《线段的垂直平分线》拔高练习.docx
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《线段的垂直平分线》拔高练习
线段的垂直平分线
一、选择题
1.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,则AE的值是( )
A、6
B、4
C、6D、4
2.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为( )
A、6B、5
C、4D、3
3.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于( )
A、80°B、70°
C、60°D、50°
4.如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
(甲)作∠ACP、∠BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;
(乙)作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确( )
A、两人都正确B、两人都错误
C、甲正确,乙错误D、甲错误,乙正确
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是( )
A、AE=BEB、AC=BE
C、CE=DED、∠CAE=∠B
6.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点
C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点
7.如图,AC=AD,BC=BD,则有( )
A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分AB
C、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB
二、填空题
1.如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为 _________ .
2.如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE= _________ 度.
3.如图,等腰三角形ABC中,已知AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,则∠CBD的度数为 _________ °.
4.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 _________ .
5.如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB= _________ 度.
6.如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC= _________ 度.
7.如图,∠ABC=50°,AD垂直且平分BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是 _________ 度.
8.已知如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,则△ADE的周长等于 _________ .
9.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AC,AC=AD,有如下四个结论:
①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC=∠DAC;④△ABC是正三角形.请写出正确结论的序号 _________ (把你认为正确结论的序号都填上)
10.如图,△ABC的周长为19cm,AC的垂直平分线DE交BC于D,E为垂足,AE=3cm,则△ABD的周长为 _________ cm.
11.在△ABC中,∠A=50°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于D,则∠DBC的度数是 _________ °.
三、解答题
1.如图,在直角△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求∠B的度数.
2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)尺规作图:
作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在已作的图形中,若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F,连接BE.求证:
EF=2DE.
参考答案
一、选择题
1.C.2.B.3.C.
4.解:
甲错误,乙正确.
证明:
∵CP是线段AB的中垂线,∴△ABC是等腰三角形,即AC=BC,∠A=∠B,
作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E,
∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,
∵∠A=∠B,∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,
∵AC=BC,∴△ACD≌△BCE,
∴AD=EB,∵AD=DC,EB=CE,
∴AD=DC=EB=CE.
故选D.
5.解:
A、根据线段垂直平分线的性质,得AE=BE.故该选项正确;
B、因为AE>AC,AE=BE,所以AC<BE.故该选项错误;
C、根据等角对等边,得∠BAE=∠B=30°;根据直角三角形的两个锐角互余,得∠BAC=60°.
则∠CAE=∠BAE=30°,根据角平分线的性质,得CE=DE.故该选项正确;
D、根据C的证明过程.故该选项正确.
故选B.
6.解:
∵凉亭到草坪三条边的距离相等∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点.
故选C.
7.解:
∵AC=AD,BC=BD,
∴点A,B在线段CD的垂直平分线上.
∴AB垂直平分CD.
故选A.
二、1.解:
∵ED垂直平分BC,
∴BE=CE,∠EDB=90°,
∵∠B=30°,ED=3,
∴BE=2DE=6,
∴CE=6.
故答案为:
6.
2.50°.
3.45.
4.6.
5.解:
连接AP.
∵四边形ABCD是菱形,BD是对角线,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ADC=72°,∴∠ADB=∠CDB=36°.
∵EF是AD的垂直平分线,
∴AP=DP,∴∠DAP=∠ADB=36°.
在△ADP和△CDP中,
AD=CD,∠ADB=∠CDB=36°,AP=CP,
∴△ADP≌△CDP.
∴∠DCP=∠DAP=36°,
∴∠DPC=180°﹣∠DCP-∠CDB=180°-2×36°=108°.
∴∠CPB=180°-∠DPC=72°.
6.∠ADC=60度.
7.∠AEC=115°.
8.8.
9.解:
∵AB=AC,AC=AD,
∴AB=AD
∵AC平分∠DAB
∴AC垂直平分BD,①正确;
∴DC=CB,
易知DC>DE,
∴BC>DE,②错;
D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上,
根据圆周角定理,得∠DBC=∠DAC,③正确;
当△ABC是正三角形时,∠CAB=60°
那么∠DAB=120°,
如图所示是不可能的,所以错误.
故①③对.
10.13.
11.15.
三、解答题
1.答:
若DE垂直平分AB,∠B的度数为30°.
2.
3.解:
(2)证明:
在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴∠ABC=60°.
又∵l为线段AB的垂直平分线,
∴EA=EB,∠EBA=∠A=30°.∴∠AED=∠BED=60°.
∴∠EBC=∠EBA=30°,∠FEC=∠AED=60°.
又∵ED⊥AB,EC⊥BC,∴ED=EC.
在Rt△ECF中,∠FEC=60°,
∴∠EFC=30°,
∴EF=2EC,
∴EF=2ED.