例的两个三角形
图形性质
形状、大小完全一样
形状一样、大小未必一样
表示方法
△ABC≌△A,B,C,
△ABC∽△A,B,C,
性质
对应角相等,对应边相等
对应角相等,对应边的比相等
相似比
区别与联系
(1)找对应元素的方法一样
(2)全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定全等
相似三角形是最为简单的相似多边形.解题时应注意以下问题:
(1)探求两个三角形相似时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边.
(2)相似比是有序的,如△ABC与△A′B′C′的相似比为k,则△A′B′C′与△ABC的相似比为
(3)在研究相似多边形性质时,常将多边形分成若干个三角形.由相似三角形的有关性质推得相似多边形也有同样的性质.
(4)相似三角形对应角相等,对应边成比例,比值称为相似比,全等的三角形相似比为1.
(5)相似三角形的本质特征是这两个三角形具有相同的形状,但大小不一定相等.
(6)相似三角形的传递性由△ABC∽△A′B′C′,△A′B′C′∽△A″B″C″,可得△ABC∽△A″B″C″.
.
一、相似三角形的判定方法
判定方法1
∵___________
∴△ABC∽△ADE
判定方法2
∵________________
∴△ABC∽△A,B,C,
判定方法3
∵_____________,∠B=∠B,
∴△ABC∽△A,B,C,
判定方法4
∵___________,__________
∴△ABC∽△A,B,C,
三、3个基本图形
∵_______________
∴△APC∽△DPB
则PA•PB=PC•PD
∵_________________
∴△APD∽△CPB
则PA•PB=PC•PD
△ACD∽△CBD∽△ABC
定义:
对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形
符号“∽”,读作:
“相似于”,记作:
∽
,如图所示.
∴
∽
反之亦然.即相似三角形对应角相等,对应边成比例(性质).
∵
∽
,
∴
注:
在证两个三角形相似时,通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.
2.相似比的概念
相似三角形对应边的比K,叫做相似比(或相似系数).
注:
①两个相似三角形的相似比具有顺序性.
如果
与
的相似比是K,那么
与
的相似比是
.
②全等三角形的相似比为1,这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形.
3.预备定理:
平行三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
∽
,如图所示.
知识结构
(1)全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况,判定两个三角形全等的3个定理和判定两个三角形相似的3个定理之间有内在的联系,不同之处仅在于前者是后者相似比为1的情况.
(2)相似三角形的判定定理的选择:
①已知有一角相等时,可选择判定定理1与判定定理2;②已知有二边对应成比例时,可选择判定定理2与判定定理3;③判定直角三角形相似时,首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定,如果不能,再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定.
(3)相似三角形的判定定理的作用:
①可以用来判定两个三角形相似;②间接证明角相等、线段域比例;③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件.
(4)三角形相似的基本图形:
①平行型:
如图1,“A”型即公共角对的边平行,“×”型即对顶角对的边平行,都可推出两个三角形相似;②相交线型:
如图2,公共角对的边不平行,即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等,或夹公共角(或对顶角)的两边成比例,就可以判定两个三角形相似。
判定定理
相似三角形的性质定理1
(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
性质定理2:
相似三角形周长的比等于相似比.
∽
,
性质定理3:
相似三角形面积的比,等于相似比的平方.
∽
,
相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
1.平行线等分线段定理
定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他需直线上截得的线段也相等.
注意事项:
定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成.
定理的作用:
可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.
2.平行线等分线段定理的推论
推论1:
经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.
推论2:
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边。
记忆方法:
“中点”+“平行”得“中点”.
推论的用途:
(1)平分已知线段;
(2)证明线段的倍分.
(l)平行线等分线段定理及推论.
(2)定理的证明只取三条平行线,是在较简单的情况下证明的,对于多于三条的平行线的情况,也可用同样方法证明.
(3)定理中的“平行线组”,是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.
(4)应用定理任意等分一条线段.
知识结构
1.三角形中位线:
连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.
2.三角形中位线性质
三角形中位线定理:
三角形中位城平行于第三边,并且等于它的一半.
3.三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别.
知识结构
梯形中位线定义:
连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
梯形中位线定理:
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
知识结构
1.比例的基本性质:
(即比的内项积等于比的外向积).
2.更比性质:
(交换比例的内项或外项).
3.反比性质:
(把比的前项后项交换)
4.合比性质:
(比例式中,按比例将比的前项或后项同时加上或减去一个数,这两个比例式仍然相等)
5.等比性质:
(比例式中,比的前项和比上比的后项和等于原来的比)
两条线段的比应注意的问题,归纳出:
(l)两条线段的比就是它们的长度的比.
(2)比与所选线段的长度单位无关,求比时,两条线段的长度单位要一致.
(3)两条线段的比值总是正数.(并不都是正数)
(4)除了a=b之外,
.
与
互为倒数.
推论:
(三角形一边平行线的性质定理)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
27.1图形的相似
概述
如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
(相似的符号:
∽)
判定
如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似。
相似比
相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时,相似的两个图形全等。
性质
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。
相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2相似三角形
判定
1.两个三角形的两个角对应相等
2.两边对应成比例,且夹角相等
3.三边对应成比例
4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
例题
∵∠A=∠A';∠B=∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'
性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方
27.3位似
如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比。
性质
位似图形的对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比。
位似多边形的对应边平行或共线。
位似可以将一个图形放大或缩小。
位似图形的中心可以在任意的一点,不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
注意
1、位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形;
2、两个位似图形的位似中心只有一个;
3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧;
4、位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似;
5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形位似。